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1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编 逻辑部分逻辑部分 2014B 3 对于实数的任意子集 我们在上定义函数 如果RUR Ux Ux xfU 0 1 是实数的两个子集 则 的充分必要条件是 BA R1 xfxf BA 答案 答案 互为补集 BA 解析 解析 对于任意的 这说明中至少有一个是 Rx 1 xfxf BA xfxf BA 1 即 所以 另一方面 中仅有一个是 即 BAx RBA xfxf BA 1 BA 从而互为补集 BA 2001 15 本题满分 20 分 用电阻值分别为 654321 aaaaaa 的电阻组装成一个如图的组件 在组
2、装中应如何选取电阻 654321 aaaaaa 才能使该组件总电阻值最小 证明你的结论 解析 解析 首先 对电路图进行截取分段考虑 如下三个图 设 6 个电阻的组件 如图 3 的总电阻为 当 是 FG R ii aR 6 5 4 3 i 1 R 2 R 1 a 的任意排列时 最小 2 a FG R 证明如下 1 设当两个电阻 并联时 所得组件阻值为 则 故交换二电阻的 1 R 2 RR 21 111 RRR 位置 不改变值 且当或变小时 也减小 因此不妨取 R 1 R 2 RR 1 R 2 R 2 设 3 个电阻的组件 如图 1 的总电阻为 RAB 21 323121 3 21 21 RR R
3、RRRRR R RR RR RAB 显然越大 越小 所以为使最小必须取为所取三个电阻中阻值最小的一 1 R 2 R AB R AB R 3 R 个 3 设 4 个电阻的组件 如图 2 的总电阻为 CD R 432431421 4232413121 4 111 RRRRRRRRR RRRRRRRRRR RRR ABCD 若记 41 1 ji jiR RS 41 2 kji kji RRRS 则 S1 S2为定值 于是 431 3212 RRS RRRS RCD 只有当最小 最大时 最小 故应取 即 43R R 321 RRR CD R 34 RR 23 RR 13 RR 得总电阻的阻值最小 4
4、对于图 3 把由组成的组件用等效电阻代替 要使最小 由 3 必需 321 RRR AB R FG R 使 且由 1 应使最小 由 2 知要使最小 必需使 且应使 56 RR CE R CE R 45 RR 最小 CD R 而由 3 要使最小 应使且 CD R 234 RRR 134 RRR 这就说明 要证结论成立 1998 4 设命题关于的不等式与的解集相同 命P x0 11 2 1 cxbxa0 22 2 2 cxbxa 题 则命题 Q 2 1 2 1 2 1 c c b b a a Q A 是命题的充分必要条件 B 是命题的充分条件但不是必要条件PP C 是命题的必要条件但不是充分条件 D
5、 既不是命题的充分条件也不是命题P的必要PP 条件 答案 答案 D 解析 解析 若两个不等式的解集都是 否定 A C 若比值为 否定 A B 选 DR1 1995 3 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大 则称甲不亚于乙 在个小伙子中 100 如果某人不亚于其他 99 人 就称他为棒小伙子 那么 个小伙子中的棒小伙子最多可能100 有 A 个 B 个 C 个 D 个1250100 答案 答案 D D 解析 解析 把身高按从高到矮排为号 而规定二人比较 身高较高者体重较小 则每个100 1 人都是棒小伙子 故选D 1994 2 给出下列两个命题 1 设都是复数 如果 则 cba 222 cba
6、 0 222 cba 2 设都是复数 如果 则 cba 0 222 cba 222 cba 那么下述说法正确的是 A 命题 1 正确 命题 2 也正确 B 命题 1 正确 命题 2 错误 C 命题 1 错误 命题 2 也错误 D 命题 1 错误 命题 2 正确 答案 答案 B 解析 解析 正确 错误 理由 成立时 与都是实数 故此时 222 cba 22 ba 2 c 成立 0 222 cba 当成立时 是实数 但不能保证与都是实数 0 222 cba 222 cba 22 ba 2 c 故不一定成立 故选B 222 cba 1988 4 已知三个平面 每两个之间的夹角都是 且 a 若有命题甲
