《2020版高考数学二轮复习分层设计（全国通用）第二层提升篇：讲义 专题七第1讲 坐标系与参数方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学二轮复习分层设计（全国通用）第二层提升篇：讲义 专题七第1讲 坐标系与参数方程（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题七 选考系列 第 1 讲 坐标系与参数方程 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷 全国卷 全国卷 2019 曲线的参数方程 极坐 标方程与直角坐标方程 的互化 点到直线的距 离公式 T22 求极坐标系下的曲线方 程 T22 点的极坐标 圆的极坐 标方程 极坐标的应 用 T22 2018 极坐标与直角坐标的互 化 曲线方程的求解 T22 参数方程与直角坐标方 程的互化 参数方程的 应用 T22 参数方程与普通方程的 互化 参数方程的应 用 T22 2017 参数方程与普通方程的 互化 点到直线的距 离 T22 直角坐标与极坐标的互 化 动点轨迹方程的求 法 三角形面积的最值 问题 T22 直线
2、的参数方程与极坐 标方程 动点轨迹方程 的求法 T22 1 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一 高考考查的重点主要有两个方面 一是 简单曲线的极坐标方程 二是参数方程 极坐标方程与曲线的综合应用 2 全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现 难度中等 备考此部分内容时 应注意转化思想的应用 极坐标 考点一 例 1 2019 全国卷 在极坐标系中 O 为极点 点 M 0 0 0 0 在曲线 C 4sin 上 直线 l 过点 A 4 0 且与 OM 垂直 垂足为 P 1 当 0 时 求 0及 l 的极坐标方程 3 2 当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时 求 P 点轨迹的极坐标方
3、程 解 1 因为 M 0 0 在曲线 C 上 当 0 时 0 4sin 2 3 33 由已知得 OP OA cos 2 3 设 Q 为 l 上除 P 外的任意一点 连接 OQ 在 Rt OPQ 中 cos OP 2 3 经检验 点 P在曲线 cos 2 上 2 3 3 所以 l 的极坐标方程为 cos 2 3 2 设 P 在 Rt OAP 中 OP OA cos 4cos 即 4cos 因为 P 在线段 OM 上 且 AP OM 所以 的取值范围是 4 2 所以 P 点轨迹的极坐标方程为 4cos 4 2 解题方略 1 直角坐标与极坐标方程的互化 1 直角坐标方程化极坐标方程时 可以直接将 x
4、 cos y sin 代入即可 2 极坐标方程化直角坐标方程时 一般需要构造 2 sin cos 常用的技巧 有式子两边同乘以 两角和与差的正弦 余弦展开等 2 求解与极坐标有关的问题的主要方法 1 直接利用极坐标系求解 可与数形结合思想结合使用 2 转化为直角坐标系 用直角坐标求解 若结果要求的是极坐标 还应将直角坐标化为 极坐标 跟踪训练 2019 安徽省考试试题 在直角坐标系 xOy 中 直线 l1 x 0 圆 C x 1 2 y 1 2 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 2 1 求直线 l1和圆 C 的极坐标方程 2 若直线 l2的极坐标方程为 R R 设 l1
5、l2与圆 C 的公共点分别为 A B 求 4 OAB 的面积 解 1 x cos y sin 直线 l1的极坐标方程为 cos 0 即 R R 2 圆 C 的极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 3 2 0 1 2 2 2 设 A B 将 代入 2 2 cos 2 sin 3 2 0 2 1 4 2 2 1 2 2 得 2 2 3 2 0 解得 1 1 1 2 22 将 代入 2 2 cos 2 sin 3 2 0 4 1 2 2 得 2 2 3 2 0 解得 2 1 1 2 22 故 OAB 的面积为 sin 1 1 2 1 2 2 4 3 2 4 参数方程 考点二 例 2 2019 全
6、国卷 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 t 为 x 1 t2 1 t2 y 4t 1 t2 参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 2 cos sin 11 0 3 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 求 C 上的点到 l 距离的最小值 解 1 因为 1 1 1 t2 1 t2 且 x2 1 y 2 2 1 t2 1 t2 2 4t2 1 t2 2 所以 C 的直角坐标方程为 x2 1 x 1 y2 4 l 的直角坐标方程为 2x y 11 0 3 2 由 1 可设 C 的参数方程为 为参数 x cos y 2sin C 上
7、的点到 l 的距离为 2cos 2 3sin 11 7 4cos 3 11 7 当 时 4cos 11 取得最小值 7 2 3 3 故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7 解题方略 参数方程化为普通方程消去参数的方法 1 代入消参法 将参数解出来代入另一个方程消去参数 直线的参数方程通常用代入 消参法 2 三角恒等式法 利用 sin2 cos2 1 消去参数 圆的参数方程和椭圆的参数方程 都是运用三角恒等式法 3 常见消参数的关系式 t 1 4 1 t t 1 t 2 t 1 t 2 1 2t 1 t2 2 1 t2 1 t2 2 跟踪训练 2019 南昌市第一次模拟测试 在平面直角坐标系
8、xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的参数方程为 为参数 以坐标原点为 x 2 t y 1 3t x 4 2cos y 3 2sin 极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 1 求 C 的极坐标方程 2 设点 M 2 1 直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 求 MA MB 的值 解 1 由参数方程得普通方程 x 4 2 y 3 2 4 x 4 2cos y 3 2sin 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 8 cos 6 sin 21 0 2 设点 A B 对应的参数分别为 t1 t2 将 t 为参数 代入 x 4 2 y 3 x 2 t y 1 3t 2 4 得 t
