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1、规范解答集训规范解答集训 五五 解析几何解析几何 建议用时 40 分钟 1 已知动圆E经过点F 1 0 且和直线l x 1 相切 1 求该动圆圆心E的轨迹G的方程 2 已知点A 3 0 若斜率为 1 的直线l 与线段OA相交 不经过坐标原点O和点A 且与曲线G交于B C两点 求 ABC面积的最大值 解 1 由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l的距离 所以动点E的轨迹是 以F 1 0 为焦点 直线x 1 为准线的抛物线 故曲线G的方程是y2 4x 2 设直线l 的方程为y x m 其中 3 m 0 联立方程组Error 消去y 得x2 2m 4 x m2 0 2m 4 2 4m2 16 1
2、m 恒大于零 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 4 2m x1x2 m2 AB 4 点A到直线l 的距离为d 2 1 m 3 m 2 S ABC 4 2 3 m 1 2 2 1 m 3 m 21 m 令 t t 1 2 则m 1 t2 S ABC 2t 4 t2 8t 2t3 1 m 令f t 8t 2t3 f t 8 6t2 y f t 在上递增 在上递减 1 2 3 2 3 2 y f t 在t 时 即m 时取得最大值 2 3 1 3 ABC的最大面积为 32 3 9 2 2019 贵阳模拟 已知圆M x2 y 2 2 1 直线l y 1 动圆P与圆M相外 切 且与直线l相切
3、设动圆圆心P的轨迹为E 1 求E的方程 2 若点A B是E上的两个动点 O为坐标原点 且 16 求证 直线AB恒过 OA OB 定点 解 1 由题意知动圆P与直线l y 1 相切 且与定圆M x2 y 2 2 1 外切 所以动点P到圆M的圆心M 0 2 的距离与到直线y 2 的距离相等 由抛物线的定义知 点P的轨迹是以M 0 2 为焦点 直线y 2 为准线的抛物线 故所求点P的轨迹E的方程为x2 8y 2 设直线AB y kx b A x1 y1 B x2 y2 将直线AB的方程代入到x2 8y中得x2 8kx 8b 0 所以x1 x2 8k x1x2 8b 又 x1x2 y1y2 x1x2
4、8b b2 16 OA OB x2 1x2 2 64 所以b 4 则直线AB恒过定点 0 4 3 2019 长沙模拟 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 左 右焦点分别 x2 a2 y2 b2 1 3 为F1 F2 A为椭圆C上一点 AF2 F1F2 且 AF2 8 3 1 求椭圆C的方程 2 设椭圆C的左 右顶点分别为A1 A2 过A1 A2分别作x轴的垂线l1 l2 椭圆C的 一条切线l y kx m与l1 l2分别交于M N两点 求证 MF1N为定值 解 1 由AF2 F1F2 AF2 得 8 3 b2 a 8 3 又e a2 b2 c2 所以a2 9 b2 8 c a 1 3 故椭
5、圆C的标准方程为 1 x2 9 y2 8 2 由题意可知 l1的方程为x 3 l2的方程为x 3 直线l分别与直线l1 l2的方程联立得M 3 3k m N 3 3k m 所以 2 3k m 4 3k m F1M F1N 所以 8 m2 9k2 F1M F1N 联立Error 得 9k2 8 x2 18kmx 9m2 72 0 因为直线l与椭圆C相切 所以 18km 2 4 9k2 8 9m2 72 0 化简得m2 9k2 8 所以 8 m2 9k2 0 F1M F1N 所以 F1M F1N 故 MF1N为定值 2 注 可以先通过k 0 计算出此时 MF1N 再验证一般性结论 2 4 2019
6、 合肥模拟 设椭圆E 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过点 x2 a2 y2 b2 F1的直线交椭圆E于A B两点 若椭圆E的离心率为 ABF2的周长为 4 2 26 1 求椭圆E的方程 2 设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C D 设弦AB CD的中点 分别为M N 证明 O M N三点共线 解 1 由题意知 4a 4 a 66 又e c b 2 233 椭圆E的方程为 1 x2 6 y2 3 2 当直线AB CD的斜率不存在时 由椭圆的对称性知 中点M N在x轴上 O M N 三点共线 当直线AB CD的斜率存在时 设其斜率为k 且设A x1 y1 B x2
7、y2 M x0 y0 则Error 两式相减 得 0 x2 1 6 y2 1 3 x2 2 6 y2 2 3 x2 1 x2 2 6 y2 1 y2 2 3 x1 x2 x1 x 2 6 y1 y2 y1 y 2 3 即k kOM y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 1 2 y1 y2 x1 x2 y0 x0 1 2 1 2 kOM 1 2k 同理可得kON kOM kON O M N三点共线 1 2k 5 2019 郑州质量检测 已知抛物线C y2 4x的焦点为F 过点F的直线l与抛物线 C交于A B两点 过A B分别向抛物线的准线作垂线 设交点分别为M N R为准线上一 点 1
8、 若AR FN 求的值 MR MN 2 若点R为线段MN的中点 设以线段AB为直径的圆为圆E 判断点R与圆E的位置关 系 解 由已知 得F 1 0 设直线l的方程为x my 1 与抛物线y2 4x联立 得Error 消去x 得y2 4my 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 由题知M 1 y1 N 1 y2 设R 1 yR 1 AR FN 即 1 x1 yR y1 2 y2 AR FN AR FN 0 1 x1 y2 2 yR y1 2 my1 y2 2 yR y1 2 y1 y2 my1y2 2yR 4m 2yR yR 2m 则R是MN的中点 y1 y2 2 MR MN 1 2 2 若R是MN的中点 则R 1 2m x1 1 y1 2m x2 1 y2 2m my1 2 y1 2m my2 2 y2 2m RA RB my1 2 my2 2 y1 2m y2 2m m2 1 y1y2 4m2 4 4 m2 1 4m2 4 0 因此 点R在以AB为直径的圆E上
