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1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编 三角函数部分三角函数部分 2019A2019A 6 6 对任意闭区间 用表示函数在上的最大值 若正数满I I Msinyx Ia 足 则的值为 0 2 2 aaa MM a 答案 答案 或 5 6 13 12 解析 解析 若 与条件不符 所以 此时0 2 a 0 2 0sin2 aaa MaM 2 a 于是存在非负整数 使得 0 1 a M 2 1 2 aa M k 且 处至少有一处取到等号 513 222 66 kaak 当时 得或 经检验得或均满足条件 0k 5 6 a 13 2 6 a 5 6 a 1
2、3 12 a 当时 由于 故不存在满足 的 1k 135 22 2 66 kk a 综上或 5 6 a 13 12 a 2018B 5 设满足 则的值为 3 3 tan 5 6 tan tan 答案 答案 4 7 解析解析 由两角差的正切公式可知 即可得 7 4 63 tan 4 7 tan 2017A 2 若实数满足 则的取值范围为 yx 1cos2 2 yxyxcos 答案 答案 13 1 解析 由解析 由得 得 1cos2 2 yx 3 1cos21 2 yx 3 3 x 2 1 cos 2 x y 所以 可求得其范围为 11 2 1 cos 2 xyx 3 3 x 13 1 2016A
3、 6 设函数 其中是一个正整数 若对任意实数 均有 10 cos 10 sin 44 kxkx kf ka 则的最小值为 Rxxfaxaxf 1 k 答案 答案 16 解析 解析 由条件知 10 cos 10 sin2 10 cos 10 sin 22222 kxkxkxkx xf 4 3 5 2 cos 4 1 5 sin1 2 kxkx 其中当且仅当时 取到最大值 根据条件知 任意一个长为 1 的开 5 Zm k m x xf 区间至少包含一个最大值点 从而 即 1 aa1 5 k 5 k 反之 当时 任意一个开区间均包含的一个完整周期 此时 5 k xf 成立 综上可知 正整数的最小值为
4、 1 Rxxfaxaxf 161 5 2015A 2 若实数满足 则的值为 tancos 4 cos sin 1 答案 答案 2 解析 解析 由条件知 反复利用此结论 并注意到 得 sincos2 1sincos 22 cos1 sin1 sin sin sincos cos sin 1 22 22 4 2cossin2 2 2015A 7 设是正实数 若存在 使得 则wba 2 ba2sinsin wbwa 的取值范围是 w 答案 答案 9 513 4 24 w 解析 解析 由知 而 故题2sinsin ba 1sinsin ba 2 wwbasi 目条件等价于 存在整数 使得 k l kl
5、 wlkw2 2 2 2 2 当时 区间的长度不小于 故必存在满足 式 4w 2 ww 4 k l 当时 注意到 故仅需考虑如下几种情况 04w 8 0 2 ww i 此时且无解 ww2 2 5 2 2 1 w 4 5 w ii 此时 ww2 2 9 2 5 2 5 4 9 w iii 此时 得 ww2 2 13 2 9 2 9 4 13 w4 4 13 w 综合 i ii iii 并注意到亦满足条件 可知 4 w 9 513 4 24 w 2015B 3 某房间的室温 单位 摄氏度 与时间 单位 小时 的函数关系为 Tt 其中为正实数 如果该房间的最大温差为 10 摄氏度 0 cossin
6、ttbtaTba 则的最大值为 ba 答案 答案 5 2 解析 解析 由辅助角公式 其中满足条件 22 sincossin Tatbtabt 则函数的值域是 室内最大 2222 sin cos ba abab T 2222 abab 温差为 得 22 210ab 22 5ab 故 等号成立当且仅当 22 2 5 2abab 5 2 2 ab 2014A 10 本题满分 20 分 数列满足 求 n a 6 1 a arctan sec 1nn aa Nn 正整数 使得 m 100 1 sinsinsin 21 m aaa 解析 解析 由已知条件可知 对任意正整数 且 n 2 2 1 n a nn
7、 aasectan 1 由于 故 由 得 故0sec n a 2 0 1 n a nnn aaa 22 1 2 tan1sectan 3 23 3 1 1tan1tan 1 22 n nanan 即 10 分 3 23 tan n an 因此 21 sinsinaa 2 2 1 1 sec tan sec tan sin a a a a am m m a a sec tan 利用 3 2 2 1 tan tan tan tan a a a a 1 tan tan m m a a 13 1 tan tan 1 1 ma a m 由 得 20 分 100 1 13 1 m 3333 m 2014B
8、 10 本题满分 20 分 设是多项式方程的三个根 321 xxx01110 3 xx 已知都落在区间之中 求这三个根的整数部分 5 分 321 xxx 5 5 证明 15 分 4 arctanarctanarctan 321 xxx 解析 解析 设 则它至多有三个实根 由于 1110 3 xxxp64 5 p 13 4 p14 3 p23 2 p20 1 p11 0 p2 1 p 我们可以看到三个区间 的端点函数1 2 p8 3 p 3 4 2 1 3 2 的值改变符号 所有三个根分别落在这三个区间的内部 这样便可以作为满足 xp2 1 4 条件的三个根的近似值 也可以写成 4 3 假定 由
