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1、规范解答集训规范解答集训 四四 立体几何立体几何 建议用时 40 分钟 1 2019 长沙模拟 已知三棱锥P ABC 如图 1 的平面展开图 如图 2 中 四边形ABCD 为边长等于的正方形 ABE和 BCF均为正三角形 在三棱锥P ABC中 2 1 证明 平面PAC 平面ABC 2 求三棱锥P ABC的表面积和体积 图 1 图 2 解 1 如图 设AC的中点为O 连接BO PO 由题意 得PA PB PC PO 1 AO BO CO 1 2 因为在 PAC中 PA PC O为AC的中点 所以PO AC 因为在 POB中 PO 1 OB 1 PB 2 所以PO2 OB2 PB2 所以PO OB
2、 因为AC OB O AC OB 平面ABC 所以PO 平面ABC 因为PO 平面PAC 所以平面PAC 平面ABC 2 三棱锥P ABC的表面积S 2 2 2 22 3 423 由 1 知 PO 平面ABC 所以三棱锥P ABC的体积V S ABC PO 1 1 3 1 3 1 222 1 3 2 如图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是梯形 AB DC ABC 90 AD SD BC CD AB 侧面SAD 底面ABCD 1 2 1 求证 平面SBD 平面SAD 2 若 SDA 120 且三棱锥S BCD的体积为 求侧面 SAB 6 12 的面积 解 1 证明 设BC a 则CD a
3、AB 2a 由题意知 BCD是等腰直角三角形 且 BCD 90 则BD a CBD 45 2 所以 ABD ABC CBD 45 在 ABD中 AD a AB2 DB2 2AB DB cos 45 2 因为AD2 BD2 4a2 AB2 所以BD AD 由于平面SAD 底面ABCD 平面SAD 平面ABCD AD BD 平面ABCD 所以BD 平面SAD 又BD 平面SBD 所以平面SBD 平面SAD 2 由 1 可知AD SD a 在 SAD中 SDA 120 SA 2SDsin 60 a 26 作SH AD 交AD的延长线于点H 则SH SDsin 60 a 6 2 由 1 知BD 平面S
4、AD 因为SH 平面SAD 所以BD SH 又AD BD D 所以SH 平面ABCD 所以SH为三棱锥S BCD的高 所以VS BCD a a2 1 3 6 2 1 2 6 12 解得a 1 由BD 平面SAD SD 平面SAD 可得BD SD 则SB 2 SD2 BD22 2 又AB 2 SA 6 在等腰三角形SBA中 边SA上的高为 4 6 4 10 2 则 SAB的面积为 1 26 10 2 15 2 3 2019 福州质量检测 如图 在平行四边形ABCM中 D为CM 的中点 以AD为折痕将 ADM折起 使点M到达点P的位置 且平 面ABCD 平面PAD E是PB的中点 AB 2BC 1
5、 求证 CE 平面PAD 2 若AD 2 AB 4 求三棱锥A PCD的高 解 1 取AP的中点F 连接DF EF 如图所示 因为点E是PB的中点 所以EF AB 且EF AB 2 因为四边形ABCM是平行四边形 D为CM的中点 所以AB CD 且CD AB 2 所以EF CD 且EF CD 所以四边形EFDC为平行四边形 所以CE DF 因为CE 平面PAD DF 平面PAD 所以CE 平面PAD 2 取AD的中点O 连接PO CO 如图所示 在平行四边形ABCM中 D为CM的中点 AB 2BC AD 2 AB 4 所以MD MA AD CD 2 所以 ADC 120 PD PA AD 2
6、所以S ACD AD CD sin ADC 2 2 OC ADP为正三角形 1 2 1 2 3 237 所以PO AD 且PO 3 因为平面ABCD 平面PAD 所以PO 平面ABCD 所以PO OC 所以PC PO2 OC210 在等腰三角形PCD中 易得S PCD 15 2 设三棱锥A PCD的高为h 因为VA PCD VP ACD 所以S PCD h S ACD PO 所以h 1 3 1 3 S ACD PO S PCD 3 3 15 2 2 15 5 所以三棱锥A PCD的高为 2 15 5 4 如图 在直三棱柱ABC A B C 中 AC BC 5 AA AB 6 D E分别为AB和
