《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题4 第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题4 第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 讲 空间几何体的表面积 体积及 有关量的计算 做小题 激活思维 1 一个球的表面积是 16 那么这个球的体积为 A B C 16 D 24 16 3 32 3 B 设球的半径为 R 则由 4 R 2 16 解得 R 2 所以这个球的体积为 R3 4 3 32 3 2 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 4 3 若点 P 从点 A 出发 沿着正三棱柱的表面 经过棱 A1B1运动到点 C1 则点 P 运动的最短路程为 A 5 B 31 C 4 D 6 2 B 将三棱柱展开成如图的图形 让点 C1与 ABB1A1在同一 平面内 C1D AB 交 A1B1 于 Q 则 C
2、1Q A1B1 A1Q AD 3 2 两点之间线段最短 故 AC1即为所求的最短距离 因为 C1Q A1C1 sin 60 所以 3 3 2 3 2 C1D 4 AD 3 2 11 2 3 2 所以 AC1 AD2 C1D2 3 2 2 11 2 2 31 3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积 为 体积为 28 16 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体 设圆柱底面 8 3 3 圆半径为 r 周长为 c 圆锥母线长为 l 圆柱高为 h 由图得 r 2 c 2 r 4 h 4 由勾股定理得 l 4 S表 22 2 3 2 r 2 ch cl 4 16 8 28 V
3、 V 柱 V锥 16 1 2 8 3 3 4 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2 侧棱 长为 D 为 BC 的中点 则三棱锥 A B1DC1的体积为 3 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AD BC AD BB1 BB1 BC B AD 平面 B1DC1 VA B1DC1 S B1DC1 AD 2 1 1 3 1 3 1 233 5 已知一个圆台的下底面半径为 3 高为 2 当圆台的上底面半径 r 变化 时 圆台体积的变化范围是 6 18 V圆台 r 2 rr r 2 h 0 r 3 1 3 当上底面面积为 0 时 圆台变为圆锥 V圆锥 r 2h 6 1 3 当 r 3
4、 时 圆台变为圆柱 V圆柱 r 2h 18 所以圆台体积的变化范围是 6 18 扣要点 查缺补漏 1 空间几何体的表面积与体积 1 求三棱锥的体积时 等体积转化是常用的方法 转化原则是其高易求 底 面放在已知几何体的某一面上 如 T4 2 求不规则几何体的体积 常用分割或补形的思想 将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解 3 已知几何体的三视图 可去判断几何体的形状和各个度量 然后求解表面 积和体积 如 T3 2 柱 锥 台之间的关系 3 多面体与球 1 设球的半径为 R 球的截面圆半径为 r 球心到球的截面的距离为 d 则有 r R2 d2 2 当球内切于正方体时 球的直径等于正方体的棱
5、长 当球外接于长方体时 长方体的体对角线长等于球的直径 当球与正方体各棱都相切时 球的直径等于 正方体底面的对角线长 3 若正四面体的棱长为 a 则正四面体的外接球半径为a 内切球半径为 6 4 a 6 12 空间几何体的三视图 展开图 截面图 5 年 2 考 高考解读 重点考查考生的识图能力和空间想象能力 考生对试题的研究 必须经历从 识图 想图 到 构图 的过程 要通过观察 分析 想象 判 断 计算的逻辑思维才能求解 考查了考生的直观想象和逻辑推理的核心素养 2018 全国卷 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图 圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面上的点
6、N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A 2 B 2 C 3 D 2 175 切入点 圆柱的三视图 关键点 正确还原圆柱体并将侧面展开 找出 M N 在侧面展开图中的位 置 B 设过点 M 的高与圆柱的下底面交于点 O 将圆柱沿 MO 剪开 则 M N 的位置如图所示 连接 MN 易知 OM 2 ON 4 则从 M 到 N 的最短路径为 2 OM2 ON222 425 教师备选题 1 2018 北京高考 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直 角三角形的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 C 由三视图得到空间几何体 如图所示
7、则 PA 平 面 ABCD 平面 ABCD 为直角梯形 PA AB AD 2 BC 1 所以 PA AD PA AB PA BC 又 BC AB AB PA A 所 以 BC 平面 PAB 所以 BC PB 在 PCD 中 PD 2 PC 3 CD 所以 PCD 为锐角三角形 所以侧面中的直角三角 25 形为 PAB PAD PBC 共 3 个 故选 C 2 2015 北京高考 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥最长棱的棱长为 A 1 B C D 2 23 C 根据三视图 可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 V ABCD 其中 VB 平面 ABCD 且底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形
8、 VB 1 所以四棱锥中最长棱为 VD 连接 BD 易知 BD 在 2 Rt VBD 中 VD VB2 BD23 1 由三视图还原直观图需遵循以下 3 步 1 看视图明关系 2 分部分想整体 3 合起来定整体 2 解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法 把立体图形 展为平面图形 利用两点之间线段最短进行求解 1 由三视图还原几何体 某四棱锥的三视图如图所示 其侧视图是等腰直角 三角形 俯视图的轮廓是直角梯形 则该四棱锥的各侧面面积的最大值为 A 8 B 4 C 8 D 12 522 D 由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形 高为 4 的四棱锥 如图 其中侧棱 PA 平面 ABC
