《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题五 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题五 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 点 直线 平面之间的位置关系 高考考点考点解读 与空间位置关系有关的命题真假的判断 1 多以命题的形式出现 判断命题的真假 2 考查空间几何体中点 线 面的位置关系 证明平行关系 1 以多面体为命题背景 证明线线平行 线面平 行 面面平行 2 以三视图的形式给出几何体 判断或证明平 行关系 考查平行的判定及性质 证明垂直关系 1 以多面体为命题背景 证明线线垂直 线面垂 直 面面垂直 2 考查垂直关系的判定定理与性质定理 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面 1 加强对空间几何体概念及位置关系的理解 掌握三个公理以及它们的推论 2 掌握各种判定定理 性质定理的条件与结论 并且
2、会应用 3 掌握利用线线平行 线面平行 面面平行之间的转化关系 掌握线线垂直 线面垂 直 面面垂直之间的转化关系 预测 2020 年命题热点为 1 空间几何体中各种垂直 平行关系的证明 2 已知空间几何体中的命题 判断其真假 Z 知识整合 hi shi zheng he 1 线面平行与垂直的判定与性质 定理名称文字语言图形语言符号语言 线面平行的判定定理 平面外一条直线与平 面内的一条直线平行 则这条直线与此平面 平行 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面 平行 则过这条直线 的任何一个平面与此 平面的交线与该直线 平行 a a b a b 线面垂直的判定定理 一条直线和一个平面 内的两条相
3、交直线都 垂直 则该直线与此 平面垂直 a b a b A l a l b l 线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两 条直线平行 a b a b 2 面面平行与垂直的判定与性质 定理名称文字语言图形语言符号语言 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两 条相交的直线都平行 于另一个平面 那么 这两个平面平行 a b a b P a b 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 且 a 且 b a b 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线 则这两个 平面垂直 a a 面面垂直的性质定理 两个平面垂直 则一 个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面
4、垂直 b a b a b 3 三种平行关系的转化 4 三种垂直关系的转化 Y 易错警示 i cuo jing shi 1 忽略判定定理和性质定理中的条件 应用线面平行判定定理时 忽略 直线在平面外 直线在平面内 的条件 应用线面 垂直及面面平行的判定定理时 忽略 两直线相交 两直线在平面内 的条件 应用面面 垂直的性质定理时忽略 直线在平面内 直线垂直于两平面的交线 的条件等 2 把平面几何中的相关结论推广到空间直接利用 如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行 这个结论在空间中不成立 3 不能准确掌握判定定理和性质定理 如线面平行的性质定理中是过与平面平行的直线的平面与该平面的交线与已知直
5、线平 行 而非作出的直线 面面平行的性质定理中平行的两条直线一定是第三个平面与两平行 平面的交线等 1 文 2018 全国卷 9 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为棱 CC1的中点 则异面 直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 C A B 2 2 3 2 C D 5 2 7 2 解析 因为 CD AB 所以 EAB 即为异面直线 AE 与 CD 所成角 连接 BE 在直 角三角形 ABE 中 AB 1 BE 所以 tan EAB 5 2 BE AB 5 2 理 2018 全国卷 9 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 则异面 3 直线 AD1与 DB1
6、所成角的余弦值为 C A B 1 5 5 6 C D 5 5 2 2 解析 方法一 以 D 为坐标原点 DA DC DD1所在直线为 x y z 轴建立空间直 角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 0 D1 0 0 B1 1 1 33 所以 AD1 1 0 DB1 1 1 设异面直线 AD1与 DB1所成角为 33 则 cos cos AD1 DB1 1 3 1 3 1 1 3 5 5 方法二 如图 连接 A1D 交 AD1于点 E 取 A1B1中点 F 连接 EF 则 EF 綊 B1D 连接 D1F 在 A1FE 1 2 中 D1EF 为异面直线 AD1与 DB1的夹角 由已知 EF D
7、B1 1 2 1 212 12 3 2 5 2 D1E AD1 1 D1F 1 2 1 1 2 2 5 2 所以 cos D1EF EF2 ED21 D1F2 2EF ED1 5 5 2 2018 浙江卷 8 已知四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 侧棱长均相等 E 是线段 AB 上的点 不含端点 设 SE 与 BC 所成的角为 1 SE 与平面 ABCD 所成的角为 2 二面 角 S AB C 的平面角为 3 则 D A 1 2 3 B 3 2 1 C 1 3 2 D 2 3 1 解析 选 D 如图所示 作 S 的投影点 O 取 AB 的中点 F 连接 SO SF OF 作 GE 平行于
8、BC 且 GE BC 连接 SG OG SE OE 1 2 因为 S ABCD 的底面是正方形 侧棱长均相等 所以 SOF SOE SGE 90 因为 SE 与 BC 所成的角为 1 所以 cos 1 因为 SE 与平面 ABCD 所成的角为 GE SE 2 所以 sin 2 因为二面角 S AB C 的平面角为 3 所以 SO SE sin 3 cos 3 因为 GE OF SF SE 所以 SO SF OF SF cos 1 cos 3 sin 2 sin 3 即 1 3 2 3 所以 2 3 1 3 2018 全国卷 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都 相等
