《全国高中数学联赛试题分类汇编： 4平面向量与解三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛试题分类汇编： 4平面向量与解三角形（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编 平面向量与解三角形部分平面向量与解三角形部分 2019A2019A 3 3 平面直角坐标系中 是单位向量 向量满足 且对任意e a 2a e 2 5aate 实数 恒成立 则的取值范围为 ta 答案 答案 5 2 5 解析 解析 不妨设 由得 等价于 1 0e ax y 2a e 2x 2 5aate 即 解得 所以 2 22 452yty 2 45yy 14y 22 2ay 5 2 5 2019A2019A 9 9 在中 若是与的等比中项 且是ABC BCa CAb ABc bacsin A 与的等差中项
2、 求的值 sin BA sinCcosB 解析 解析 因为是与的等比中项 故存在 使得 bac0q 2 bqa cq a 由是与的等差中项 得 sin A sin BA sinC 2sinsinsin2sincosABACBA 结合正余弦定理得 即 将 代入得 解得 222 2 abca bbc 222 2bcaac 42 1qq 2 51 2 q 所以 22242 22 1151 cos 222 acbqq B acqq 2019B2019B 2 2 若平面向量与垂直 其中为实数 则的模为 2 1 m a 1 21 2 mm b ma 答案 答案 10 解析 解析 由条件得 解得 所以 22
3、11 2 20 mmm 23 m 2 2 3110a 2019B2019B 3 3 设 是方程的两根 则的值 0 cos cos 2 5310 xx sinsin 为 答案 答案 7 5 解析 解析 由已知得 从而 3 coscos 5 1 coscos 5 2 22 sinsin1 cos1 cos 22 1 coscoscoscos 22 437 5525 2018A 7 设为的外心 若 则的值为 OABC ACABAO2 BAC sin 答案 答案 4 10 解析 解析 取的中点 则 由得 ACDACOD ACABAO2 BOACABAO 2 知 且在直线同侧 不妨设圆的半径为 则 BO
4、OD AB ODO21 2 1 OBAC 在中 有余弦定 DOCBOC 0 90coscos 4 1 sin OC MC DOCBOC 理得 在中 由正弦定理得 10 BCABC 4 10 2 sin R BC BAC 2017A 7 在中 为边的中点 是线段的中点 若 ABC MBCNBM 3 A 的面积为 则的最小值为 ABC 3ANAM 答案 答案 13 解析 解析 由条件知 则 ACABAM 2 1 ACABAN 4 1 4 3 ACABACABANAM43 8 1 22 由得ACABAACABS ABC 4 3 sin 2 1 34 ACAB 所以 所以 当且仅当时取2 ACAB38
5、3 22 ACAB 4 4 32 3 2 ACAB 等 则 ACABACABANAM43 8 1 22 13 2017B 4 在中 若 且三条边成等比数列 则的值为 ABC CAsin2sin cba Acos 答案 答案 4 2 解析 解析 由正弦定理知 又 于是 从而由余弦 sin 2 sin aA cC 2 bac 2 2 1a b c 定理得 222222 2 122 cos 2422 1 bca A bc 2016A 9 本题满分 16 分 在中 已知 求ABC CBCABCBAACAB 32 的最大值 Csin 解析 解析 由数量积的定义及余弦定理知 2 cos 222 acb A
6、cbACAB 同理得 故已知条件化为 2 222 bca BCBA 2 222 cba CBCA 3 2 222222222 cbabcaacb 即 8 分 222 32cba 由余弦定理及基本不等式 得 ab baba ab cba C 2 2 3 1 2 cos 2222 222 3 2 63 2 63 a b b a a b b a 所以 12 分 3 7 cos1sin 2 CC 等号成立当且仅当 因此的最大值是 16 分5 6 3 cbaCsin 3 7 2016B 10 本题满分 20 分 在中 已知ABC CBCABCBAACAB 32 1 将的长分别记为 证明 ABCABC c
7、ba 222 32cba 2 求的最小值 Ccos 解析 解析 1 由数量积的定义及余弦定理知 222 cos 2 bca AB ACcbA 同理得 故已知条件化为 222222 22 acbabc BA BCCA CB 即 222222222 23 bcaacbabc 222 23 abc 2 由余弦定理及基本不等式 得 2222 222 1 2 3 cos 22 2 2 36363 abab abc C abab abab baba 等号成立当且仅当因此的最小值为 3 6 5 a b c cosC 2 3 2015A 4 在矩形中 边上 包含 的动点与线段ABCD2 AB1 ADDCDCP
8、 延长线上 包含B 的动点满足 则向量与向量的数量积CBQBQDP PAPQ 的最小值为 PQPA 答案 答案 3 4 解析 解析 不妨设 A 0 0 B 2 0 D 0 l 设 P 的坐标为 l 其中 t02t 则由得 Q 的坐标为 2 故 因此 DPBQ t 1 2 1 PAtPQtt 22 133 2 1 1 1 244 PA PQtttttt 当时 1 2 t min 3 4 PA PQ 2005 2 空间四点满足 则DCBA 3 AB7 BC11 CD9 DA 的BDAC 取值 A 只有一个 B 有二个 C 有四个 D 有无穷多个 答案 答案 A 解析 解析 注意到由于则 97113
