《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第三讲 定点、定值、存在性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第三讲 定点、定值、存在性问题（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲 定点 定值 存在性问题 高考考点考点解读 圆锥曲线中的定点 定值问题 定点 定值问题一般涉及曲线过定点 与曲线上的动点有 关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长 面积 横 纵 坐标等的定值问题 圆锥曲线中的最值 范围问题 圆锥曲线中的最值 范围问题大致可分为两类 一是涉及 距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 二是求直线 或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求 解与之有关的一些问题 圆锥曲线中的探索性问题 圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面 1 探 索点是否存在 2 探索曲线是否存在 3 探索命题是否 成立 涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的 位置关系问题
2、 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面 1 掌握处理定点 定值的方法 2 掌握解答存在性问题的处理方法 3 掌握函数与方程思想在处理定点 定值问题中的应用 预测 2020 年命题热点为 1 圆锥曲线中的定值问题 2 圆锥曲线中的存在性问题 Z 知识整合 hi shi zheng he 1 定值 定点问题在变化中所表现出来的不变的量 用变化的量表示问题中的直线方 程 数量积 比例关系等 这些直线方程 数量积 比例关系不受变化的量所影响的一个 点 就是要求的定点 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程 数量积 比例关 系等 根据等式的恒成立 数式变换等寻找不受参数影响的量 2 圆锥曲
3、线中最值问题 主要是求线段长度的最值 三角形面积的最值等 3 圆锥曲线中的范围问题 关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系 该问题 主要有以下三种情况 1 距离型 若涉及焦点 则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解 若是圆锥曲线上的点到直线的距离 则可设出与已知直线平行的直线方程 再代入圆锥曲 线方程中 用判别式等于零求得切点坐标 这个切点就是距离取得最值的点 若是在圆或 椭圆上 则可将点的坐标以参数形式设出 转化为三角函数的最值求解 2 斜率 截距型 一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中 利用判别式列出对应 的不等式 解出参数的范围 如果给出的只是圆锥曲线的一部分 则需要结
4、合图形具体分 析 得出相应的不等关系 3 面积型 求面积型的最值 即求两个量的乘积的范围 可以考虑能否使用不等式求 解 或者消元转化为某个参数的函数关系 用函数方法求解 4 探究性问题 有关圆锥曲线中的探究性问题 一般假设满足条件的量存在 以此为 基础进行推理 Y 易错警示 i cuo jing shi 1 求轨迹方程时要注意它的纯粹性与完备性 2 使用函数方法求解最值和范围时 需选择合适的变量 解题时易忽略变量的范围 导致结果的错误 3 直线与双曲线交于一点时 不一定相切 反之 直线与双曲线相切时 只有一个交 点 4 在解决直线与圆锥曲线问题时 若需设直线方程 易忽略直线斜率不存在的情况 1
5、 文 2018 北京卷 20 已知椭圆 M 1 a b 0 的离心率为 焦距为 2 x2 a2 y2 b2 6 32 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A B 1 求椭圆 M 的方程 2 若 k 1 求 AB 的最大值 3 设 P 2 0 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C 直线 PB 与椭圆 M 的另一个交 点为 D 若 C D 和点 Q共线 求 k 7 4 1 4 解析 1 由题意得 2c 2 所以 c 22 又 e 所以 a 所以 b2 a2 c2 1 c a 6 33 所以椭圆 M 的标准方程为 y2 1 x2 3 2 设直线 AB 的方程为 y x m 由
6、Error Error 消去 y 可得 4x2 6mx 3m2 3 0 则 36m2 4 4 3m2 3 48 12m2 0 即 m20 且 k2 2k 4 1 0 即 k 1 且 k 3 且 k 1 所以 kb 0 的右顶点为 A 上顶点为 B 已知 x2 a2 y2 b2 椭圆的离心率为 AB 5 313 求椭圆的方程 设直线 l y kx kx1 0 点 Q 的坐标 为 x1 y1 由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍 可得 PM 2 PQ 从而 x2 x1 2 x1 x1 即 x2 5x1 易知直线 AB 的方程为 2x 3y 6 由方程组Error Error 消去 y 可得
7、 x2 6 3k 2 由方程组Error Error 消去 y 可得 x1 6 9k2 4 由 x2 5x1 可得 5 3k 2 两边平方 整理得 18k2 25k 8 0 解得 k 9k2 4 或 k 8 9 1 2 当 k 时 x2 9b 0 的左焦点为 F 上顶点为 B 已知椭圆 x2 a2 y2 b2 的离心率为 点 A 的坐标为 b 0 且 FB AB 6 5 32 求椭圆的方程 设直线 l y kx k 0 与椭圆在第一象限的交点为 P 且 l 与直线 AB 交于点 Q 若 sin AOQ O 为原点 求 k 的值 AQ PQ 5 2 4 解析 设椭圆的焦距为 2c 由已知得 又由
8、 a2 b2 c2 可得 2a 3b 由已 c2 a2 5 9 知可得 FB a AB b 2 由 FB AB 6 可得 ab 6 从而 a 3 b 2 2 所以 椭圆的方程为 1 x2 9 y2 4 设点 P 的坐标为 x1 y1 点 Q 的坐标为 x2 y2 由已知有 y1 y2 0 故 PQ sin AOQ y1 y2 又因为 AQ 而 OAB 故 AQ y2 y2 sin OAB 42 由 sin AOQ 可得 5y1 9y2 AQ PQ 5 2 4 由方程组Error Error 消去 x 可得 y1 易知直线 AB 的方程为 x y 2 0 由方程 6k 9k2 4 组Error