7、 命题乙 相交于一点 则b c 3 abc A 甲是乙的充分条件但不必要 B 甲是乙的必要条件但不充分 C 甲是乙的充分必要条件 D A B C都不对 答案 答案 C C 解析 解析 平行或交于一点 当时 当它们交于一点时 abccba 3 选 C 3 1985 1 假定有两个命题 甲 是大于的实数 乙 且 那么 a0ba 11 ba A 甲是乙的充分而不必要条件 B 甲是乙的必要而不充分条件 C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 答案 B 解析 解析 由于且成立时 必有 故由乙可得甲 故选 Bba 11 ba0 0 ba 1985 10 对任意实数 定义
8、运算为 其中为常数 yx yx cxybyaxyx cba 等式右端中的运算是通常的实数加法 乘法运算 现已知 并且有一个321 432 非零实数 使得对于任意实数都有 则 dxdx d 答案 答案 4 解析 解析 取 代入得 但 故 xcdxbdax 0 x0 bd0 d0 b 取代入 得 322 cba4632 cba1 5 ca1 x4 d 经验算 对于一切 有成立 故 xyxyx 5xxxxx 4544 d 1984 一 一 本题本题满分满分 1515 分分 下列命题是否正确 若正确 请给予证明 否则给出反例 若是直线 同侧的两不同点 则必存在两个不同的圆 通过且与直线 相切 QP l
9、QP l 若 且 则 0 0 ba1 a1 b2loglog ab ba 设是坐标平面上的两个点集 若对任意 都有BA 222 ryxyxCr 0 r 则必有 BCAC rr BA 解析 解析 若 则只能作出一个圆过且与直线 相切 lPQ QP l 若 则 10 1 ba2loglog ab ba 于是恒成立 222 ryxyxA 222 0 ryxyxA BCAC rr 但不满足 BA 1983 1 设是自然数 条件甲 是偶数 条件乙 是偶数 那么 qp 33 qp qp A 甲是乙的充分而非必要条件 B 甲是乙的必要而非充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件 也不是乙的必
10、要条 件 答案 答案 C 解析 解析 又 故与的奇 2233 qpqpqpqp qqpqp2 qp qp 偶性相同 为偶数 得为偶数 为偶数 qp qp 33 qp 为奇数 一奇一偶 为奇数 故选 C qp qp 33 qp 1982 8 当是两个不相等的正数时 下列三个代数式 甲 乙 ba b b a a 11 丙 中间 值最大的一个是 2 1 ab ab 2 2 2 ba ba A 必定是甲 B 必定是乙 C 必定是丙 D 一般并不确定 而与的取值有关ba 答案 答案 D 解析 解析 甲 乙 但甲 丙大小不确定 故选 D 1981 1 条件甲 两个三角形的面积和两条边对应相等 条件乙 两个
11、三角形全等 则下列 正确的是 A 甲是乙的充分必要条件 B 甲是乙的必要条件 C 甲是乙的充分条件 D 甲不是乙的必要条件 也不是乙的充分条件 答案 答案 B 解析 解析 乙甲 但甲乙 故选 B 1981 2 条件甲 条件乙 则下列正确的是 a sin1a 2 cos 2 sin A 甲是乙的充分必要条件 B 甲是乙的必要条件 C 甲是乙的充分条件 D 甲不是乙的必要条件 也不是乙的充分条件 答案 答案 D 解析 解析 由得 而 a sin1a 2 cos 2 sin a 2 cos 2 sin 得 故选 D a sin1 1981 10 本题本题 1515 分分 组装甲 乙 丙三种产品 需用
12、三种零件 每件甲需用CBA 各个 每件乙需用各 个 每件丙需用个与 个 用库存的三种BA 2CB 12A1CCBA 零件 如组装成件甲产品 件乙产品和件丙产品 则剩下个和 个 但恰好pqr2A1BC 用完 试证 无论怎样改变甲 乙 两产品的件数 也不能把库存的三种零件都恰CBA 好用完 解析 解析 已知即 每个甲用 A2 B2 每个乙用 B1 C1 每个丙用 A2 C1 共有 A 产品件 B 产品件 C 产品件 222 rp12 qprq 设组装件甲 件乙 件丙 则用件 A 用件 B 用件 C mnkkm22 nm 2kn 如全部用完 则有 4 3 2 1 212 1 22222 knrq nmqp kmrp kmrp 这是不可能的 故证 4 3 2 mp323 1981 11 本题本题 2020 分分 一张台球桌形状是正六边形 一个球从的中点击出 ABCDEFABP 击中边上的某点 并且依次碰击 各边 最后击中边上的BCQCDDEEFFAAB 某一点 设 求的范围 BPQ 提示 利用入射角等于反射角的原理 解析 解析 只要把这个正六边形经过 5 次对称变换 则击球时应如图所示 击球方向在 MPN 内部时即可 设 以为原点 为轴正方向建立直角2 ABPPBx 坐标系 点坐标为 点坐标为 M 33 8N 33 10 即 8 33 arctan 10 33 arctan