9、于 所以 同理 得 321 xxx 1 1 x 2 4 2 arctan 1 x1 32 xx 从而和都落在区间 2 4 arctan arctan 32 xx 21 arctanarctanxx 3 arctan 4 x 之中 所以我们只需证明 4 4 321 arctan 4 tan4arctanarctantanxxx 由正切公式知 等价于 即等价于 3 3 21 21 1 1 1x x xx xx 1 321 3 1 xxxxxx ji ji i i 由根与系数关系知 显然上式是成立的 0 3 1 i i x10 ji jix x11 321 xxx 这样就完成了证明 2008AB13
10、 已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点 交xxfsin kxy 0 k 点的横坐标的最大值为 求证 4 1 3sinsin cos 2 证明 证明 的图象与直线 的三个交点如答 f xykx 0 k 13 图所示 且在内相切 其切点为 3 2 由于 sin A 3 2 cosfxx 所以 即 因此 3 2 x sin cos tan coscos sinsin32sin2 cos 1 4sincos 22 cossin 4sincos 2 1tan 4tan 2 1 4 2007 4 设函数 若实数使得对任1cos2sin3 xxxfcba 1 cxbfxaf 意的实数恒成立 则的值等于 x
11、 a cbcos A B C D 2 1 2 1 1 1 答案 答案 C 解析 解析 令 则对任意的 都有 于是取 cRx 2 cxfxf 2 1 ba 则对任意的 由此得 cRx 1 cxbfxaf1 cos a cb 一般地 由题设可得 其中1 sin 13 xxf1 sin 13 cxcxf 且 于是可化为 2 0 3 2 tan 1 cxbfxaf 即1 sin 13 sin 13 bacxbxa 所以0 1 cos sin13cos sin 13 sin 13 baxcbcxbxa 0 1 cos sin13 sin cos 13 baxcbxcba 由已知条件 上式对任意恒成立 故
12、必有 Rx 3 01 2 0sin 1 0cos ba cb cba 若 则由 1 知 显然不满足 3 式 故 所以 由 2 知 故0 b0 a0 b0sin c 或 当时 则 1 3 两式矛盾 故 kc2 kc2 Zk kc2 1cos c 由 1 3 知 所以 kc2Zk 1cos c 2 1 ba1 cos a cb 2007 11 已知函数 则的最小值为 x xx xf 2 cos sin 4 5 4 1 x xf 答案 答案 5 54 解析 解析 解 实际上 设 4 5 4 1 2 4 sin 2 x x x xf 则 在上是增函数 在上 4 5 4 1 4 sin 2 x xxg0
13、 xg xg 4 3 4 1 4 5 4 3 是减函数 且的图像关于直线对称 则对任意 存在 xgy 4 3 x 4 3 4 1 1 x 使 于是 4 5 4 3 2 x 12 xgxg 而在上是减函数 所以 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 xf x xg x xg x xg xf xf 4 5 4 3 即在上的最小值是 5 54 4 5 fxf xf 4 5 4 1 5 54 2007 15 本题满分 20 分 设函数对所有的实数都满足 求证 xfx 2 xfxf 存在个函数 满足 对 都是偶函数 且对任意的4 xfi4 3 2 1 i4 3 2 1 i xfi 实数 有 对任意
14、的实数 有x xfxf ii x xxfxxfxxfxfxf2sin sin cos 4321 证明 证明 记 则 且 2 xfxf xg 2 xfxf xh xhxgxf 是偶函数 是奇函数 对任意的 xg xhRx 2 xgxg 2 xhxh 令 2 1 xgxg xf 2 0 2cos2 2 k x k x x xgxg xf 其中为任意整 k x k x x xhxh xf 0 sin2 3 2 0 22sin2 4 k x k x x xhxh xfk 数 容易验证 是偶函数 且对任意的 xfi4 3 2 1 iRx xfxf ii 4 3 2 1 i 下证对任意的 有 当时 显然成
15、立 当Rx cos 21 xgxxfxf 2 k x 时 因为 而 2 k x 2 cos 121 xgxg xfxxfxf 2 3 k g xg 1 2 2 3 k k g 2 2 xg k g k g 故对任意的 有 Rx cos 21 xgxxfxf 下证对任意的 有 当时 显然成立 当Rx 2sin sin 43 xhxxfxxf 2 k x 时 所以 kx 2 khkkhkhxh 0 khxh 而此时 故 02sin sin 43 xxfxxf 2sin sin 43 xhxxfxxf 当时 2 k x 2 1 2 2 3 2 3 k h k k h k h xh 2 k h 故 又
16、 xh 2 sin 3 xh xhxh xxf 02sin 4 xxf 从而有 2sin sin 43 xhxxfxxf 于是 对任意的 有 Rx 2sin sin 43 xhxxfxxf 综上所述 结论得证 2006 7 设函数 则的值域为 xxxxxf 44 coscossinsin xf 答案 答案 8 9 0 解析 解析 令 则 442 11 sinsin coscos1sin2sin 2 22 f xxxxxxx sin2tx 因此 22 11911 1 22822 f xg tttt 11 91 9 min 1 0 82 4 t g tg A 即得 11 1919 max 0 2828 t g tg A 9 0 8 f x 2005 9 设满足 若对任意 20 Rx 则 0 cos cos cos xxx 答案 答案 3 4 解析 解析 设由 知 cos cos cos xxxxfRx 0 xf 0 f 即 0 0 ff 1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos 2 1 cos cos cos 又 3 4 3 2 20 只有 另一方面时 代回原式很 3 2
