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1、 一阶线性微分方程 第四节 一 一阶线性微分方程 二 伯努利方程 第十二章 一 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 一阶线性方程 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 例6 求方程 的通解 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 得原方程通解 内容小结 1 一阶
2、线性方程 方法1先解齐次方程 再用常数变易法 方法2用通解公式 化为线性方程求解 2 伯努利方程 思考与练习 判别下列方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 备用题 1 求一连续可导函数 使其满足下列方程 提示 令 则有 利用公式可求出 2 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解 解 1 先解定解问题 利用通解公式 得 利用 得 故有 2 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3 原问题的解为 雅各布第一 伯努利 书中给出的伯努利数在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士数学家 位数学家 标和极坐标下的曲率半径公式 1695年 版了他的巨著 猜度术 上的一件大事 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外 他对 双纽线 悬链线和对数螺线都有深入的研究
