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1、勾股定理 教学目标 1 能说出勾股定理 并能应用勾股定理解决简单问题 2 经历探索勾股定理的过程 3 经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程 发展用数学的眼光观察现实世界 感受勾股定理的文化价值 趣味故事 几何学中 勾股定理发挥着重要作用 在毕达哥拉斯的时代 却因此发生一件血案 勾三股四弦五 是一个理想的数字 都是整数 这样的组合也叫勾股数 可以列举出不少 符合毕达哥拉斯学派对于世界的完美诠释 然而 这里面藏着一个 妖孽 等腰直角三角形给了毕达哥拉斯及其信徒们痛苦一击 出现了根号2 这个被如今戏称为 意思意思 的数是个小数 根号2的数值是1 414 如果只是一般的小数还不是大问题 一般的小数都是
2、有循环的 偏偏这个数循环不起来 无穷无尽 毫无规律 这一点显然破坏了对于和谐世界的认识 于是 一桩血案发生了 发现这个问题的西帕索斯被杀死了 因为他破坏了万物皆数的和谐 这是科学史上的一桩暴行 以科学的名义 很恐怖 这个数后来被称为无理数 是众多无理数中最著名的之一 当然最著名的永远是那个圆周率 而当时没有人知道这个 山巅一寺一壶酒乐煞吾 是一个无理数 还是以周三径一的简单算法 毕达哥拉斯知道圆周率是个超强的无理数 而这个秘密则保留了很久 中国的祖冲之算出3 1415926 3 1415927之间 足足领先欧洲千年之久 方法好像也是与祖冲之一样 在趣味拼图中感悟勾股定理 勾股定理是一坛千年佳酿
3、 品之芬芳 余味无穷 令人陶醉神往 它以其简洁 优美的形式 丰富 深刻的内容 展现了自然界的和谐关系 著名网络科普作家塔米姆 安萨利在其近著中提出的对社会有重大影响的10大科学发现 勾股定理就是其中之一 据说4000多年前 中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差 著名物理学家爱因斯坦和艺术家达芬奇都曾经对勾股定理的证法进行过研究 迄今为止 关于勾股定理的证明方法已有500余种 各种证法融几何知识与代数知识于一体 完美地体现了数形结合的魅力 让我们动起手来 拼一拼 想一想 去感悟数学的神奇和妙趣吧 拼法一 1 用四个相同的直角三角形 直角边为a b 斜边为c 图2操作 动手
4、拼一拼 摆一摆 看能否拼出含有边长c的正方形 问题 你能用两种方法表示左图的面积吗 对比两种不同的表示方法 你发现了什么 分析 S正方形 a b 2 c2 4 ab化简可得 a2 b2 c2 拼法二 2 用四个完全相同的直角三角形 直角边为a b 斜边为c 图3问题 图3是由三国时期的数学家赵爽在为 周髀算经 作注时给出的 在图3中用同样的办法研究 你有什么发现 你能验证a2 b2 c2吗 分析 S正方形 c2 a b 2 4 ab化简可得 a2 b2 c2 拼法三 3 问题 图3是伽菲尔德总统的拼法 你知道他是如何验证的吗 你能用两种方法表示图3的面积吗 伽菲尔德总统是这样分析的 S梯形AB
5、CD a b 2S梯形ABCD S ABE S ECD S AED ab ab c2则有 a b 2 ab ab c2化简可得 a2 b2 c2 拼法四 4 用四个直角三角形 直角边为a b 斜边为c 边长分别为a b c正方形 拼成图4 问题 观察图4 你能发现边长分别为a b c的正方形吗 与你的同桌讨论 你们能通验证到 a2 b2 c2吗 分析 图6可以转化为下面两图 图a的面积可表示为 a2 b2 2 ab图b的面积可表示为 c2 2 ab图7比较两式 你发现了什么 拼法五 5 用四个直角三角形 直角边为a b 斜边为c 问题 你能把图5转化为图c吗 通过位置变换 你发现了什么 你能发
6、现边长分别为a b c的正方形吗 能否验证到 a2 b2 c2呢 把你的发现与同学交流 总结 品味各种拼图 方法各异 妙趣横生 证明思路别具匠心 极富创新 它们充分运用了几何图形的截 割 拼 补来证明代数式之间的恒等关系 既具严密性 又具直观性 深刻体现了形数统一 代数和几何紧密结合 互不可分的独特魅力 精选试题 1 在 ABC中 若其三条边的长度分别为9 12 15 则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 2 一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3 4 12 则这个长方体内能容下的最长的木棒为 3 在 ABC中 C 90 BC 60cm CA 80cm 一只蜗牛从C点出发 以每分20cm的
7、速度沿CA AB BC的路径再回到C点 需要 分的时间 4 一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处 则AC间的距离是 5 在 ABC中 B 90 两直角边AB 7 BC 24 三角形内有一点P到各边的距离相等 则这个距离是 108 13 12 50海里 3 拓展练习 1 一艘渔船正以30海里 时的速度由西向东追赶渔群 在A处看见小岛C在船北偏东60 40分钟后 渔船行至B处 此时看见小岛C在船的北偏东30 已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区 问这艘渔船继续航行 追赶鱼群 是否有进入危险区的可能 设小岛C与AB的垂直距离为a 则 易求得a2 300 102 所以 这艘渔船继续航行不会进入危险区 解
