《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第二讲 函数与方程及函数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题二 第二讲 函数与方程及函数的应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 函数与方程及函数的应用 高考考点考点解读 函数的零点 1 利用零点存在性定理或数形结合法确定函数的零点个数或其 存在范围 以及应用零点求参数的值 范围 2 常以高次式 分式 指数式 对数式 三角式结构的函数 为载体考查 函数与方程 的综合应用 1 确定高次式 分式 指数式 对数式 三角式及绝对值式结 构方程解的个数或由其个数求参数的值 范围 2 常与函数的图象与性质的应用交汇命题 函数的实际应用 1 常涉及物价 投入 产出 路径 工程 环保等国计民生的 实际问题 常以面积 体积 利润等最优化问题出现 2 常与函数的最值 不等式 导数的应用综合命题 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下
2、几个方面 1 加强对函数零点的理解 掌握函数的零点与方程根的关系 2 掌握研究函数零点 方程解的问题的方法 3 熟练掌握应用函数模型解决实际问题的一般程序 预测 2020 年命题热点为 1 函数的零点 方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题 2 将实际背景常规化 最后归为二次函数 高次式 分式及分段函数或指数式 对数 式函数为目标函数的应用问题 Z 知识整合 hi shi zheng he 1 几种常见的函数模型 1 一次函数模型 y ax b a 0 2 二次函数模型 y ax2 bx c a 0 3 指数函数模型 y a bx c b 0 且 b 1 4 对数函数模型 y blogax
3、 c a 0 且 a 1 5 分段函数模型 f x Error Error A1 A2 2 函数的零点 1 函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数 f x 把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 f x 的零点 函数 F x f x g x 的零 点就是方程 f x g x 的根 即函数 y f x 的图象与函数 y g x 的图象交点的横坐标 2 零点存在性定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那 么函数 y f x 在区间 a b 内有零点 即存在 c a b 使得 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的一个
4、根 3 思想与方法 1 数学方法 图象法 分离参数法 最值的求法 2 数学思想 数形结合 转化与化归 函数与方程 Y 易错警示 i cuo jing shi 1 忽略概念 函数的零点不是一个 点 而是函数图象与 x 轴交点的横坐标 2 不能准确应用零点存在性定理 函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点 但存在零点时不一定满足该条 件 即函数 y f x 在 a b 内存在零点 不一定有 f a f b 0 1 2018 全国卷 9 已知函数 f x Error Error g x f x x a 若 g x 存在 2 个零点 则 a 的取值范围是 C A 1 0 B 0 C 1 D 1
5、 解析 令 h x x a 则 g x f x h x 在同一坐标系中画出 y f x y h x 图象的示意图 如图所示 若 g x 存在 2 个零点 则 y f x 的图象与 y h x 的图象有 2 个交点 平移 y h x 的图 象 可知 当直线 y x a 过点 0 1 时 有 2 个交点 此时 1 0 a a 1 当 y x a 在 y x 1 上方 即 a 1 时 有 2 个交点 符合题意 综上 a 的取值范围为 1 故选 C 2 2017 全国卷 11 已知函数 f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零点 则 a C A B 1 2 1 3 C D 1 1 2 解
6、析 方法一 f x x2 2x a ex 1 e x 1 x 1 2 a ex 1 e x 1 1 令 t x 1 则 g t f t 1 t2 a et e t 1 g t t 2 a e t et 1 g t 函数 g t 为偶函数 f x 有唯一零点 g t 也有唯一零点 又 g t 为偶函数 由偶函数的性质知 g 0 0 2a 1 0 解得 a 1 2 故选 C 方法二 f x 0 a ex 1 e x 1 x2 2x ex 1 e x 1 2 2 ex 1 e x 1 当且仅当 x 1 时取 x2 2x x 1 2 1 1 当且仅当 x 1 时取 若 a 0 则 a ex 1 e x
7、 1 2a 要使 f x 有唯一零点 则必有 2a 1 即 a 1 2 若 a 0 则 f x 的零点不唯一 故选 C 3 2017 北京卷 8 根据有关资料 围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 而可观 测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080 则下列各数中与最接近的是 D M N 参考数据 lg 3 0 48 A 1033 B 1053 C 1073 D 1093 解析 由题意 lg lg lg 3361 lg 1080 M N 3361 1080 361 lg 3 80lg 10 361 0 48 80 1 93 28 又 lg 1033 33 lg 1053 53 lg
8、1073 73 lg 1093 93 故与最接近的是 1093 故选 D M N 4 2016 四川卷 5 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长 12 则 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 B 参考数据 lg 1 12 0 05 lg 1 3 0 11 lg 2 0 30 A 2018 年 B 2019 年 C 2020 年 D 2021 年 解析 设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元 由题可知 130 1 12 x 200 解得 x log1 12 3