9、0113 2222 0 DACDBCAB 2 2 DADA 22222 2 ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCAB ABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC 2 2 222 2 22 即 CDBCBC 02 2222 CDABBCADBDAC 只有一个值 为0 故选A BDAC 2014A 7 设等边三角形的内切圆半径为 圆心为 若点满足 则ABC2IP1 PI 与的面积之比最大值为 APB APC 答案 答案 2 53 解析 解析 由 PI 1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上 设 在圆上取一点 使得取到最大值 此时应落在内 且 BAPK 0 P 0 0
10、PIAC 是与圆的切点 由于 故 0 APK 3 0 0 6 sin 6 sin 3 sin sin 3 sin sin 3 sin 2 1 sin 2 1 0 0 ACAP ABAP S S APC APB 其中 00 6 IAP 由知 于是 所以 2 0 IAP 4 1 2 1 sin 0 rAI IP 15cot 2 53 315 315 3cot 3cot sin 2 3 cos 2 1 sin 2 3 cos 2 1 6 sin 6 sin 根据 可知 当时 的最大值为 0 PP APC APB S S 2 53 2014B 4 若果三角形的三个内角的余切值依次成等差ABC CBA
11、cot cot cotABC 数列 则角的最大值是 B 答案 答案 3 解析 解析 记 它们成等差数列 即 由于Axcot Bycot Czcot zxy 2 三个内角和为 所以中至多有一个小于等于 这说明 另一方面 zyx 00 y 即 即 联立 消去得CBA z yx xy 1 1 zxyzxyz 0 21 2 22 yyxx 有 得 即 解得0412 2 y 3 3 y 3 3 cot B 当且仅当时 角取得最大值 3 B 3 CBAB 2013A 3 在中 已知 则的ABC CBAsinsin10sin CBAcoscos10cos Atan 值为 答案 答案 11 解析 解析 由于
12、ACBCBCBAAcos10cos10coscossinsin10cossin 即11tan A 2013B1 已知锐角三角形的三条边长都是整数 其中两条边长分别为 3 和 4 则第三条边的 边长为 答案 答案 或34 解析 解析 设第三条边长为 因为是锐角三角形 所以 且c 2332 234 c 即 因为是整数 得或 2222 543 c52 cc c34 2012A 2 设的内角的对边分别为 且满足 则ABC CBA cba cAbBa 5 3 coscos 的取值为 B A tan tan 答案 答案 4 解析 解析 由题设及余弦定理得 即 22222 3 225 cabbca abc
13、cabc 222 3 5 abc 故 222 2 222 222222 2 8 tansincos 25 4 2 tansincos 5 2 acb ac AABcab ac bcaBBAbca c b bc 2012B 5 在中 若 则面积的最大值为 ABC 7 ACAB6 ACABABC 答案 答案 12 解析 解析 记的中点为 则 BCM ACABAM 2 1 因为 所以 从而644 22 ACABACABACAB8 ACAB4 AM 所以 当且仅当 即时 取等号 12 2 1 AMBCS ABC BCAM 5 ABAC 故所求面积最大值为 12 另法另法 由得 由 平方可得 7 ACA
14、B7cos Abc6 ACAB50 22 cb 所以 当且仅当 1249 22 1 cos 2 1 sin 2 1 2 22 2 22 cb AbccbAbcS ABC 时 等号成立 所以所求面积最大值为 5 cb12 2008AB 6 设D 的内角所对的边成等比数列 则ABC CBA cba 的取值范围为 BCB ACA coscotsin coscotsin A B C D 0 2 15 0 2 15 2 15 2 15 答案 答案 C 解析 解析 设的公比为 则 而abc q 2 baq caq sincotcossincoscossin sincotcossincoscossin AC
15、AACAC BCBBCBC sin sin sin sin sin sin ACBBb q BCAAa 因此 只需求的取值范围 因为成等比数列 最大边只能是或 因此qabc ac 要构成三角形的三边 必须且只需且 即有不等式组abc abc bca 即 2 2 aaqaq aqaqa 2 2 10 10 qq qq 得从而 1551 22 5151 22 q qq 或 5151 22 q 因此所求的取值范围是 5151 22 2007 8 在和中 是的中点 ABC AEF BEF1 EFAB6 BC33 CA 若 则与的夹角的余弦值为 2 AFACAEABEFBC 答案 答案 3 2 解析 解
16、析 因为 所以 即2 AFACAEAB2 BFABACBEABAB 因为 2 2 BFACABACBEABAB1 2 AB S B1 C1 O A B C D 所以 即1 1332 36133 133 ABACBFBE 21 1 ABACBF 设与的夹角为 则有 即 所2 BCBFEFBC2cos BCBF2cos3 以 3 2 cos 2006 1 已知 若对任意 则一定为 ABC Rt ACBCtBA ABC A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 答案不确定 答案 答案 C 解析 解析 令 过 A 作于 D 由 ABC ADBC ACBCtBA 推出 令 代入上式 222 2 2BAtBA BCtBCAC A 2 BA BC t BC A 得 即 2222 22 2coscosBABABAAC 22 2 sinBAAC 也即 从而有 由此可得 sinBAAC ADAC 2 ACB 2005 3 内接于单位圆 三个内角的平分线延长后分别ABC CBA 交此圆于 则的值为 111 CBA CBA C CC B BB A AA sinsinsin 2 cos 2 cos 2
