《相交线与平行线专题总结(含答案)(2).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相交线与平行线专题总结(含答案)(2).pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 相交线与平行线专题总结 一 知识点填空 1 两直线相交所成的四个角中 有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 具有这种关系的两个角 互为 2 对顶角的性质可概括为 3 两直线相交所成的四个角中 如果有一个角是直角 那么就称这两条直线相 互 4 垂线的性质 过一点 一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中 5 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做 6 两条直线被第三条直线所截 构成八个角 在那些没有公共顶点的角中 如 果两个角分别在两条直线的同一方 并且都在第三条直线的同侧 具有这种 关系的一对角叫做 如果两个角都在两直线之间 并且分别在 第三条直线的两侧 具有
2、这种关系的一对角叫做 如果两个 角都在两直线之间 但它们在第三条直线的同一旁 具有这种关系的一对角 叫做 7 在同一平面内 不相交的两条直线互相 同一平面内的两条直线的 位置关系只有 与 两种 8 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线 推论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么 9 平行线的判定 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两 条直线平行 简单说成 两条直线被 第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 简单说成 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角 互补 那么这两条直线平行 简单说成 10 在同一平面内 如果两条直线都垂直于同一条直线 那么这两条
3、直线 11 平行线的性质 两条平行直线被第三条直线所截 同位角相等 简单说成 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 内 错 角 相 等 简 单 说 成 两条平行直线被第三条直线所截 同旁 内角互补 简单说成 12 判断一件事情的语句 叫做 命题由 和 两部分组成 题设是已知事项 结论是 命题常可以写成 如果 那么 的形式 这时 如果 后接的部分是 那么 后接的部分是 如果题设成立 那么结论一定成立 像这样的命题叫 做 如果题设成立时 不能保证结论一定成立 像这样的命题叫做 定理都是真命题 13 把一个图形整体沿某一方向移动 会得到一个新图形 图形的这种移动 叫 做平移变换 简
4、称 图形平移的方向不一定是水平的 14 平移的性质 把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完 全 新图形中的每一点 都是由原图形中的某一点移动后 得到的 这两个点是对应点 连接各组对应点的线段 二 典型题型训练 15 如图 8 6 10 BCAC CBcm ACcm ABcm那 么点A到BC的距离是 点B到AC的距离是 点A B两点的距离是 点C到AB的距离是 16 设a b c为平面上三条不同直线 若 ab bc 则a与c的位置关系是 若 ab bc 则a与c的位置关系是 若 ab bc 2 则a与c的位置关系是 17 如图 已知AB CD EF相交于点O AB CD OG平分
5、AOE FOD 28 求 COE AOE AOG的度数 18 如图 AOC与BOC是邻补角 OD OE分别是AOC与BOC的平 分线 试判断OD与OE的位置关系 并说明理由 19 如图 AB DE 试问 B E BCE有什么关系 解 B E BCE过点C作CF AB 则 B 又 AB DE AB CF E B E 1 2 即 B E BCE 20 如图 已知 1 2 求证 a b 直线 ab 求证 12 21 阅读理解并在括号内填注理由 如图 已知AB CD 1 2 试说明EP FQ 证明 AB CD MEB MFD 3 又 1 2 MEB 1 MFD 2 即 MEP EP 22 已知DB F
