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1、文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合2，2，3，则A. B. 2，C. 2，4，D. 2，3，4，2. 设i是虚数单位，则复数A. iB. 3iC. D. 3. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为A. 2B. C. D. 4. 已知，则A. B. C. D. 5. 盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于A. B. C. D.6. 已知，则A. B. C. D. 7. 已知直线过点，且与圆相交于两个不同的点，则该直线的斜率的取
2、值范围为A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为A B C D9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，若的面积为，则角C的值 A. B. C. D. 10. 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，平面ABC，若三棱锥的体积为，则球O的表面积为A. B. C. D. 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与一条渐近线交于点A，若直线与另一条渐近线的交点B恰好是的中点，则该双曲线的离心率是A. B. 2C. D. 12. 已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是减函数，记，则()A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，若
3、，则_ 14. 曲线在点处的切线方程为_15. 函数在的零点个数为_16. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则_三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 等比数列中，已知求数列的通项公式；若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和18. 某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”从乙班样本的20个个体中，从
4、不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关甲班方式乙班方式总计成绩优秀成绩不优秀总计附：k19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，E、F分别为、BC的中点求证：平面平面；求证：平面ABE；求三棱锥的体积20. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点求椭圆C的方程；若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为，求证：为定值21. 已知函数求函数的单调区间：求在区间上的值域；若方程在上有两个不相等的实
5、数根，求实数m的取值范围22. 已知椭圆C的极坐标方程为，点，为其左右焦点以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数，求直线l的普通方程和椭圆C的直角坐标方程；求点，到直线l的距离之和23. 已知函数解不等式；若，求证：文科数学试题【答案】1. B2. A3. D4. C5. D6. C7. B8. D9. A10. B11. B12. A13. 6 14. 15. 3 16. 17. 解：设的公比为q，由已知得，解得，所以；由得，则，设的公差为d，则有，解得，从而，所以数列的前n项和18. 解：设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A从不低于86分的成绩中随机
6、抽取2个的基本事件为，共15个，而事件A包含基本事件：，共10个所以所求概率为由已知数据得：甲班方式乙班方式总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040根据列联表中数据，所以有的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关19. 解：证明：三棱柱中，侧棱垂直于底面，平面，平面，平面ABE，平面平面；证明：取AB中点G，连接EG，FG，则是BC的中点，是的中点，四边形为平行四边形，平面ABE，平面ABE，平面ABE；解：，20. 解：抛物线的准线方程为，由题意知故设椭圆C的方程为则由题意可得，解得故椭圆C的方程为证明：直线的斜率为，且不过点，可设直线联立方程组，消y得又设，故有，所以，所以为定
7、值021. 解：函数的定义域是，当x变化时，的变化情况如下：所以在和上单调递增，在上单调递减由可知在区间内，当时，取得极小值，由，因为，所以在区间上的值域为；由及，得，令，则方程在上有两个不相等的实数根等价于在上有两个不相等的实数根，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，依题意，在上有两个不相等的实数根，则，解得，所以实数m的取值范围是22. 解：由直线l的参数方程为为参数，消去t，可得，即直线l的普通方程为由椭圆C的极坐标方程为，可得，化为直角坐标方程为，即故椭圆C的直角坐标方程为由可得点，求点到直线l的距离为，到直线l的距离为，点，到直线l的距离之和为23. 解：，当时，由，解得；当时，
8、由，解得；当时，由，解得分所以，不等式的解集为或分；证明：等价于，即，因为，所以，所以，故所证不等式成立分【解析】1. 解：集合2，2，3，2，4，2，3，2，故选：B由并集定义先求出，再由交集定义能求出本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用2. 【分析】利用复数的运算法则即可得出本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【解答】解：原式，故选A3. 解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积，故选：D根据题意和三视图知几何体是一
9、个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力4. 解：盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，从中随机取出2个球，基本事件总数，所取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数，所取出的2个球颜色不同的概率等于故选：C先求出基本事件总数，再求出所取出的2个球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出所取出的2个球颜色不同的概率5. 【分析】本题主要考查了二倍角公式的应用，代入计算即可，属于简单题【解答】解：，则故选D6. 解：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心
10、到直线的距离，直线与圆没有交点，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，该直线的斜率的取值范围为 故选：C当直线的斜率不存在时，直线与圆没有交点；当直线的斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离，由此能求出该直线的斜率的取值范围本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题7. 解：当时，函数，由函数、递减知函数递减，排除CD；当时，函数，此时，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B当时，函数，由函数的单调性，排除CD；当时，函数，此时，代入特殊值验证
11、，排除A，只有B正确，题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力8. 解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率，次中恰有2次抽到黄球的概率是：故选：D每次取到黄球的概率，由此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9. 【分析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的面积为，再由余弦定理求解【解答】解：的面积为，则，即，所以故选A10. 【分析
12、】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键由三棱锥的体积为，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：三棱锥的体积为，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，是边长为的正三角形，外接圆的半径，球的半径为，球O的表面积为故选B11. 【分析】本题考查双曲线的几何性质，根据圆的半径为c，所以过双曲线的焦点列出方程求解可得结果【解答】解：因为圆的半径为c，所以过双曲线的焦点又，所以渐近线
13、和的交点为，知在渐近线上，由此可得，所以故选B12. 【分析】 本题考查函数的单调性，对数值的计算，抽象函数的关系式运算，注意到，可将b，c都转化到内的函数值，再根据已知的单调性可得答案【解答】，若在上是减函数，所以，故选A13. 【分析】本题主要考查向量平行的坐标表示，属容易题，由得到有关k的式子，计算得出即可【解答】解：，故答案为14. 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的求法，以及运算能力，属于基础题【解答】解：的导数为，则切线斜率，切点为，则切线的方程为，即为故答案为：15. 【分析】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力利用数形结合画出函数的图象，通过函数有且只有一个零点，求出a的范围【解答】解：函数，函数有且只有一个零点，就是的图象与的图象有且只有一个交点，如图：显然当时，两个函数有且只有一个交点，故答案为16. 解：作出抛物线的准线l：，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、