9、2 t 1 0 所以 t1t2 1 3 1 直线 l t 为参数 可化为 x 2 t y 1 3t x 2 1 2 2t y 1 3 2 2t 所以 MA MB 2t1 2t2 4 t1t2 4 极坐标与参数方程的综合应用 考点三 例 3 2019 福建省质量检查 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的 x 1 3 5t y 1 4 5t 极坐标方程为 2 点 P 的极坐标为 2 1 sin2 2 4 1 求 C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标 2 设 l 与 C 交于 A B 两点 线段 AB 的中
10、点为 M 求 PM 解 1 由 2 得 2 2sin2 2 将 2 x2 y2 y sin 代入 并 2 1 sin2 整理得 曲线 C 的直角坐标方程为 y2 1 x2 2 设点 P 的直角坐标为 x y 因为点 P 的极坐标为 2 4 所以 x cos cos 1 y sin sin 1 2 42 4 所以点 P 的直角坐标为 1 1 2 法一 将代入 y2 1 并整理得 41t2 110t 25 0 x 1 3 5t y 1 4 5t x2 2 1102 4 41 25 8 000 0 故可设方程的两根分别为 t1 t2 则 t1 t2为 A B 对应的参数 且 t1 t2 110 41
11、 依题意 点 M 对应的参数为 t1 t2 2 所以 PM t1 t2 2 55 41 法二 设 A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 则 x0 y0 x1 x2 2 y1 y2 2 由消去 t 得 y x x 1 3 5t y 1 4 5t 4 3 1 3 将 y x 代入 y2 1 并整理得 41x2 16x 16 0 因为 16 4 3 1 3 x2 2 2 4 41 16 2 880 0 所以 x1 x2 x1x2 16 41 16 41 所以 x0 y0 x0 即 M 8 41 4 3 1 3 4 3 8 41 1 3 3 41 8 41 3 41 所以 PM 8 41 1
12、 2 3 41 1 2 33 41 2 44 41 2 55 41 解题方略 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 1 求交点坐标 距离 线段长 可先求出直角坐标方程 然后求解 2 判断位置关系 先转化为平面直角坐标方程 然后再作出判断 3 求参数方程与极坐标方程综合的问题 一般是先将方程化为直角坐标方程 利用直 角坐标方程来研究问题 跟踪训练 1 2019 东北四市联合体模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l1的倾斜角为 30 且 经过点 A 2 1 以坐标原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l2 cos 3 从坐标原点 O 作射线交 l2于点 M 点 N 为射线
13、 OM 上的点 满足 OM ON 12 记 点 N 的轨迹为曲线 C 1 写出直线 l1的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 l1与曲线 C 交于 P Q 两点 求 AP AQ 的值 解 1 直线 l1的参数方程为 t 为参数 即 t 为参数 x 2 tcos 30 y 1 tsin 30 x 2 3 2 t y 1 1 2t 设 N M 1 1 0 1 0 则又 1cos 1 3 所以 12 即 4cos 所以曲线 C 的直角 1 12 1 3 cos 坐标方程为 x2 4x y2 0 x 0 2 设 P Q 对应的参数分别为 t1 t2 将直线 l1的参数方程代入曲线 C 的直
14、角坐标方 程中 得 4 0 2 3 2 t 2 2 3 2 t 1 1 2t 2 即 t2 t 3 0 13 0 t1 t2为方程的两个根 所以 t1t2 3 所以 AP AQ t1t2 3 3 2 2019 贵阳市第一学期监测 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 是参数 以原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极 x 2 2 t y 2 2 t 4 2 坐标方程为 2cos 4 1 判断直线 l 与曲线 C 的位置关系 2 设 M x y 为曲线 C 上任意一点 求 x y 的取值范围 解 1 由消去 t 得 y x 4 x 2 2 t y 2
15、2 t 4 2 2 由 2cos得 cos sin 4 22 由 x cos y sin 2 x2 y2得 1 即 C 是以为圆心 1 为半径的圆 圆心到 x 2 2 2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 直线 y x 4的距离 d 5 1 所以直线 l 与曲线 C 相离 2 2 2 2 2 4 2 2 2 圆的参数方程为 为参数 x 2 2 cos y 2 2 sin 则 x y sin cos sin 2 4 又由 R R 可得 1 sin 1 则 x y 4 22 所以 x y 的取值范围为 22 专题过关检测 大题专攻强化练 1 在平面直角坐标系 xOy 中 以坐标原点为
16、极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆 C 的极坐标方程为 4cos 0 2 1 求半圆 C 的参数方程 2 若半圆 C 与圆 D x 5 2 y 2 m m 是常数 m 0 相切 试求切点的直角坐 3 标 解 1 半圆 C 的普通方程为 x 2 2 y2 4 0 y 2 则半圆 C 的参数方程为 t 为参数 0 t x 2 2cos t y 2sin t 2 C D 的圆心坐标分别为 2 0 5 3 于是直线 CD 的斜率 k 3 0 5 2 3 3 由于切点必在两个圆心的连线上 故切点对应的参数 t 满足 tan t t 3 3 6 所以切点的直角坐标为 2 2cos 6 2sin 6 即 2 1 3 2 2019 全国卷 如图 在极坐标系 Ox 中 A 2 0 B C D 2 弧 所在圆的圆心分别是 2 4 2 3 4 AB BC CD 1 0 1 曲线 M1是弧 曲线 M2是弧 曲线 M3是弧 1 2 AB BC CD 1 分别写出 M1 M2 M3的极坐标方程 2 曲线 M 由 M1 M2 M3构成 若点 P 在 M 上 且 OP 求 P 的极坐标 3 解 1 由题设可得