9、D PA 4 AB 4 BC 4 CD 6 所以 AD 2 PD 6 PB 4 连接 AC 则 AC 4 所 522 以 PC 4 显然在各侧面面积中 PCD 的面积最大 又 PD CD 6 所以 PC 3 边上的高为 2 所以 S PCD 4 2 12 故该四棱锥的 62 4 3 2 2 6 1 2362 各侧面面积的最大值为 12 故选 D 2 2 侧面展开图 如图 一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长 为 4 m 一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发 绕圆锥表面爬行 一周后回到点 P 处 若该小虫爬行的最短路程为 4 m 则圆锥底 3 面圆的半径等于 m 把圆锥侧面沿过点 P 的母线展
10、开成如图所示的扇形 4 3 由题意 OP 4 PP 4 则 cos POP 3 所以 POP 42 42 4 3 2 2 4 4 1 2 2 3 设底面圆的半径为 r 则 2 r 4 2 3 所以 r 4 3 3 截面问题 已知圆锥的底面直径为 母线长为 1 过圆锥的顶点 作圆 3 锥的截面 则截面面积的最大值为 由于圆锥的底面直径为 母线长为 1 设圆锥轴截面的顶 1 23 角为 则 cos 1 1 3 2 1 1 1 2 又 0 因此截面面积的最大值为 1 1 sin 2 3 1 2 2 1 2 空间几何体的表面积和体积 5 年 18 考 高考解读 空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容
11、 题型既有选择 题也有解答题 以往多与三视图综合考查 由于新课标对三视图不作要求 对表 面积和体积的考查也以单一考点的形式出现在高考试题中 角度一 空间几何体的表面积 1 2018 全国卷 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 O1 O2 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形 则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 8 D 10 22 切入点 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的轴截面是面积为 8 的正方形 关键点 找出圆柱的底面半径及母线的长 B 因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形 所 以圆柱的高为 2 底面圆的直径为 2 所以该圆柱
12、的表面积为 2 222 2 2 2 12 22 2 2016 全国卷 如图所示 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的 是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 A 18 36 B 54 18 55 C 90 D 81 切入点 多面体的三视图 关键点 正确还原几何体 B 由几何体的三视图可知 该几何体是底面为正方形的斜四棱柱 由题意可知该几何体底面边长为 3 高为 6 所以侧棱长为 3 故 32 625 该几何体的表面积 S 3 2 2 3 6 2 3 3 2 54 18 55 角度二 空间几何体的体积 3 一题多解 2017 全国卷 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线 画出的是某
13、几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则 该几何体的体积为 A 90 B 63 C 42 D 36 切入点 三视图 关键点 割补法求体积 B 法一 割补法 如图所示 由几何体的三视图 可知该几何体是一个圆 柱被截去上面虚线部分所得 将圆柱补全 并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分 由图可知 该几何 体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 所以该几何体的体积 1 2 V 3 2 4 32 6 63 1 2 故选 B 法二 估值法 由题意 知 V圆柱 V几何体 V圆柱 又 V圆柱 1 2 3 2 10 90 45 V 几何体 90 观察选项可知只有 63 符合 故
14、选 B 4 2019 全国卷 学生到工厂劳动实践 利用 3D 打印技术制作模型 如图 该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥 O EFGH 后所得的几何体 其中 O 为长方体的中心 E F G H 分别为所在棱 的中点 AB BC 6 cm AA1 4 cm 3D 打印所用原料 密度为 0 9 g cm3 不考虑打印损耗 制作该模型所需原料的质量为 g 切入点 E F G H 分别为所在棱的中点 AB BC 6 cm AA1 4 cm 关键点 正确求出四棱锥的体积 118 8 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形 对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 故 V挖去的四棱锥 4 6
15、3 12 cm3 1 3 1 2 又 V长方体 6 6 4 144 cm3 所以模型的体积为 V长方体 V挖去的四棱锥 144 12 132 cm3 所以制作该模型所需原料的质量为 132 0 9 118 8 g 5 2019 全国卷 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 点 E 在棱 AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C1 2 若 AE A1E AB 3 求四棱锥 E BB1C1C 的体积 切入点 ABCD 为正方形 BE EC1 关键点 线面垂直判定定理的应用 正确求出四棱锥 E BB1C1C 的高 解 1 证明 由已知得 B1C1 平面 A
16、BB1A1 BE 平面 ABB1A1 故 B1C1 BE 又 BE EC1 B1C1 EC1 C1 所以 BE 平面 EB1C1 2 由 1 知 BEB1 90 由题设知 Rt ABE Rt A1B1E 所以 AEB A1EB1 45 故 AE AB 3 AA1 2AE 6 如图 作 EF BB1 垂足为 F 则 EF 平面 BB1C1C 且 EF AB 3 所以四棱锥 E BB1C1C 的体积 V 3 6 3 18 1 3 教师备选题 1 2015 全国卷 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩 余部分的三视图如图 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A B 1 8 1 7 C D 1 6 1 5 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个 大角 后剩余的部分 如图所示 截去部分是一个三棱锥 设正方体的棱长 为 1 则三棱锥的体积为 V1 1 1 1 1 3 1 2 1 6 剩余部分的体积 V2 13 1 6 5 6 所以 故选 D V1 V2 1 6 5 6 1 5 2 2017 全国卷 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB
