全国高中数学联赛试题分类汇编： 14数论

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1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛二试试题分类汇编年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 数论部分数论部分 2019A2019A 5 5 在 中随机选出一个数 在 中随机选出一个1 2 3 10 a1 2 3 10 数 则被 整除的概率为 b 2 ab 3 答案 答案 37 100 解析 解析 首先数组有 种等概率的选法 考虑其中使被 整 a b10 10100 2 ab 3 除的选法数 N 若被 3 整除 则也被 3 整除 此时各有 3 种选法 这ab a b 样的有 a b 组 若不被 3 整除 则 从而 此时有 7 3 39 a 2 1 mod3a 1 mod3b a 种选法 有

2、4 种选法 这样的有组 因此 于是b a b7 428 92837N 所求概率为 37 100 2019A2019A 三 三 本题满分 本题满分 5050 分 分 设为整数 整数数列满足 不m2m 12 a a 12 a a 全为零 且对任意正整数 均有 证明 若存在整数 n 21nnn aama r s 使得 则 2rs 1rs aaa rsm 解析 解析 证明证明 不妨设互素 否则 若 则互素 12 a a 12 1a ad 12 1 aa dd 并且用代替 条件与结论均不改变 12 aa dd 12 a a 由数列递推关系知 234 modaaam 以下证明 对任意整数 有 3n 212

3、 3mod n aaanamm 10 分 事实上 当时 显然成立 假设时 成立 其中为某个大于 2 的整数 3n nk k 注意到 有 结合归纳假设知 2 12 mod k mamam 2 11222212 32mod kkk aamaakammaaakam 即时 也成立 因此 对任意整数均成立 20 分 1nk 3n 注意 当时 对也成立 12 aa 2n 设整数 满足 r s2rs 1rs aaa 若 由 对均成立 可知 12 aa 2n 2 212212 33mod rs aaramaaaasamm 即 即 1212 33modaraasam 2 0 modrs am 若 则故 此时由于

4、 对均成立 12 aa 12rs aaaa 3rs 3n 故类似可知 仍成立 30 分 我们证明互素 2 a m 事实上 假如与存在一个公共素因子 则由 得为的公因子 2 ampp 23 a a 而互素 故 这与矛盾 12 a a p 1 a 1rs aaa 因此 由 得 又 所以 50 分 0 modrsm rs rsm 2018A 四 四 本题满分 50 分 数列定义如下 是任意正整数 对整数 与 n a 1 a1 n 1 n a 互素 且不等于的最小正整数 证明 每个正整数均在数列中出现 n i i a 1 n aaa 21 n a 证明 证明 显然或者 下面考虑整数 设有个不同的素因子

5、 我们对1 1 a1 2 a1 mmk 归纳证明在中出现 记 km n a nn aaaS 21 1 n 时 是素数方幂 记 其中 是素数 假设不在中出现 由于1 km pm 0 pm n a 各项互不相同 因此存在正整数 当时 都有 若对某个Nn n aNNn pan 那么与互素 又中无一项是 故有数列定义知 n S p p n S n aaa 21 p pan 1 但是 矛盾 pan 1 因此对每个 都有 又 可得 从而与不互素 这与Nn n Sp 1 n Sp 1 n ap 1 n a n S 的定义矛盾 1 n a 假设 且结论对成立 设的标准分解为 假设不在中2 k1 km k k

6、pppm 21 21 m n a 出现 于是存在正整数 当时 都有 取充分大的正整数 N Nn man 121 k 使得 n Nn k apppM k 121 1 121 max 我们证明 对 有 Nn Man 1 对于任意 若与互素 则与互素 又在中均未出 Nn n S k ppp 21 m n Sm n aaa 21 现 而 这与数列的定义矛盾 因此我们得到 对于任意 与man 1 Nn n S 不互素 k ppp 21 若存在 使得 则 故 从而i11 ki ni Sp 1 1 nn Sa 1 ni ap 因为 Man 1 Mpi 若对每个 均有 则由知 必有 于是 进而i11 ki n

7、i S p nk Sp 1 nk ap 即 故由知 存在 使得 再由 1 nnk aSp 1 nk Sp 0 i11 0 ki 1 0 ni Sp 及前面的假设 可知 故 nnn aSS 1ni S p 1 0 ni apMan 1 因此 对 均有 而 故不在中1 NnMan n Nn k apppM k 121 1 121 max M n a 出现 这与假设矛盾 因此 若有个不同的素因子 则一定在数列中出现 mkm n a 由数学归纳法知 所以正整数均在数列中出现 n a 2018B 四 四 本题满分 50 分 给定整数 证明 对任意正整数 存在正整数 使2 ank 得连续个数 均是合数 n

8、1 k a 2 k ana k 证明证明 设是中与互素的全体整数 则 r iii 21 n 2 1 ani 1 无论正整数如何取值 均与不互素且大于 故为合数 r iiii 21 kia k aaia k 对任意 因 故有素因子 rj 2 1 1 j ia j ia j p 我们有 否则 因是素数 故 但 从而 即与 1 apj j p j pa j p j ia j p j ia 不互素 与的取法矛盾 因此 由费马小定理知 j i j i i p pamod1 1 现取 对任意 注意到 1111 21 r pppk rj 2 1 1mod1 j pk 故有 又 故为合数 jjj k piai

