《2020数学（文）二轮专题限时集训：11 圆锥曲线中的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮专题限时集训：11 圆锥曲线中的综合问题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：40分钟)1(2019西安模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，x轴上方的点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N与A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线E的方程；(2)当k1k22时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由抛物线的定义得|AF|2，得p1，所以，抛物线E的方程为y22x.(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为ykxb，联立直线l与抛物线E的方程得k2x2(2kb2)xb20，设M(x1，y1)，N(x2
2、，y2)，A(2,2)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，k1k22，化简得出(b1)(b2k2)0，b1或b22k.当b1时，ykx1，过定点(0，1)；当b22k时，ykx22kk(x2)2，过定点(2,2)，舍去，故直线l恒过定点(0，1)2(2019马鞍山二模)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，点M在椭圆C上且MF垂直于x轴(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值解(1)由题意可得解得a24，b23，故椭圆C的方程为1.(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，由M，可得直线PM的方程为y(x1)
3、，将x4，代入可得y，故点N，F(1,0)，直线PF的方程为y(x1)，即y0x(1x0)yy00.点N到直线PF的距离为3，故N到直线PF的距离为定值，定值为3.3(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)
4、存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)4已知椭圆M：1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)一题多解记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因为F(1,0)为椭圆M的焦点，所以c1，又b，所以a2，所以椭圆M的方程为1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，
5、直线方程为x1，此时ABD与ABC的面积相等，即|S1S2|0.当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为yk(x1)(k0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x2，x1x2.此时|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(当且仅当k时，取等号)，所以|S1S2|的最大值为.法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y2，故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|，当且仅当m时取等号，所以|S1S2|的最大值为.