9、则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A A B 3 3 4 2 3 3 C D 3 2 4 3 2 解析 选 A 由于平面 与每条棱所成的角都相等 所以平面 与平面 AB1D1平行 或重合 如图 而在与平面 AB1D1平行的所有平面中 面积最大的为由各棱的中点构成的截面 EFGHMN 而平面 EFGHMN 的面积 S 6 1 2 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 2017 全国卷 6 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A 解析 A 项 作如图 所示的辅助线 其中 D 为 BC 的
10、中点 则 QD AB QD 平面 MNQ Q QD 与平面 MNQ 相交 直线 AB 与平面 MNQ 相交 B 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD MQ AB MQ 又 AB 平面 MNQ MQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ C 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD MQ AB MQ 又 AB 平面 MNQ MQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ D 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD NQ AB NQ 又 AB 平面 MNQ NQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ 故选 A 5 2016 全国卷 11 平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A
11、 平面 CB1D1 平面 ABCD m 平面 ABB1A1 n 则 m n 所成角的正弦值为 A A B 3 2 2 2 C D 3 3 1 3 解析 如图所示 因为 平面 CB1D1 所以若设平面 CB1D1 平面 ABCD m1 则 m1 m 又因为平面 ABCD 平面 A1B1C1D1 结合平面 B1D1C 平面 A1B1C1D1 B1D1 所以 B1D1 m1 故 B1D1 m 同理可得 CD1 n 故 m n 所成角的大小与 B1D1 CD1所成角的大小相等 即 CD1B1的大小 而 B1C B1D1 CD1 均为面对角线 因此 CD1B1 即 sin CD1B1 3 3 2 6 2
12、018 北京卷 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 平面 PAD 平面 ABCD PA PD PA PD E F 分别为 AD PB 的中点 1 求证 PE BC 2 求证 平面 PAB 平面 PCD 3 求证 EF 平面 PCD 命题意图 考查空间中直线与平面的位置关系的判定 意在考查空间想象能力 逻 辑推理能力 培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力 体现了逻辑推理 直观想象的数 学素养 证明 1 在 PAD 中 PA PD E 是 AD 的中点 所以 PE AD 又底面 ABCD 为矩形 所以 AD BC 所以 PE BC 2 因为底面 ABCD 为矩形 所以
13、AD CD 又因为平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD CD 平面 ABCD 所以 CD 平面 PAD 又 PA 平面 PAD 所以 CD PA 又因为 PA PD CD PD 平面 PCD CD PD D 所以 PA 平面 PCD 又 PA 平面 PAB 所以平面 PAB 平面 PCD 3 取 PC 的中点 G 连接 DG FG 因为底面 ABCD 为矩形 所以 AD 綊 BC 又 E 是 AD 的中点 所以 DE 綊 BC 1 2 在 PBC 中 F G 分别是 PB PC 的中点 所以 FG 綊 BC 1 2 所以 DE 綊 FG 四边形 DEFG 是平行四边
14、形 所以 EF DG 又因为 EF 平面 PCD DG 平面 PCD 所以 EF 平面 PCD 命题方向1 线面位置关系的命题真假判断 例 1 1 已知 m n 表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 B A 若 m n 则 m n B 若 m n 则 m n C 若 m m n 则 n D 若 m m n 则 n 解析 对于选项 A 若 m n 则 m n 相交或平行或异面 故 A 错 对于选 项 B 若 m n 则 m n 故 B 正确 对于选项 C 若 m m n 则 n 或 n 故 C 错 对于选项 D 若 m m n 则 n 或 n 或 n 故 D 错 2 如图 矩形 ABCD
15、 中 AB 2AD E 为边 AB 的中点 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE 若 M 为线段 A1C 的中点 则在 ADE 翻折过程中 下面四个命题中不正确的是 C A BM 是定值 B 点 M 在某个球面上运动 C 存在某个位置 使 DE A1C D 存在某个位置 使 MB 平面 A1DE 解析 取 CD 中点 N 连接 MN BN 则 MN DA1 BN DE 所以 平面 MBN 平面 A1DE 所以 MB 平面 A1DE 故 D 正确 由 A1DE MNB MN A1D 定值 NB DE 定值 由余弦定理可得 1 2 MB2 MN2 NB2 2MN NB cos MNB 所以
16、MB 是定值 故 A 正确 因为 B 是定点 所 以 M 是在以 B 为圆心 MB 为半径的球上 故 B 正确 A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC AC 与 DE 不垂直 可得 C 不正确 因此 选 C 规律总结 判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结 合有关定 进行肯定或否定 G 跟踪训练 en zong xun lian 1 已知直线 l 平面 直线 m 平面 给出下面有四个命题 l m l m l m l m m 与 不相交 则其中正确的命题为 D A B C D 解析 由 l 得 l 又 m l m 正确 由 l 得 l 或 l 故不能得到 l m 错误 由 l l m 得 m 又 m 正确 由 l m l 得 m 或 m 故 m 不相交 正确 故选 D 2 已知 是两个不同的平面 m n 是两条不同的直线 有下列命题 若 m n 平行于同一平面 则 m 与 n 平行 若 m n 则 m n 若 不平行 则在
