《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三 第一讲 三角函数的图象与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三 第一讲 三角函数的图象与性质（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题三专题三 三角函数及解三角形三角函数及解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质 高考考点考点解读 三角函数的定义域 值域 最值 1 求三角函数的值域或最值 2 根据值域或最值求参数 三角函数的单调性 奇偶性 对称性和周期 性 1 根据图象或周期公式求三角函数的周期 单调区间或判断奇偶性 2 根据单调性 奇偶性 周期性求参数 三角函数的图象及应用 1 考查三角函数的图象变换 2 根据图象求解析式或参数 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面 1 加强对三角概念的理解 会求三角函数的值域或最值 2 掌握三角函数的图象与性质 能够判断三角函数的单调性 奇偶性 周期性 对称 性等 3 掌握三
2、角函数图象变换 已知图象求参数 五点法 作图 预测 2019 年命题热点为 1 三角函数在指定区间上的值域 最值问题 2 已知三角函数奇偶性及对称性 周期性等性质求参数或求函数的单调区间 3 三角函数的图象变换及求三角函数的解析式 Z 知识整合 hi shi zheng he 1 三角函数的图象与性质 函数y sinxy cosxy tanx 图象 定义域RR x x k k Z 2 值域 1 1 1 1 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 最小 正周期 2 2 单调性 在 2k 2k 2 2 k Z 上递增 在 2k 2 2k k Z 上递减 3 2 在 2k 2k k Z 上递增 在 2k 2k
3、 k Z 上 递减 在 k k 2 2 k Z 上递增 最值 当 x 2k k Z 时 2 y 取得最大值 1 当 x 2k k Z 时 y 取得最大值 1 当 x 2k k Z 时 y 取得最小值 1 无最值 当 x 2k k Z 2 时 y 取得最小值 1 对称性 对称中心 k 0 k Z 对称轴 x k k Z 2 对称中心 k 0 k Z 2 对称轴 x k k Z 对称中心 0 k Z k 2 2 函数 y Asin x 的图象 1 五点法 作图 设 z x 令 z 0 2 求出 x 的值与相应的 y 的值 描点连线可得 2 3 2 3 三角函数的奇偶性 1 函数 y Asin x
4、是奇函数 k k Z 是偶函数 k k Z 2 2 函数 y Acos x 是奇函数 k k Z 是偶函数 k k Z 2 3 函数 y Atan x 是奇函数 k k Z 4 三角函数的对称性 1 函数 y Asin x 的图象的对称轴由 x k k Z 解得 对称中心的横坐标由 x k k Z 解得 2 2 函数 y Acos x 的图象的对称轴由 x k k Z 解得 对称中心的横坐标由 x k k Z 解得 2 3 函数 y Atan x 的图象的对称中心由 x k Z 解得 k 2 Y 易错警示 i cuo jing shi 1 忽视定义域 求解三角函数的单调区间 最值 值域 以及作
5、图象等问题时 要注意函数的定义域 2 重要图象变换顺序 在图象变换过程中 注意分清是先相位变换 还是先周期变换 变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的 如果 x 的系数不是 1 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向 3 忽视 A 的符号 在求 y Asin x 的单调区间时 要特别注意 A 和 的符号 若 0 需先通过诱 导公式将 x 的系数化为正的 4 易忽略对隐含条件的挖掘 扩大角的范围导致错误 1 2018 全国卷 8 已知函数 f 2cos2x sin2x 2 则 B x A f的最小正周期为 最大值为 3 x B f的最小正周期为 最大值为 4 x C f的最小正周期为
6、 2 最大值为 3 x D f的最小正周期为 2 最大值为 4 x 解析 f x 2cos2x 1 cos2x 2 3cos2x 1 cos2x 所以最小正周期为 最大值为 4 3 2 5 2 2 文 2018 全国卷 10 若 f x cosx sinx 在 0 a 上是减函数 则 a 的最大值是 C A B 4 2 C D 3 4 解析 f x cosx sinx cos在上单调递减 2 x 4 4 3 4 所以 0 a 故 0 a 4 3 4 3 4 理 2018 全国卷 10 若 f x cosx sinx 在 a a 上是减函数 则 a 的最大值是 A A B 4 2 C D 3 4
7、 解析 f x cosx sinx cos在上单调递减 所以 a a 2 x 4 4 3 4 故 a 且 a 解得 00 2 x sin2x 0 所以 0 2 图象在 x 轴的上方 当 x 时 sin2x 0 2 x sin2x 0 所以图象在 x 轴的下方 排除 C 2 故选 D 4 2018 江苏卷 7 已知函数 y sin 2x 的图象关于直线 x 对称 2 2 3 则 的值是 6 解析 正弦函数的对称轴为 x k k Z 故把 x 代入得 k k Z 2 3 2 3 2 k k Z 因为 3 若 x 则 2x 3 m 2 3 2m 2x 6 5 6 2m 6 若 2m 即 m 因为 f
8、 x 在 m 上的最大值为 3 3 3 2 所以 y sin 2x 在 m 上的最大值为 1 6 3 又因为当且仅当 2x 2k 即 x k k Z 时 6 2 3 y sin 2x 1 6 所以 m x x k k Z 3 3 令 k k Z 得 k 即 k 0 1 2 3 3 2 3 所以 x 0 m 即 m 3 3 3 3 所以 m 的最小值为 3 命题方向1 三角函数的值域 最值问题 例 1 1 2018 石家庄一模 若函数 f x sin 2x cos 2x 0 的图 3 象关于 0 中心对称 则函数 f x 在 上的最小值是 B 2 4 6 A 1 B 3 C D 1 2 3 2