9、 80 因资金需超过 200 万 则 x 取 4 即 2019 200 130 lg 2 lg 1 3 lg 1 12 年 故选 B 5 文 2018 天津卷 14 已知 a R 函数 f x Error Error 若对任意 x 3 f x x 恒成立 则 a 的取值范围是 1 8 2 解析 如图所示 若对任意 x 3 要使函数 y f x 的图象在 y x 图象的下方 则必有Error Error 且在 0 内直线 y x 与 y x2 2x 2a 相切或相离 所以 x x2 2x 2a 有两个相等实根或无实根 即对于方程 x2 x 2a 0 1 2 4 2a 0 解得 a 1 8 由 得
10、 9 6 a 2 3 且 a 2 0 所以 a 2 综上 a 2 1 8 理 2018 天津卷 14 已知 a 0 函数 f x Error Error 若关于 x 的方程 f x ax 恰有 2 个互异的实数解 则 a 的取值范围是 4 8 解析 作出函数 f x 的示意图 如图 l1是过原点且与抛物线 y x2 2ax 2a 相切 的直线 l2是过原点且与抛物线 y x2 2ax a 相切的直线 由图可知 当直线 y ax 在 l1 l2之间 不含直线 l1 l2 变动时 符 合题意 由Error Error 消去 y 整理得 x2 ax 2a 0 由 0 得 a 8 a 0 舍去 由Er
11、ror Error 消去 y 整理得 x2 ax a 0 由 0 得 a 4 a 0 舍去 综上 得 4 a 8 6 2018 浙江卷 15 已知 R 函数 f x Error Error 当 2 时 不等式 f x 0 的解集 是 1 4 若函数 f x 恰有 2 个零点 则 的取值范围是 1 3 4 解析 1 当 2 时 f x Error Error 其图象如图 1 由图知 f x 1 0 b1 0 b 1 f x ax x b 所以 f 1 1 b0 1 a 所以 f 1 f 0 0 则由零点存在性定理可知 f x 在区间 1 0 上存在零点 2 2018 大连一模 设函数 f x 的
12、定义域为 R f x f x f x f 2 x 当 x 0 1 时 f x x3 则函数 g x cos x f x 在区间 上零点的个数为 C 1 2 3 2 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由 f x f x 得 f x 的图象关于 y 轴对称 由 f x f 2 x 得 f x 的图象关 于直线 x 1 对称 当 x 0 1 时 f x x3 所以 f x 在 1 2 上的图象如图 令 g x cos x f x 0 得 cos x f x 两函数 y f x 与 y cos x 的图象在 上 1 2 3 2 的交点有 5 个 3 已知在 0 2 上的函数 f x Error E
13、rror 且 g x f x mx 在区间 0 2 内有且仅有两个不同 的零点 则实数 m 的取值范围是 A A 2 0 B 2 0 9 4 1 2 11 4 1 2 C 2 0 D 2 0 9 4 2 3 11 4 2 3 解析 由函数 g x f x mx 在 0 2 内有且仅有两个不同的零点 得 y f x y mx 在 0 2 内的图象有且仅有两个不同的交点 当 y mx 与 y 3 在 x 0 1 相切时 1 x mx2 3x 1 0 9 4m 0 m 结合图象可得当 m 2 或 0 m 时 函数 9 4 9 4 1 2 g x f x mx 在 0 2 内有且仅有两个不同的零点 规
14、律总结 1 判断函数零点个数的方法 1 直接求零点 令 f x 0 则方程解的个数即为零点的个数 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且 f a f b 0 时 x 0 又函数 g x 的图象关于 y 轴对称 故 g x 为偶函数 所以 g x g x x 1 2 1 x 1 2 1 由 f x x 得 f f x x 在同一平面直角坐标系中画出 y f f x 与 y g x 的图象如图所示 由图象知 两个 图象有 4 个交点 交点的纵坐标分别为 1 0 3 4 当 x 0 时 方程 f f x g x 的解 是 0 和 1 当 x 0 时 g x x 1
15、2 1 3 得 x 3 由 g x x 1 2 1 4 得 x 1 综上 f f x g x 的解的个数为 4 5 2 2018 中山一模 已知函数 f x Error Error 若方程 f x m m R 有四个不同的实根 x1 x2 x3 x4 且满足 x1 x2 x3 x4 则的取值范围是 B x3 3 x4 3 x1x2 A 0 4 B 0 3 C 3 4 D 1 3 解析 如图 作出函数 f x 的图象 显然 A 3 1 又当 0 x 3 时 f x 0 因为方程 f x m 有四个不同的实根 所以 0 m 1 由 f x1 f x2 可得 log3x1 log3x2 又因为 0
16、x1 1 x2 所以 log3x1 log3x2 0 解得 x1x2 1 因为函数 y x2 x 8 的图象的对称轴为 x 5 1 3 10 3 故由 f x3 f x4 可得 x3 x4 10 故 x3 3 x4 3 x3 3 7 x3 x 10 x3 21 x3 5 2 4 x3 3 x4 3 x1x22 3 记 g t t 5 2 4 由 0 m 1 即 0 x2 x 8 1 解得 3 x 4 或 6 x 7 又 1 3 10 3 x3 x4 所以 3 x3 4 又 g t t 5 2 4 在 3 4 上单调递增 所以当 3 t 4 时 g 3 g t 0 且 a 1 在 R 上单调递减 且关于 x 的方程 f x 2 x 恰有 两个不相等的实数解 则 a 的取值范围是 C A B 0 2 3 2 3 3 4 C D 1 3 2 3 3 4 1 3 2 3 3 4 解析 由 y loga x 1 1 在 0 上递减 则 0 a2 即 a 时 2 3 联立 2 x x2 4a 3 x 3a 则 4a 2 2 4 3a 2 0 解得 a 或 1 舍 3 4 当 1 3a 2 时 由图
