《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1．6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1．6（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 微积分基本定理 1 定理内容 如果 f x 是区间 a b 上的连续函数 并且 F x f x 那么 f x 01 02 b a dx F b F a 03 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做牛顿 莱布尼茨公式 04 2 定理的符号表示 f x dx F x F b F a b ab a 05 2 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S上 在 x 轴下方的面积为 S下 则 1 当曲边梯形的面积在 x 轴上方时 如图 则 f x dx S上 b a 06 2 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时 如图 则 f x dx S下 b a 07 3 当曲边梯形的面积在 x 轴
2、上方 x 轴下方均存在时 如图 则 f x dx b a S上 S下 08 若 S上 S下 则 f x dx 0 b a 09 1 判一判 正确的打 错误的打 1 微积分基本定理中 被积函数 f x 是原函数 F x 的导数 2 应用微积分基本定理求定积分的值时 为了计算方便通常取原函数的常数 项为 0 3 应用微积分基本定理求定积分的值时 被积函数在积分区间上必须是连续 函数 答案 1 2 3 答案 1 0 2 2 3 2 拓展提升 求简单的定积分要注意的两点 1 掌握基本函数的导数以及导数的运算法则 正确求解被积函数的原函数 当原函数不易求时 可将被积函数适当变形后再求解 2 精确定位积分
3、区间 分清积分下限与积分上限 条件探究 将本例中的 2 改为 a 求 x a dx 3 4 拓展提升 求分段函数的定积分时 可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式 1 对于带绝对值的解析式 先根据绝对值的意义找到分界点 去掉绝对值号 化为 分段函数 2 含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论 跟踪训练 2 求定积分dx 3 1 x 2 1 x2 拓展提升 微积分基本定理 实际上给出了导数和定积分之间的内在联系 在求解含有 参数的定积分问题时 往往要与其他知识联系起来 综合解决 一般地 首先要 弄清楚积分变量和被积函数 当被积函数中含有参数时 必须分清常数和变量 再进行计算 其次要注意积分下限
4、不大于积分上限 答案 1 1 2 3 3 1 求定积分的一些常用技巧 1 对被积函数 要先化简 再求积分 2 若被积函数是分段函数 依据定积分 对区间的可加性 分段积分再求 和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 要去掉绝对值符号后才能积分 2 由于定积分的值可取正值 也可取负值 还可以取 0 而面积都是正值 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和 在 x 轴 下方的图形面积要取定积分的相反数 答案 A 解析 设 f x ax b 代入可得 a 4 b 3 2 定积分 2x ex dx 的值为 1 0 A e 2 B e 1 C e D e 1 答案 C 解析 2x ex
5、 dx x2 ex 1 e 0 e0 e 1 01 0 3 已知 f x 3x2 2x 1 若f x dx 2f a 成立 则 a 1 1 答案 1 或 1 3 解析 由已知 F x x3 x2 x F 1 3 F 1 1 所以f x dx F 1 1 1 F 1 4 所以 2f a 4 所以 f a 2 即 3a2 2a 1 2 解得 a 1 或 1 3 4 已知 f x 为一次函数 且 f x x 2 f t dt 则 f x 1 0 答案 x 1 解析 设 f x kx m k 0 则 f t dt k m 1 0 1 2kt2 mt 1 0 1 2 kx m x k 2m k 1 且 m k 2m m 1 即 f x x 1 5 已知 f x ax2 bx c a 0 且 f 1 2 f 0 0 f x dx 2 求 1 0 a b c 的值 解 由 f 1 2 得 a b c 2 又 f x 2ax b 所以 f 0 b 0 而 f x dx ax2 bx c dx 1 0 1 0 1 3ax3 1 2bx2 cx 1 0 a b c 1 3 1 2 所以 a b c 2 1 3 1 2 由 式得 a 6 b 0 c 4