9、解析 f x 2sin 2x 又图象关于 0 中心对称 所以 6 2 2 k k Z 2 6 所以 k 又 0 0 在 上仅有 1 个最值 且为最大值 则实数 6 5 12 的值不可能为 C A B 4 5 7 6 C D 3 2 5 4 解析 依题意 函数 f x sin x cos x sin x 2 4 又函数 f x 在 x 上仅有 1 个最值 且为最大值 根据三角函数的图象与性质知 6 5 12 2k 2k k Z 且 2k 2k k Z 即为 12k 12k 2 6 4 2 2 5 12 4 3 2 9 2 且k k 3 k Z 3 2 24 5 3 5 24 5 当 k 0 时
10、经检验 时不在上面的公共区域 3 2 2 已知函数 f x 1 2sin 2x x 若不等式 f x m 2 在 x 上恒 3 4 2 4 2 成立 则实数 m 的取值范围为 1 解析 因为 x 所以 2x 4 2 3 6 2 3 即 1 2sin 2x 2 3 3 所以 f x max 3 不等式 f x mf x max 2 即 m 的 4 2 取值范围是 1 命题方向2 三角函数的性质及应用 例 2 已知函数 f x sin2x cos2x 2sinxcosx x R 3 1 求 f 的值 2 3 2 求 f x 的最小正周期及单调递增区间 解析 1 由 sin cos 2 3 3 2
11、2 3 1 2 得 f 2 2 2 2 3 3 2 1 23 3 2 1 2 所以 f 2 2 3 2 由 cos2x cos2x sin2x 与 sin2x 2sinxcosx 得 f x cos2x sin2x 2sin 2x 3 6 所以 f x 的最小正周期是 由正弦函数的性质得 2k 2x 2k k Z 解得 k x k k Z 2 6 3 2 6 2 3 所以 f x 的单调递增区间是 k k k Z 6 2 3 规律总结 1 求解函数 y Asin x 的性质问题的三种意识 1 转化意识 利用三角恒等变换将所求函数转化为 f x Asin x 的形式 2 整体意识 类比 y si
12、nx 的性质 只需将 y Asin x 中的 x 看成 y sinx 中的 x 采用整体代入求解 令 x k k Z 可求得对称轴方程 2 令 x k k Z 可求得对称中心的横坐标 将 x 看作整体 可求得 y Asin x 的单调区间 注意 的符号 3 讨论意识 当 A 为参数时 求最值应分情况讨论 A 0 A0 的单调区间时 令 x z 则 y Asinz 或 y Acosz 然后由复合函数的单调性求得 图象法 画出三角函数的图象 结合图象求其单调区间 2 判断对称中心与对称轴 利用函数 y Asin x 的对称轴一定经过图象的最高点 或最低点 对称中心一定是函数的零点这一性质 通过检验
13、 f x0 的值进行判断 3 三角函数周期的求法 利用周期定义 利用公式 y Asin x 和 y Acos x 的最小正周期为 y tan x 的 2 最小正周期为 利用图象 G 跟踪训练 en zong xun lian 1 已知 0 在函数 y 2sin x 与 y 2cos x 的图象的交点中 距离最短的两个交点 的距离为 2 则 3 2 解析 由题意 两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离 设相邻的 两交点坐标分别为 P x1 y1 Q x2 y2 易知 PQ 2 x2 x1 2 y2 y1 2 其中 y2 y1 2 x2 x1 为函数 y 2sin x 2cos x 2s
14、in x 的两个相邻 2222 4 零点之间的距离 恰好为函数最小正周期的一半 所以 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 设函数 f x Asin x A 是常数 A 0 0 若 f x 在区间 上具 6 2 有单调性 且 f f f 则 f x 的最小正周期为 2 2 3 6 解析 由 f x 在区间 上具有单调性 且 f f 知 f x 有对称中心 0 6 2 2 6 3 由 f f 知 f x 有对称轴 x 记 f x 的最小正周期为 T 则 T 即 2 2 3 1 2 2 2 3 7 12 1 2 2 6 T 故 解得 T 2 3 7 12 3 4 T 4 命题方向3 三角函数
15、的图象及应用 例 3 1 将函数 y cosx sinx x R 的图象向左平移 m m 0 个单位长度后 3 所得到的图象关于 y 轴对称 则 m 的最小值是 A A B 6 12 C D 3 5 6 解析 设 f x cosx sinx 3 2 cosx sinx 3 2 1 2 2sin x 3 向左平移 m 个单位长度得 g x 2sin x m 3 g x 的图象关于 y 轴对称 g x 为偶函数 m k k Z 3 2 m k k Z 又 m 0 6 m 的最小值为 6 2 已知 A B C D 是函数 y sin x 0 0 一个周期内的图象上的四个点 2 如图所示 A 0 B
16、为 y 轴上的点 C 为图象上的最低点 E 为该图象的一个对称中 6 心 B 与 D 关于点 E 对称 在 x 轴上的投影为 则 A CD 12 A 2 B 2 3 6 C D 1 2 3 1 2 6 解析 由题意可知 T 4 6 12 4 T 2 2 又 sin 2 0 0 6 2 故选 A 3 规律总结 1 函数 y Asin x 的解析式的确定 1 A 由最值确定 A 最大值 最小值 2 2 由周期确定 3 由图象上的特殊点确定 提醒 根据 五点法 中的零点求 时 一般先根据图象的升降分清零点的类型 2 在图象变换过程中务必分清是先相位变换 还是先周期变换 变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的 如果 x 的系数不是 1 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向 G 跟踪训练 en zong xun lian 1 将 f x sin2x 的图象右移 0 个单位后 得到 g x 的图象 若对于满足 f x1 2 g x2 2 的 x1 x2 有 x1 x2 的最小值为 则 的值为 B 3 A B 12 6 C D 4 3 解析 g x sin 2 x sin 2x 2 则