9、Error 消去 x 可得 y2 由 5y1 9y2 2k k 1 可得 5 k 1 3 两边平方 整理得 56k2 50k 11 0 解得 k 或 k 所 9k2 4 1 2 11 28 以 k 的值为 或 1 2 11 28 3 2018 全国卷 20 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A B 两 x2 4 y2 3 点 线段 AB 的中点为 M 1 m m 0 1 证明 k 1 2 2 设 F 为 C 的右焦点 P 为 C 上一点 且 FP FA FB 0 证明 成等差数列 并求该数列的公差 FA FP FB 解析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 1 1 x2
10、1 4 y21 3 x22 4 y22 3 两式相减 并由 k 得 k 0 y1 y2 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 3 由题设知 1 m 于是 k x1 x2 2 y1 y2 2 3 4m 由题设得 0 m 故 k 3 2 1 2 2 由题意得 F 1 0 设 P x3 y3 则 x3 1 y3 x1 1 y1 x2 1 y2 0 0 由 1 及题设得 x3 3 x1 x2 1 y3 y1 y2 2mb 0 又点在椭圆 C 上 y2 b2 3 1 2 所以Error Error 解得Error Error 因此 椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 因为圆 O 的直径为 F1F2
11、 所以其方程为 x2 y2 3 2 设直线 l 与圆 O 相切于 P x0 y0 x0 0 y0 0 则 x y 3 2 02 0 所以直线 l 的方程为 y x x0 y0 x0 y0 即 y x x0 y0 3 y0 由Error Error 消去 y 得 4x y x2 24x0 x 36 4y 0 2 02 02 0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 所以 24x0 2 4 4x y 36 4y 48y x 2 0 2 02 02 02 0 2 0 因为 x0 y0 0 所以 x0 y0 1 2 因此 点 P 的坐标为 1 2 因为三角形 OAB 的面积为 所以 AB OP
12、 从而 AB 设 A x1 y1 2 6 7 1 2 2 6 7 4 2 7 B x2 y2 由 得 x1 2 24x0 48y2 0 x2 0 2 2 4x2 0 y2 0 所以 AB2 x1 x2 2 y1 y2 2 1 x2 0 y2 0 48y2 0 x2 0 2 4x2 0 y2 0 2 因为 x y 3 所以 AB2 2 02 0 16 x2 0 2 x2 0 1 2 32 49 即 2x 45x 100 0 4 02 0 解得 x x 20 舍去 则 y 因此 P 的坐标为 2 0 5 2 2 02 0 1 2 10 2 2 2 综上 直线 l 的方程为 y x 3 52 命题方
13、向1 圆锥曲线中的定点 定值问题 例 1 已知椭圆 C 1 a b 0 四点 P1 1 1 P2 0 1 P3 1 x2 a2 y2 b2 3 2 P4 1 中恰有三点在椭圆 C 上 3 2 1 求 C 的方程 2 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和 为 1 证明 l 过定点 解析 1 由于 P3 P4两点关于 y 轴对称 故由题设知椭圆 C 经过 P3 P4两点 又由 知 椭圆 C 不经过点 P1 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 所以点 P2在椭圆 C 上 因此Error Error 解得Error Error 故椭
14、圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 2 证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1 k2 如果 l 与 x 轴垂直 设 l x t 由题设知 t 0 且 t 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 8km 4k2 1 4m2 4 4k2 1 而 k1 k2 y1 1 x1 y2 1 x2 kx1 m 1 x1 kx2 m 1 x2 2kx1x2 m 1 x1 x2 x1x2 由题设 k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 即 2k 1 m 1 0 4m2 4 4k2 1 8km 4k2 1 解得 k m 1 2 当且仅当 m 1
15、 时 0 于是 l y x m m 1 2 即 y 1 x 2 m 1 2 所以 l 过定点 2 1 规律总结 1 过定点问题的两大类型及解法 1 动直线 l 过定点问题 解法 设动直线方程 斜率存在 为 y kx t 由题设条件将 t 用 k 表示为 t mk 得 y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线 C 过定点问题 解法 引入参变量建立曲线 C 的方程 再根据其对参变量 恒成立 令其系数等于零 得出定点 2 求解定值问题的三个步骤 1 由特例得出一个值 此值一般就是定值 2 证明定值 有时可直接证明定值 有时将问题转化为代数式 可证明该代数式与参 数 某些变量 无关 也可令系
16、数等于零 得出定值 3 得出结论 G 跟踪训练 en zong xun lian 已知椭圆 C 1 a b 0 的焦点为 2 点 1 在 C 上 x2 a2 y2 b2 3 2 1 求 C 的方程 2 过原点且不与坐标轴重合的直线 l 与 C 有两个交点 A B 点 A 在 x 轴上的射影为 M 线段 AM 的中点为 N 直线 BN 交 C 于点 P 证明 直线 AB 的斜率与直线 AP 的斜率乘积为定值 解析 1 由题意知 C 的焦点坐标为 1 0 2a 22 3 2 2 0 3 2 2 4 b 5 2 3 23 所以 椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 设 A x1 y1 P x2 y2 x1 x2 则 B x1 y1 N x1 y1 2 由点 A P 在椭圆 C 上得 Error Error 两式相减得 kBN y2 1 y2 2 x2 1 x2 2 3 4 3 2y1 2x1 3 4 y1 x1 kBP 因为 B N P 三点共线 所以 kBN kBP y1 y2 x1 x2 即 y1 x1 4 3 y1 y2 x1 x2 所以 kAB kAP 1 y1 x1 y1
