《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 2 复数代数形式的乘除运算 1 复数的乘法法则 设 z1 a bi z2 c di 是任意两个复数 那么它们的积 a bi c di ac bd ad bc i 01 可以看出 两个复数相乘 类似于两个多项式相乘 只要在所得的结果中把 i2换成 1 并且把实部和虚部分别合并 02 2 复数的乘法运算律 设 z1 a1 b1i z2 a2 b2i z3 a3 b3i 有 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 分配律 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 3 共轭复数 一般地 当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做互为 共轭复数 虚部不
2、等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数 03 04 4 复数除法的法则 a bi c di i c di 0 05 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 由此可见 两个复数相除 除数不为 0 所得的商是一个确定的复数 共轭复数的性质 1 两个共轭复数的对应点关于实轴对称 2 实数的共轭复数是它本身 即 z z R z 利用这个性质 可以证明一个复数是实数 3 z z 2 2 R z 与互为实数化因式 z z z 1 判一判 正确的打 错误的打 1 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 2 若 z1 z2 C 且 z z 0 则 z1 z2 0 2 12 2 3 两个共轭虚数的差
3、为纯虚数 答案 1 2 3 2 做一做 1 复数 3 i 1 2 复平面内 复数 z i 为虚数单位 的共轭复数对应的点位于第 2i 1 i 象限 3 复数 2 的共轭复数是 1 i 答案 1 i 2 四 3 2 i 3 2 3 2 探究 复数的乘除运算 1 例 1 1 复数 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i A 0 B 2 C 2i D 2i 2 若复数 z1 4 29i z2 6 9i 其中 i 是虚数单位 则复数 z1 z2 i 的实 部为 解析 1 解法一 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i 2i 6 13i 6 6
4、 13i 6 4 9 26i 13 解法二 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i i 2 3i 2 3i i 2 3i 2 3i i i 2i 2 z1 z2 i 4 29i 6 9i i 2 20i i 20 2i z1 z2 i 的实部为 20 答案 1 D 2 20 拓展提升 1 复数的乘法可以把 i 看作字母 按多项式乘法的法则进行 注意要把 i2化 为 1 进行最后结果的化简 复数的除法先写成分式的形式 再把分母实数化 方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数 若分母是纯虚数 则只需同时乘以 i 2 实数集中的乘法公式 幂的运算律 因式分解方法等在复数集中仍成立 跟踪训练 1 计算
5、1 2 3i 1 2i 2 2 i 1 5i 3 4i 2i 解 1 原式 2 3i 1 2i 2 3i 1 2i 1 2i 1 2i i 2 6 3 4 i 12 22 4 5 7 5 2 原式 3 11i 3 4i 2i 53 21i 2i 53 23i 探究 共轭复数 2 例 2 是 z 的共轭复数 若 z 2 z i 2 i 为虚数单位 则 z z z z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 解析 设 z a bi a b R 则 a bi 又 z 2 即 a bi z z a bi 2 所以 2a 2 解得 a 1 又 z i 2 即 a bi a bi i 2 z 所以
6、 bi2 1 解得 b 1 所以 z 1 i 答案 D 拓展提升 1 复数的代数形式为 z a bi a b R 其中 a 为实部 b 为虚部 两个实 部相等 虚部互为相反数的复数互为共轭复数 即 z a bi a b R 的共轭复数 就是 a bi a b R z 2 对于复数的四则运算 加 减 乘运算按多项式运算法则计算 除法运算 需把分母实数化来进行 跟踪训练 2 已知复数 z 1 i 求实数 a b 使 az 2b a 2z 2 z 解 因为 z 1 i 所以 az 2b a 2b a 2b i a 2z 2 a 2 2 4 4 a 2 i a2 4a z 4 a 2 i 因为 a b
7、 都是实数 所以由 az 2b a 2z 2 z 得Error Error 解得Error Error 或Error Error 所以所求实数为 a1 2 b1 1 或 a2 4 b2 2 探究 复数 in的周期性运算 3 例 3 计算 1 2020 2 2i 1 i 2 2 1 i 2 1 i i2 i3 i2019 解 1 2020 2 2i 1 i 2 2 1 i 1010 i 1 i 1010 2 2i 2i 2 2i 1 i 1 i i 1010 1 i 1 2 i 2 解法一 in in 1 in 2 in 3 0 n N 1 i i2 i3 i2019 1 i i2 i3 i4
8、i5 i6 i7 i8 i9 i10 i2015 i2016 i2017 i2018 i2019 1 i i2 i3 0 解法二 1 i i2 i2019 0 1 i2020 1 i 1 i505 4 1 i 1 1 1 i 拓展提升 in n N 的性质 根据复数乘法法则 容易得到 i 的 n 次幂的计算法则 即 n N 时 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i 其中 i0 1 i n n N 1 in 另外 i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 跟踪训练 3 1 当 z 时 z100 z50 1 的值等于 1 i 2 A 1 B 1 C i D i 2 计算
9、 6 的值为 1 i 1 i 2 3i 3 2i 答案 1 D 2 1 i 解析 1 z2 2 i 1 i 2 2i 2 z100 z50 1 i 50 i 25 1 i 2 25 i 1 1 i 1 i 2 原式 6 1 i 2 2 2 3i 3 2i 3 2 i6 1 i 6 2i 3i 6 5 1 复数代数形式的乘除运算 1 复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式 复数的乘法满足交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 2 在进行复数代数形式的除法运算时 通常先将除法写成分式的形式 再把 分子 分母都乘以分母的共轭复数 化简后可得 类似于以前学习的分母有理化 2 共轭复数性质可以用来解决一
10、些复数问题 3 复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法 其桥梁是设复数 z a bi a b R 利用复数相等的充要条件转化 1 复数 i 2 i A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 答案 A 解析 i 2 i 2i i2 1 2i 选 A 2 复数等于 2 1 i A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 答案 A 解析 1 i 选 A 2 1 i 2 1 i 1 i 1 i 2 1 i 2 3 1 i 2 2 i 2 i 答案 i 3 5 14 5 解析 1 i 2 2i i 2 i 2 i 2 i 2 5 3 5 14 5 4 1 2i 3 4i 1 i 答案 9 13i 解析 1 2i 3 4i 1 i 11 2i 1 i 9 13i 5 把复数 z 的共轭复数记作 已知 i 4 3i 求 z z z z 解 由 i 4 3i 得 3 4i 所以 z 3 4i z z 4 3i i 所以 z z 3 4i 3 4i 3 4i 2 3 4i 3 4i 7 24i 25
