《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一 第三讲 不等式及线性规划》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一 第三讲 不等式及线性规划（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲 不等式及线性规划 高考考点考点解读 不等式的性 质及解法 1 利用不等式的性质判定命题的真假及一元二次不等式的解法 2 通过含参数不等式恒成立求参数范围 基本不等式的应用 1 考查利用基本不等式求最值问题 2 常与集合 函数等知识交汇命题 线性规划问题 1 给出约束条件求最值 求区域面积 2 已知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面 1 掌握不等关系与不等式解法 基本不等式的应用 2 熟练掌握求解线性规划问题的方法 给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行 域 3 关注目标函数的几何意义和参数问题 掌握求目标函数最值的方法 预测
2、2020 年命题热点为 1 不等式的性质 不等关系及不等式解法 利用基本不等式求函数最值 2 求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题 Z 知识整合 hi shi zheng he 1 不等式的四个性质 注意不等式的乘法 乘方与开方对符号的要求 如 1 a b c 0 ac bc a b c 0 acb 0 c d 0 ac bd 3 a b 0 an bn n N n 1 4 a b 0 n N n 2 n a n b 2 四类不等式的解法 1 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2 bx c 0 a 0 再求相应一元 二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 最后根
3、据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系 确定一元二次不等式的解集 2 简单分式不等式的解法 0 0 1 时 af x ag x f x g x 当 0 aag x f x 1 时 logaf x logag x f x g x 0 当 0 alogag x g x f x 0 3 基本不等式 1 基本不等式的常用变形 a b 2 a 0 b 0 当且仅当 a b 时 等号成立 ab a2 b2 2ab ab 2 a b R 当且仅当 a b 时 等号成立 a b 2 2 a b 同号且均不为零 当且仅当 a b 时 等号成立 b a a b a 2 a 0 当且仅当 a 1 时 等号成立 a
4、2 a0 b 0 则 当且仅当 a b 时取等号 a2 b2 2 a b 2ab 2 1 a 1 b 2 利用基本不等式求最值 已知 a b R 则 若 a b S S 为定值 则 ab 2 当且仅当 a b 时 a b 2 S2 4 ab 取得最大值 S2 4 若 ab T T 为定值 且 T 0 则 a b 2 2 当且仅当 a b 时 a b 取得 abT 最小值 2 T 4 求目标函数的最优解问题 1 斜率型 目标函数 z a b 为常数 最优解为点 a b 与可行域上点的连线 y b x a 的斜率取最值时的可行解 2 两点间距离型 目标函数 z a b 为常数 最优解为点 a b
5、x a 2 y b 2 与可行域上点之间的距离取最值时的可行解 5 线性规划中的参数问题的注意点 1 当最值已知时 目标函数中的参数往往与直线斜率有关 解题时应充分利用斜率这 一特征加以转化 2 当目标函数与最值都已知 且约束条件中含有参数时 因为平面区域是变动的 所 以要抓住目标函数及最值已知这一突破口 先确定最优解 然后变动参数范围 使得这样 的最优解在该区域内即可 6 重要性质及结论 1 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是Error Error 2 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是Error Error Y 易错警示 i cuo jing shi 1 忽略条件 应用
6、基本不等式求最值时 要注意 一正 二定 三相等 三个条件缺一不可 否则 会导致结论错误 2 忽视分母不等于零 求解分式不等式时应注意正确进行同解变形 不能把 0 直接转化为 f x g x 0 f x g x 而忽略 g x 0 3 忽略等号成立的条件 在连续使用基本不等式求最值时 应特别注意检查等号是否同时成立 1 2018 天津卷 2 设变量 x y 满足约束条件Error Error 则目标函数 z 3x 5y 的最大值 为 C A 6 B 19 C 21 D 45 解析 画出可行域如图中阴影部分所示 由 z 3x 5y 得 y x 3 5 z 5 设直线 l0为 y x 平移直线 l0
7、 当直线 y x 过点 P 2 3 时 z 取得最大值 3 5 3 5 z 5 zmax 3 2 5 3 21 故选 C 2 2017 全国卷 7 设 x y 满足约束条件Error Error 则 z x y 的最大值为 D A 0 B 1 C 2 D 3 解析 根据题意作出可行域 如图阴影部分所示 由 z x y 得 y x z 作出直线 y x 并平移该直线 当直线 y x z 过点 A 时 目标函数取最大值 由图知 A 3 0 故 zmax 3 0 3 故选 D 3 2017 全国卷 5 设 x y 满足约束条件Error Error 则 z 2x y 的最小值是 A A 15 B 9
8、 C 1 D 9 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 将目标函数 z 2x y 化为 y 2x z 作出直线 y 2x 并平移该直线 知当直线 y 2x z 经过点 A 6 3 时 z 有最小值 且 zmin 2 6 3 15 故选 A 4 2018 全国卷 13 若 x y 满足约束条件Error Error 则 z 3x 2y 的 最大值为 6 解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示 由 z 3x 2y 得 y x 3 2 z 2 作直线 l0 y x 平移直线 l0 当直线 y x 3 2 3 2 z 2 过点 2 0 时 z 取最大值 zmax 3 2 2 0 6 5