6、G EC A是FG上一点 ABD 60 ACE 36 AP平分 BAC 求 BAC的大小 PAG的大小 23 如图 已知ABC ADBC于D E为AB上 一点 EFBC于F DGBA交 CA 于G 求证 12 24 已知 如图 1 2 C D 问 A与 F相等吗 试说明理由 三 兴趣拓展 平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形 练习本每一页中的横线 直尺的上下两边 人行横道上的 斑马线 以及黑板框的对边 桌面的对边 教 室墙壁的对边等等均是互相平行的线段 正因为平行线在生活中的广泛应用 因 此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识 正因为平行线在几何理论 中的基础性 平行线成为
7、古往今来很多数学家非常重视的研究对象 历史上关于 平行公理的三种假设 产生了三种不同的几何 罗巴切夫斯基几何 黎曼几何及欧 几里得几何 它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用 现行中学中所 学的几何是属于欧几里得几何 它是建立在这样一个公理基础之上的 在平面 中 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 在此基础上 我们 学习了两条平行线的判定定理及性质定理 下面我们举例说明这些知识的应用 4 例 1 如图 1 18 直线 a b 直线 AB 交 a 与 b 于 A B CA 平分 1 CB 平分 2 求证 C 90 例 2 如图 1 21 所示 AA1 BA2求 A1 B1 A2
8、 例 3 如图 1 26 所示 AE BD 1 3 2 2 25 求 C 例 4 求证 三角形内角之和等于180 例 5 求证 四边形内角和等于360 例 6 如图 1 29 所示 直线 l 的同侧有三点 A B C 且 AB l BC l 求证 A B C 三点在同一条直线上 例 7 如图 1 30 所示 1 2 D 90 EF CD 求证 3 B 四 课后思考题 1 如图 1 31 所示 已知 AB CD B 100 EF平分 BEC EG EF 求 BEG 和 DEG 5 2 如图 1 32 所示 CD 是 ACB 的平分线 ACB 40 B 70 DE BC 求 EDC 和 BDC 的
9、度数 3 如图 1 33 所示 AB CD BAE 30 DCE 60 EF EG 三 等分 AEC 问 EF与 EG 中有没有与 AB 平行的直线 为什么 4 证明 五边形内角和等于540 5 如图 1 34 所示 已知 CD 平分 ACB 且 DE ACCD EF 求证 EF平分 DEB 参考答案 一 1 邻补角2 对顶角 对顶角相等3 垂直有且只有垂线段最短4 点 到直线的距离5 同位角内错角同旁内角6 平行相交平行 7 平行这两直线互相平行8 同位角相等两直线平行 内错角相等两 直线平行 同旁内角互补两直线平行 9 平行10 两直线平行同位角 相等 两直线平行内错角相等 两直线平行同旁
10、内角互补 11 命题题设结 论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12 平移相同平行且相等13 6cm 8cm 10cm 4 8cm 14 平行平行 垂直15 28 118 59 16 OD OE理由略17 1 两直线 平行 内错角相等 DE CF 平行于同一直线的两条直线平行 2 两直线 平行 内错角相等 18 1 2 又 2 3 对顶角相等 1 3 a b 同位角相等两直线平行 a b 1 3 两直线 平行 同位角相等 又 2 3 对顶角相等 1 2 19 两直线 平行 同位角相等MFQFQ同位角相等两直线平行20 96 12 21 ADBC FEBCQ90EFBADB o EFAD2
