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1、 习题课 第一章 1 填空题 填 存在 或 不存在 解 函数y 2x的图形如图所示 不存在 从而可以填出答案 其中题 5 的右极限由题 3 知不存在 2 判断题 原因 3 若 1 存在 且 则 因为 正解 的极限不存在 因为当x 0时 x为无穷小 是有界函数 所以 仍是无穷小 从而 2 判断题 原因 3 若 2 存在 且 则 分开求和的极限只对有限项成立 正解 2 判断题 原因 3 若 3 存在 且 则 3 设 解 1 求单侧极限 1 3 和 2 是否存在 是否存在 2 由 1 知 故 不存在 3 存在 因为 4 设 解 1 用10的方幂表示xn 1 2 求 2 0 9999 0 9999 n
2、 x 1 2 3 4 6 7 8 9 求下列极限 5 10 5 设下列极限 解 1 2 3 4 注意到当x 0时 x为无穷小 为有界函数 所以 5 6 注意到当x 0时 sinx x ln 1 4x 4x 所以 原式 6 判断下列函数是否有间断点 若有 指出其间断点 并 解 1 判断其类型 当x 1 时 f x 无定义 所以 是f x 的 间断点 因为 所以x 1为f x 的第一类间断点 且是可去间断点 因为 所以 且是无穷间断点 为f x 的第二类间断点 2 当sinx 0 即 时 f x 无定义 所以 是f x 的间断点 因为 所以x 0 k取0 为f x 的第一类间断点 且是可去间断点
3、因为当k 0时 所以 且是无穷间断点 为f x 的 第二类间断点 3 因为 所以x 0为f x 的第二类间断点 且是振荡间断点 不存在 因为当 时 的值在0与1之间无限次振荡 4 因为当x 3时 f x x2 所以当x 3时 f x 为连续函数 同样 下面讨论x 3时的情况 当x 3时 f x x 6也是连续函数 无间 因为 所以 故f x 在x 3处连续 综上所述 函数f x 无间断点 在 内连续 无间断点 断点 7 设a 0 且 解 要使f x 在x 0处连续 则 即 故当a 1时 f x 在x 0处连续 当a取何值时 f x 在x 0处连续 得 8 设函数f x 在x 2处连续 且f 2
4、 3 求 解 所以 又因为 因为f x 在x 2处连续 且f 2 3 所以 9 至少有一个小于1的正根 证 证明方程 令 且 根据介值定理的推论 也称为零点定理 内至少存在一点 在开区间 0 1 显然f x 在闭区间 0 1 上连续 使 即 亦即 所以方程 至少有一个小于1的正根 一 选择题 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 1 函数 是 下列极限计算正确的是 2 A 2 B 1 C 0 D 3 3 A x B 1 C 0 D 3 4 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 二 求极限 三 判断下列函数是否有间断点 若有 指出其间断点 并 判断其类型 四 设a 0 且 当a取何值时 f x 在x 0处连续 五 设函数f x 在x 2处连续 且f 2 3 求 至少有一个小于1的正根 六 证明方程
