《2020数学(文)二轮专题限时集训:11 圆锥曲线中的综合问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020数学(文)二轮专题限时集训:11 圆锥曲线中的综合问题(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时:40分钟)1(2019西安模拟)已知抛物线E:y22px(p0)的焦点为F,x轴上方的点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|,直线l与抛物线E交于M,N两点(点M,N与A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线E的方程;(2)当k1k22时,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标解(1)由抛物线的定义得|AF|2,得p1,所以,抛物线E的方程为y22x.(2)证明:如图所示,易知直线l的斜率存在且不等于零,设直线l的方程为ykxb,联立直线l与抛物线E的方程得k2x2(2kb2)xb20,设M(x1,y1),N(x2
2、,y2),A(2,2),由根与系数的关系得x1x2,x1x2,k1k22,化简得出(b1)(b2k2)0,b1或b22k.当b1时,ykx1,过定点(0,1);当b22k时,ykx22kk(x2)2,过定点(2,2),舍去,故直线l恒过定点(0,1)2(2019马鞍山二模)已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F,点M在椭圆C上且MF垂直于x轴(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上的动点,直线PM与x4交于点N,求证:点N到直线PF的距离为定值,并求出这个定值解(1)由题意可得解得a24,b23,故椭圆C的方程为1.(2)证明:设点P的坐标为(x0,y0),由M,可得直线PM的方程为y(x1)
3、,将x4,代入可得y,故点N,F(1,0),直线PF的方程为y(x1),即y0x(1x0)yy00.点N到直线PF的距离为3,故N到直线PF的距离为定值,定值为3.3(2019全国卷)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF290,|PF2|c,|PF1|c,于是2a|PF1|PF2|(1)c,故C的离心率为e1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)
4、存在当且仅当|y|2c16,1,1,即c|y|16,x2y2c2,1.由及a2b2c2得y2.又由知y2,故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2),所以c2b2,从而a2b2c22b232,故a4.当b4,a4时,存在满足条件的点P.所以b4,a的取值范围为4,)4已知椭圆M:1(a0)的一个焦点为F(1,0),左、右顶点分别为A,B,经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点(1)求椭圆M的方程;(2)一题多解记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1S2|的最大值解(1)因为F(1,0)为椭圆M的焦点,所以c1,又b,所以a2,所以椭圆M的方程为1.(2)法一:当直线l的斜率不存在时,
5、直线方程为x1,此时ABD与ABC的面积相等,即|S1S2|0.当直线l的斜率存在时,设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为yk(x1)(k0),与椭圆M的方程联立,消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,0恒成立,且x1x2,x1x2.此时|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(当且仅当k时,取等号),所以|S1S2|的最大值为.法二:设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为xmy1,与椭圆M的方程联立,消去x,得(3m24)y26my90,0恒成立,且y1y2,故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|,当且仅当m时取等号,所以|S1S2|的最大值为.