9、amod0 jjj k piaia j k ia 综上所述 当时 均是合数 1111 21 r pppk 1 k a 2 k ana k 2017A 4 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 则称其为 平稳数 则平稳1 数的个数 是 答案 答案 75 解析 解析 考虑平稳数 abc 若 则 有个平稳数 0 b1 a 1 0 c2 若 则 有个平稳数 1 b 2 1 a 2 1 0 c632 若 则 有个平稳数 8 2 ba 1 1 bbbc63337 若 则 有个平稳数 9 b 9 8 ca422 综上可知 平稳数的个数为 7546362 2017B 8 若正整数满足 则数组的个数为 c

10、ba cba1000100102017 cba 答案 答案 574 解析 解析 由条件知 当时 有 对于每个这样的正整数 2017 2 1000 c 1c 1020b b 由知 相应的的个数为 从而这样的正整数组的个数为10201ba a202 10b 20 10 1022 11 202 10 572 2 b b 当时 由 知 进而 2c 2017 20 100 b 20b 2017 200 201 10 a 故 此时共有 2 组 200 201a a b c 综上所述 满足条件的正整数组的个数为 5722574 2016A 8 设是中的个互不相同的数 满足 4321 aaaa100 3 2

11、1 4 则这样的有序数组 2 433221 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 aaaaaaaaaaaa 的个数 4321 aaaa 为 答案 答案 40 解析 解析 由柯西不等式知 等号成 2 433221 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 aaaaaaaaaaaa 立的充分必要条件是 即成等比数列 于是问题等价于计算满足 4 3 3 2 2 1 a a a a a a 4321 aaaa 的等比数列的个数 设等比数列的公比 1 2 3 4321 aaaa 100 4321 aaaa1 q 且为有理数 记 其中为互素的正整数 且 先考虑的情况 q m n q nm

12、nm mn 此时 注意到互素 故为正整数 相应地 3 3 13 14 m na m n aa 33 n m 3 1 m a l 分别等于 它们均为正整数 这表明 对任意给定的 4321 aaaalnlmnnlmlm 3223 满足条件并以为公比的等比数列的个数 即为满足不等式1 m n qq 4321 aaaa 的正整数 的个数 即 100 3 lnl 100 3 n 由于 故仅需考虑这些情况 相应的等比数列的个数为10053 3 4 4 2 3 3 2 q 20113312 64 100 64 100 27 100 27 100 8 100 当时 由对称性可知 亦有 20 个满足条件的等比数

13、列 mn 4321 aaaa 综上可知 共有 40 个满足条件的有序数组 4321 aaaa 2016A 四 四 本题满分 50 分 设与均是素数 数列定义为 p2 p3 p n a2 1 a 这里表示不小于实数的最小整数 n pa aa n nn 1 1 3 2 n xx 证明 对 均有成立 1 4 3 pn 1 1 n pan 证明 证明 首先注意到 数列是整数数列 对用数学归纳法 n an 当时 由条件知 故 又与均是素数 且3 npa 2 2 2 2 11 ppap2 p 故必须 因此 即时 结论成立 3 p1 3 p1 3 2 pa3 n 对 设时结论成立 即 此时13 pn1 4

14、3 nk 1 1 k pak k pa k pa kk 1 11 故 1 11 1 1 1 1 1 22 2 2 21 k kppa k pa ap k pa appa kk k k kk 故对时 有13 pn 1 2 2 1 1 1 1 1 1 321nnn pa n np n np pa n np pa n np C pnp pn pa p n np n np 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 2 显然 1 2 1 n papnpn 因为 是素数 故 又是大于的自然数 故pn p1 pnpnn2 pn 从而与互素 故由 可知 1 2 pnn 2 ppn 1 1 n pan 由数学归纳

15、法知 对 均有成立 1 4 3 pn 1 1 n pan 2016B 8 设正整数满足 且 这样的的个数为 n2016 n3 12642 nnnn n 这里 其中表示不超过的最大整数 xxx xx 答案 答案 168 解析 解析 由于对任意整数 有n 13511 3 2461224612 nnnn 等号成立的充分必要条件是 结合知 满足条件的所有正整数为 1 mod12n 12016n 共有个 1211 2 168 nkk 168 解析 解析 首先注意到 若为正整数 则对任意整数 若 则m x y modxym 这是因为 当时 这里 是一个整数 故 xy mm modxym xymt t xx

16、xymtymtyyyyy tt mmmmmmmmmm 因此 当整数满足时 12 n n 12 mod12nn 11112222 2461224612 nnnnnnnn 容易验证 当正整数满足时 只有当时 等式才112n 11n 3 24612 nnnn 成立 而 故当时 满足正整数的个201612 168 12016n 3 24612 nnnn n 数为168 2016B 一 一 本题满分 40 分 非负实数和实数满足 201621 xxx 201621 yyy 1 1 22 kk yx2016 2 1 k 2 是奇数 201621 yyy 求的最小值 201621 xxx 解析 解析 由已知条件 1 可得 于是 注意 1 1 1 2 2016 kk xyk 0 i x 20162016201620162016 222 11111 120162016 kkkkk kkkkk xxyyy 不妨设则 112016 0 0 02016 mm yyyym 2016 11 2016 m kk kk m ymym 若 并且 1 1 m k k ym 2016 1 2015 k k m ym 令 则