7、BB 上的点 且 AD DB BE EB 1 当D为AB的中点时 求证 A B CE 2 当D在线段AB上运动时 不含端点 求三棱锥A CDE体积的 最小值 解 1 证明 D为AB的中点 E为B B的中点 三棱柱ABC A B C 为直三棱柱 AA AB 6 四边形ABB A 为正方形 DE A B AC BC D为AB的中点 CD AB 由题意得平面ABB A 平面ABC 且平面ABB A 平面ABC AB CD 平面 ABC CD 平面ABB A 又A B 平面ABB A CD A B 又CD DE D A B 平面CDE CE 平面CDE A B CE 2 设AD x 0 x 6 则BE
8、 x DB 6 x B E 6 x 由已知可得点C到平面A DE的距离即为 ABC的边AB上的高h 且 h 4 AC2 AB 2 2 三棱锥A CDE的体积VA CDE VC A DE S四边形ABB A S AA D S DBE S 1 3 A B E h h x2 6x 36 x 3 2 27 0 x 6 1 3 36 3x 1 2 6 x x 3 6 x 2 3 2 3 当x 3 即D为AB的中点时 VA CDE取得最小值 最小值为 18 5 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 四边形ABCD 为直角梯形 AC与BD相交于点 O AD BC AD AB AB BC AP 3
9、 三棱锥P ACD的体积为 9 1 求AD的值 2 过点O的平面 平行于平面PAB 平面 与棱BC AD PD PC分别相交于点 E F G H 求截面EFGH的周长 解 1 因为在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 四边形ABCD为直角梯形 AD BC AD AB AB BC AP 3 所以V三棱锥P ACD AB AD AP AD 9 1 3 1 2 3 2 解得AD 6 2 由题知平面 平面PAB 平面 平面ABCD EF 点O在EF上 平面PAB 平面 ABCD AB 根据面面平行的性质定理 得EF AB 同理EH BP FG AP 因为BC AD 所以 BOC DOA 所以 B
10、C AD CO OA 3 6 1 2 因为EF AB 所以 CE BC OC AC 1 3 又易知BE AF AD 2BC 所以FD 2AF 因为FG AP 所以 FG AP 2 FG AP FD AD 2 3 2 3 因为EH BP 所以 EH PB EC BC 1 3 所以EH PB 1 32 如图 作HN BC GM AD HN PB N GM PA M 则 HN GM HN GM 所以四边形GMNH为平行四边形 所以GH MN 在 PMN中 MN 8 1 2 2 2cos 45 5 又EF AB 3 MN GH 所以截面EFGH的周长为EF FG GH EH 3 2 5 5252 6
11、如图 在几何体ABCDEF中 底面ABCD为矩形 EF CD CD EA CD 2EF 2 ED M为棱FC上一点 平面ADM与棱 3 FB交于点N 1 求证 ED CD 2 求证 AD MN 3 若AD ED 试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直 若能 求出的值 若不能 FM FC 说明理由 解 1 证明 因为四边形ABCD为矩形 所以CD AD 又因为CD EA EA AD A 所以CD 平面EAD 因为ED 平面EAD 所以ED CD 2 证明 因为四边形ABCD为矩形 所以AD BC 又因为AD 平面FBC BC 平面FBC 所以AD 平面FBC 又因为平面ADMN 平面FBC MN 所以AD MN 3 平面ADMN与平面BCF可以垂直 证明如下 连接DF 因为AD ED AD CD ED CD D 所以AD 平面CDEF 所以AD DM 因为AD MN 所以DM MN 因为平面ADMN 平面FBC MN 所以若使平面ADMN 平面BCF 则DM 平面BCF 所以DM FC 在梯形CDEF中 因为EF CD DE CD CD 2EF 2 ED 所以DF DC 2 3 所以若使DM FC成立 则M为FC的中点 所以 FM FC 1 2
