《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题4 第2讲 空间位置关系的判断与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题4 第2讲 空间位置关系的判断与证明（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 讲 空间位置关系的判断与证明 做小题 激活思维 1 设 a b c 表示不同的直线 表示平面 下列命题中正确的是 A 若 a b a 则 b B 若 a b b 则 a C 若 a c b c 则 a b D 若 a b 则 a b D 线面平行时要考虑线是否在平面内 2 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确 的是 A 若 m 则 m B 若 m m n n 则 C 若 m n m n 则 D 若 m n 则 m n B A 中 m 与 的位置关系不能确定 故 A 错误 m m n n 又 n 故 B 正确 若 m n m n 则 与 的位置关系不确定 故 C
2、 错误 若 m n 则 m 与 n 平行或异面 故 D 错误 选 B 3 给出下列命题 其中错误命题的个数为 若直线 a 与平面 不平行 则 a 与平面 内的所有直线都不平行 若直线 a 与平面 不垂直 则 a 与平面 内的所有直线都不垂直 若异面直线 a b 不垂直 则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 若直线 a 和 b 共面 直线 b 和 c 共面 则 a 和 c 共面 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 下列结论正确的是 填序号 AD1 BC1 平面 AB1D1 平面 BDC1 AD1 DC1 AD1 平面 BDC1 如图 因为 AB
3、綊 C1D1 所以四边形 AD1C1B 为平行四边形 故 AD1 BC1 从而 正确 易证 BD B1D1 AB1 DC1 又 AB1 B1D1 B1 BD DC1 D 故平面 AB1D1 平面 BDC1 从而 正确 由图易知 AD1与 DC1异面 故 错误 因为 AD1 BC1 AD1 平面 BDC1 BC1 平面 BDC1 所以 AD1 平面 BDC1 故 正确 5 在正四棱锥 P ABCD 中 PA 2 直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 E 为 PC 的中点 则异面直线 PA 与 BE 所成角为多少 解 连接 AC BD 交于点 O 连接 OE OP 因为四边形 ABCD 为
4、正方形 所以 O 为 AC 中点 又因为 E 为 PC 中点 所以 OE PA 且 OE PA 1 1 2 所以 OEB 或其补角 是异面直线 PA 与 BE 所成的角 因为四棱锥 P ABCD 为正四棱锥 O 为正方形 ABCD 的中心 所以 PO 平面 ABCD 所以 AO 为 PA 在平面 ABCD 内的射影 所以 PAO 即为 PA 与平面 ABCD 所成的角 即 PAO 60 因为 PA 2 所以 OA OB 1 因为 PO 平面 ABCD BD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 所以 PO BD AC BD 又因为 PO AC O 所以 BD 平面 PAC 因为 OE 平
5、面 PAC 所以 BD OE 所以 BOE 为直角三角形 因为 OB OE 1 所以 OEB 45 即异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45 扣要点 查缺补漏 1 空间两直线位置关系的判定与证明 1 判定两直线相交的方法 证明两直线共面且不平行 将待证两直线构造到同一平面几何图形中 利用平面几何图形性质判断 2 判定两直线异面的方法 反证法 利用结论 过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是 异面直线 2 空间线面位置关系的判定与证明 1 模型法判断线面关系 借助空间几何模型 如长方体 四面体等观察线面 关系 再结合定理进行判断 如 T3 2 平行关系的基础是线线平行 比较常
6、见的是利用三角形中位线构造平行关 系 利用平行四边形构造平行关系 如 T4 3 证明线线垂直的常用方法 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形 等得到线线垂直 利用勾股定理的逆定理 利用线面垂直的性质 3 空间角 1 对于两条异面直线所成的角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移 到某个特殊的位置 2 直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线 得到斜线在平面内的射影 如 T5 空间线面位置关系的判断 5 年 3 考 高考解读 以正方体为载体 直观认识和理解空间点 线 面的位置关系 是 课程标准 关于立体几何教学内容设计的基本特点 近几年高考题
7、的设计就体 现了这种特点 以正方体为载体 考生可以通过直观感知 操作确认形成问题的 结论 1 2019 全国卷 如图 点 N 为正方形 ABCD 的中心 ECD 为正三角形 平面 ECD 平面 ABCD M 是线段 ED 的中点 则 A BM EN 且直线 BM EN 是相交直线 B BM EN 且直线 BM EN 是相交直线 C BM EN 且直线 BM EN 是异面直线 D BM EN 且直线 BM EN 是异面直线 切入点 N 为正方形 ABCD 的中心 ECD 为正三角形 平面 ECD 平面 ABCD M 是 ED 的中点 关键点 正确应用 ECD 为正三角形及平面 ECD 平面 AB
8、CD 两个条件 B 取 CD 的中点 F DF 的中点 G 连接 EF FN MG GB BD BE 点 N 为正方形 ABCD 的中心 点 N 在 BD 上 且为 BD 的中点 ECD 是正三角形 EF CD 平面 ECD 平面 ABCD EF 平面 ABCD EF FN 不妨设 AB 2 则 FN 1 EF 3 EN 2 FN2 EF2 EM MD DG GF MG EF MG 平面 ABCD MG BG MG EF 1 2 3 2 BG CG2 BC2 3 2 2 22 5 2 BM MG2 BG27 BM EN BM EN 是 DBE 的中线 BM EN 必相交 故选 B 2 2017