9、 2018 全国卷 14 若 x y 满足约束条件Error Error 则 z x y 的最大值为 9 解析 由不等式组画出可行域 如图 阴影部分 x y 取得最大值 斜率为 1 的直 线 x y z z 看做常数 的横截距最大 由图可得直线 x y z 过点 C 时 z 取得最大值 由Error Error 得点 C 5 4 zmax 5 4 9 6 2018 天津卷 13 已知 a b R 且 a 3b 6 0 则 2a 的最小值为 1 8b 1 4 解析 a 3b 6 0 a 3b 6 2a 2a 2 3b 2 2 1 8b2a 2 3b 2 2 2 3 当且仅当Error Error
10、 时等号成立 即Error Error 时取到等号 2a 3b2 6 1 4 7 2018 江苏卷 13 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c ABC 120 ABC 的平分线交 AC 于点 D 且 BD 1 则 4a c 的最小值为 9 解析 方法一 如图 1 S ABC S ABD S BCD ac sin120 c 1 sin60 a 1 sin60 1 2 1 2 1 2 ac a c 1 1 a 1 c 4a c 4a c 5 1 a 1 c c a 4a c 2 5 9 c a 4a c 当且仅当 即 c 2a 时取等号 c a 4a c 方法二 如图 2 以
11、 B 为原点 BD 为 x 轴建立平面直角坐标系 则 D 1 0 A C c 2 3 2 c a 2 3 2 a 又 A D C 三点共线 c 2 1 3 2 c a 2 1 3 2 a ac a c 以下同方法一 命题方向1 不等式的性质及解不等式 例 1 1 2018 保定一模 下列三个不等式 x 2 x 0 b c 0 1 x c a c b a b m 0 且 a b 恒成立的个数为 B a m b m a b A 3 B 2 C 1 D 0 解析 当 xb c 0 得 所以 0 且 a0 恒成立 故 恒成立 a m b m a b m b a b b m a m b m a b 2
12、2018 衡阳一模 已知一元二次不等式 f x 9 的解集为 x x 或 x 3 则 f ex 0 的 1 2 解集为 D A x xln 3 B x ln2 x ln3 C x x ln3 D x ln2 x0 的解集为 x x0 所以 ex 3 解得 ln2 x0 a 0 再结合相应二次方程的根及 二次函数图象确定一元二次不等式的解集 2 含指数 对数的不等式 利用指数 对数函数的单调性将其转化为整式不等式求 解 3 有函数背景的不等式 灵活利用函数的性质 单调性 奇偶性 对称性等 与图象求 解 G 跟踪训练 en zong xun lian 1 已知 x y R 且 x y 0 则 C
13、A 0 B sinx siny 0 1 x 1 y C x y0 1 2 1 2 解析 因为 x y 0 选项 A 取 x 1 y 则 1 2 1 0 排除 A 选项 1 2 1 x 1 y B 取 x y 则 sinx siny sin sin 1 0 排除 B 选项 D 取 x 2 y 2 2 1 2 则 lnx lny ln x y ln1 0 排除 D 故选 C 2 已知实数 x y 满足 ax ay 0 a B ln x2 1 ln y2 1 1 x2 1 1 y2 1 C sinx siny D x3 y3 解析 根据指数函数的性质得 x y 此时 x2 y2的大小不确定 故选项
14、A B 中的不 等式不恒成立 根据三角函数性质 选项 C 中的不等式也不恒成立 根据不等式的性质知 选项 D 中的不等式恒成立 3 设函数 f x Error Error 若 f f a 2 则实数 a 的取值范围是 a 2 解析 由题意Error Error 或Error Error 解得 f a 2 所以Error Error 或Error Error 解得 a 2 命题方向2 基本不等式及其应用 例 2 2018 徐州质检 设 a b c 都是正实数 且 a b 满足 1 则使 1 a 9 b a b c 恒成立的 c 的范围是 D A 0 8 B 0 10 C 0 12 D 0 16
15、分析 c a b 恒成立 设 a b 的最小值为 m 则 c m a b 为正实数 且 1 故可用 1 的代换 求 a b 的最小值 1 a 9 b 解析 a b 为正实数 1 1 a 9 b a b a b 10 10 2 16 当且仅当 即 1 a 9 b b a 9a b b a 9a b b a 9a b a 4 b 12 时等号成立 a b min 16 要使 c a b 恒成立 c 为正实数 00 且 1 x 3 y 4 m 3 n 4 所以 2 当且仅当 即 m n 2 时 取等号 所以 即 m 3 n 4 m 3 n 4 2 m 3 n 4 1 2 3 2 m 3 n 4 1
16、4 mn 3 所以 mn 的最大值为 3 2 已知关于 x 的不等式 2x 7 在 x a 上恒成立 则实数 a 的最小值为 2 x a B A 1 B 3 2 C 2 D 5 2 解析 2x 2 x a 2a 2 2a 4 2a 2 x a 2 x a 2 x a 2 x a 由题意可知 4 2a 7 得 a 3 2 即实数 a 的最小值为 故选 B 3 2 命题方向3 线性规划问题 例 3 1 设变量 x y 满足约束条件 Error Error 则目标函数 z 2x 5y 的最小值为 B A 4 B 6 C 10 D 17 解析 如图 已知约束条件Error Error 所表示的平 面区域为图中所示的三角形区域 ABC 包含边界 其中 A 0 2 B 3 0 C 1 3 根据 目标函数的几何意义 可知当直线 y x 过点 B 3 0 时 z 取得最小值 2 3 5 0 6 2 5 z 5 2 若 x y 满足约束条件Error Error 且目标函数 z ax 2y 仅在点 1 0 处取得最小值 则 a 的取值范围是 B A 4 2 B 4 2 C 4 1 D 4 1 解析 本题