11、3 31DGBAQ12 22 A F 1 DGF 对顶角相等 又 1 2 DGF 2 DB EC 同位角相等 两直线平行 DBA C 两直线平行 同位角相等 又 C D DBA D DF AC 内错角相等 两直线平行 A F 两直线平行 内错角相等 6 三例 1 如图 1 18 直线 a b 直线 AB 交 a 与 b 于 A B CA平分 1 CB平分 2 求证 C 90 分析 由于 a b 1 2 是两个同侧内角 因此 1 2 过 C点作直线 l 使 l a 或 b 即可通过平行线的性质实现等 角转移 证 过 C点作直线 l 使 l a 图 1 19 因为 a b 所以 b l 所以 1
12、2 180 同侧内角互补 因为 AC平分 1 BC 平分 2 所以又 3 CAE 4 CBF 内错角相等 所以 3 4 CAE CBF 说明 做完此题不妨想一想这个问题的 反问题 是否成立 即 两条 直线 a b 被直线 AB所截 如图 1 20 所示 CA CB分别是 BAE与 ABF的平分线 若 C 90 问直线 a 与直线 b 是否一定平行 由于这个问题与上述问题非常相似 将条件与结论交换位置 因此 不 妨模仿原问题的解决方法来试解 例 2 如图 1 21 所示 AA 1 BA2求 A1 B1 A2 分析 本题对 A1 A2 B1的大小并没有给出特定的数值 因此 答 案显然与所给的三个角
13、的大小无关 也就是说 不管 A1 A2 B1 的大小如何 答案应是确定的 我们从图形直观 有理由猜想答案大概 是零 即 A1 A2 B1 猜想 常常受到直观的启发 但猜想必须经过严格的证明 式给我们 一种启发 能不能将 B1一分为二使其每一部分分别等于 A1与 A2 这 就引发我们过 B1点引 AA1 从而也是 BA2 的平行线 它将 B1一分为二 7 证 过 B1引 B1E AA 1 它将 A1B1A2分成两个角 1 2 如图 1 22 所 示 因为 AA1 BA2 所以 B1E BA2 从而 1 A1 2 A2 内错角相等 所以 B 1 1 2 A1 A2 即 A1 B1 A2 0 说明
14、1 从证题的过程可以发现 问题的实质在于AA 1 BA2 它与连接 A1 A2两点之间的折线段的数目无关 如图1 23 所示 连接 A1 A2之 间的折线段增加到 4 条 A1B1 B1A2 A2B2 B2A3 仍然有 A1 A2 A3 B1 B2 即那些向右凸出的角的和 向左凸的角的和 即 A1 B1 A2 B2 A3 0 进一步可以推广为 A1 B1 A2 B2 Bn 1 An 0 这时 连结 A1 An之间的折线段共有 n 段 A1B1 B1A2 Bn 1An 当然 仍 要保持 AA1 BA n 推广是一种发展自己思考能力的方法 有些简单的问题 如果抓住了问 题的本质 那么 在本质不变的
15、情况下 可以将问题推广到复杂的情况 2 这个问题也可以将条件与结论对换一下 变成一个新问题 问题 1 如图 1 24 所示 A1 A2 B1 问 AA 1与 BA2是否平行 问题 2 如图 1 25 所示 若 A1 A2 An B1 B2 Bn 1 问 AA 1与 BAn是否平行 这两个问题请同学加以思考 例 3 如图 1 26 所示 AE BD 1 3 2 2 25 8 求 C 分析 利用平行线的性质 可以将角 转移 到新的位置 如 1 DFC 或 AFB 若能将 1 2 C 集中 到一个顶点处 这是最理想不 过的了 过 F 点作 BC的平行线恰能实现这个目标 解 过 F 到 FG CB 交
16、 AB 于 G 则 C AFG 同位角相等 2 BFG 内错角相等 因为 AE BD 所以 1 BFA 内错角相等 所以 C AFG BFA BFG 1 2 3 2 2 2 2 50 说明 1 运用平行线的性质 将角集中到适当位置 是添加辅助线 平行 线 的常用技巧 2 在学过 三角形内角和 知识后 可有以下较为简 便的解法 1 DFC C 2 即 C 1 2 2 2 50 例 4 求证 三角形内角之和等于180 分析 平角为 180 若能运用平行线的性质 将三角形三个内角集中 到同一顶点 并得到一个平角 问题即可解决 下面方法是最简单的 一种 证 如图 1 27 所示 在 ABC中 过 A引 l BC 则 B 1 C 2 内错角相等 显然 1 BAC 2 平角 所以 A B C 180 说明 事实上 我们可以运用平行线的性质 通过添加与三角形三条边 平行的直线 将三角形的三个内角 转移 到任意一点得到平角的结 论 如将平角的顶点设在某一边内 或干脆不在三角形的边上的其他任 何一点处 不过 解法将较为麻烦 同学们不妨试一试这种较为麻烦的 证法 例 5 求证 四边形内角和等于360 分析