9、 全国卷 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行 的是 切入点 M N Q 为所在棱的中点 关键点 正确应用线面平行的判定定理 A A 项 作如图 所示的辅助线 其中 D 为 BC 的中点 则 QD AB QD 平面 MNQ Q QD 与平面 MNQ 相交 直线 AB 与平面 MNQ 相交 B 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD MQ AB MQ 又 AB 平面 MNQ MQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ C 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD MQ AB MQ 又 A
10、B 平面 MNQ MQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ D 项 作如图 所示的辅助线 则 AB CD CD NQ AB NQ 又 AB 平面 MNQ NQ 平面 MNQ AB 平面 MNQ 故选 A 3 2017 全国卷 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为棱 CD 的中点 则 A A1E DC1 B A1E BD C A1E BC1 D A1E AC C 如图 A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE 而 AE 不与 AC BD 垂直 B D 错 A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C 且 B1C BC1 A1E BC1 故 C 正确 证明 由条件易知 BC1 B1C
11、BC1 CE 又 CE B1C C BC1 平面 CEA1B1 又 A1E 平面 CEA1B1 A1E BC1 A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E 而 D1E 不与 DC1垂直 故 A 错 故选 C 教师备选题 1 2016 浙江高考 已知互相垂直的平面 交于直线 l 若直线 m n 满足 m n 则 A m l B m n C n l D m n C l l n n l 故选 C 2 2016 山东高考 已知直线 a b 分别在两个不同的平面 内 则 直 线 a 和直线 b 相交 是 平面 和平面 相交 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必
12、要条件 A 由题意知 a b 若 a b 相交 则 a b 有公共点 从而 有 公共点 可得出 相交 反之 若 相交 则 a b 的位置关系可能为平 行 相交或异面 因此 直线 a 和直线 b 相交 是 平面 和平面 相交 的充 分不必要条件 故选 A 3 2015 广东高考 若直线 l1和 l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l 与 l1 l2都不相交 B l 与 l1 l2都相交 C l 至多与 l1 l2中的一条相交 D l 至少与 l1 l2中的一条相交 D 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行 故 l1
13、 l2中至少有一条与 l 相交 判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定 理进行判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置 关系 结合有关定理 进行肯定或否定 3 借助于反证法 当从正面入手较难时 可利用反证法 推出与题设或公认 的结论相矛盾的命题 进而作出判断 1 位置关系的判定 已知 m n 是两条不重合的直线 是三个不重 合的平面 则 的一个充分条件是 A m m B C m n m n D m n 是异面直线 m m n n D A 中 可能相交 故错误 B 不正确 如正方体中过同
14、一个顶点的 三个平面的关系 C 中 可能相交 故错误 根据直线与平面平行的性质定 理及平面与平面平行的判定定理可知 D 正确 2 新题型 多选题 命题的真假判断 设 l m n 表示不同的直线 表示不同的平面 给出下列四个命题 若 m l 且 m 则 l 若 m l 且 m 则 l 若 l m n 则 l m n 若 m l n 且 n 则 l m 其中正确的命题是 A B C D AD 正确 中也可能直线 l 故错误 中三条直线也可能相交于 一点 故错误 正确 所以正确的命题是 A D 3 线面垂直 面面垂直的判定 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 的中点 G 是 E
15、F 的中点 现在沿 AE AF 及 EF 把这个正方形折成一个 空间图形 使 B C D 三点重合 重合后的点记为 H 那么 在这个空间图形 中必有 A AG 平面 EFH B AH 平面 EFH C HF 平面 AEF D HG 平面 AEF B 根据折叠前 后 AH HE AH HF 不变 得 AH 平面 EFH B 正确 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直 A 不正确 AG EF EF GH AG GH G EF 平面 HAG 又 EF 平面 AEF 平面 HAG AEF 过 H 作直线垂直于平面 AEF 一定在平面 HAG 内 C 不正确 由条件证不出 HG 平面 AEF D 不
16、正确 故选 B 4 创新问题 某折叠餐桌的使用步骤如图所示 有如下检查项目 项目 折叠状态下 如图 1 检查四条桌腿长相等 项目 打开过程中 如图 2 检查 OM ON O M O N 项目 打开过程中 如图 2 检查 OK OL O K O L 项目 打开后 如图 3 检查 1 2 3 4 90 项目 打开后 如图 3 检查 AB CD A B C D 在检查项目的组合中 可以判断 桌子打开之后桌面与地面平行 的是 A B C D B A 选项 项目 和项目 可推出项目 若 MON M O N 则 MN 较低 M N 较高 所以不平行 错误 B 选项 因为 1 2 3 4 90 所以平面 ABCD 平面 A B C D 因为 AB A B 所以 AA 平行于地面 由 知 O1O 1 AA 平面 MNN M 所以桌面平行于地面 故正确 C 选项 由 得 OM ON O1A AA O1 A AA AB A B 所以 AA BB 但 O1A 与 O1 A 是否相等不确定 所以不确定 O1O 1与 BB 是否平行 又 O1O1 MN 所以不确定 BB 与 MN 是否平行 故错误 D 选项 O
