《2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练：25 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练：25 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题突破练 25 圆锥曲线中的最值 范围 证明问 题 1 2019 辽宁丹东高三总复习质量测试 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 2 2 2 2 P 是椭圆 C 上的一点 PF1 PF2 F1F2 2 F1PF2的面积为 1 1 求椭圆 C 的方程 2 过 F2的直线 l 与 C 交于 A B 两点 设 O 为坐标原点 若 求四边形 AOBE 面积的最大 值 2 2019 安徽合肥高三第三次教学质量检测 已知 F1 F2分别为椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点 点 2 2 2 2 P 1 在椭圆 C 上 且 PF1F2的面积为 2 2 2 2 1 求椭圆 C
2、 的方程 2 设过点 F1的直线 l 交椭圆于 A B 两点 求的取值范围 2 2 3 2019 河南驻马店高三上学期期末考试 已知抛物线 的顶点在坐标原点 其焦点 F 在 y 轴正半轴 上 E 为直线 y x 上一点 圆 E 与 x 轴相切 E 为圆心 且 E F 关于点 M 2 0 对称 1 2 1 求圆 E 和抛物线 的标准方程 2 过 M 的直线 l 交圆 E 于 A B 两点 交抛物线 于 C D 两点 求证 CD AB 2 4 2019 贵州贵阳第一中学高考适应性月考卷 已知圆心为 C 0 s s 0 半径为的圆 C 被直线 5 3x 4y 1 0 截得的弦长为 4 等轴双曲线 M
3、 的上焦点是圆 C 的圆心 1 求双曲线 M 的标准方程 2 D 2 0 E 2 0 为 x 轴上的两点 若圆 C 内的动点 P 使得 PD PO PE 成等比数列 O 为原点 求 的取值范围 5 2019 湖北恩施高三 2 月教学质量检测 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 其准线 l x 1 与 x 轴的交点为 K 过点 K 的直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点 1 求抛物线 C 的方程 2 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 证明 存在实数 t 0 1 使得 t 1 t 6 2019 河南濮阳高三 5 月模拟考试 已知椭圆 C 1 a b 0 的两个焦点分别为 F
4、1 F2 且 2 2 2 2 F1F2 2 点 P 在椭圆上 且 PF1F2的周长为 6 1 求椭圆 C 的方程 2 若点 P 的坐标为 2 1 不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 设线段 AB 的中点为 M 点 P 到直线 l 的距离为 d 且 M O P 三点共线 求 AB 2 d2的最大值 12 13 13 16 参考答案 专题突破练 25 圆锥曲线中的最 值 范围 证明问题 1 解 1 由题意得 4 PF1 PF2 1 1 2 2 2 1 2 所以 a 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 又 c 1 所以 b 1 2 2 故 C 的方程为 y2 1
5、2 2 2 由题意得 AB 不平行于 x 轴 设 AB x my 1 联立 y2 1 得 m2 2 y2 2my 1 0 则 2 2 8 m2 1 0 y1 y2 2 2 1 2 2 因为 所以四边形 AOBE 为平行四边形 故四边形 AOBE 的面积 S 2S AOB y1 y2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 因为 2 当且仅当 m 0 时取等号 于是四边形 AOBE 面积的最大值为 2 1 1 2 12 2 解 1 设椭圆 C 的焦距为 2c 由椭圆 C 经过点 P 1 且 PF1F2的面积为 得 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 又 a2 b2 c2 且 2c
6、 即 c 1 1 2 2 2 2 2 解得 a2 2 b2 1 所以椭圆 C 的方程为 y2 1 2 2 2 由 1 知 F1 1 0 F2 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 若直线 l 的斜率不存在 可得点 A B 的坐标为 1 1 则 2 2 2 2 2 2 7 2 当直线 l 的斜率存在时 设 l y k x 1 代入椭圆方程得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 则 16k4 8 1 2k2 k2 1 8k2 8 0 恒成立 所以 x1 x2 x1x2 4 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 所以 x1 1 x2 1 y1y2 2 2 x1 1 x2 1 k2
7、x1 1 x2 1 1 k2 x1x2 k2 1 x1 x2 k2 1 7 2 1 1 2 2 7 2 9 2 1 2 2 又 k2 0 则 1 2 2 7 2 9 2 2 2 1 7 2 综上可知 的取值范围为 1 2 2 7 2 3 1 解 设抛物线 的标准方程为 x2 2py p 0 则焦点 F 的坐标为 0 2 已知 E 在直线 y x 上 故可设 E 2a a 1 2 因为 E F 关于点 M 2 0 对称 所以解得 2 0 2 2 2 2 0 2 4 所以 的标准方程为 x2 8y 因为圆 E 与 x 轴相切 故半径 r a 2 圆心 E 4 2 所以圆 E 的标准方程为 x 4
8、2 y 2 2 4 2 证明 由 1 知 直线 l 的斜率存在 设为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 则 E 4 2 到直线 l 的距离为 d 2 2 2 1 所以 AB 2 4 k 0 4 2 2 2 1 由消去 y 并整理得 x2 8kx 16k 0 2 8 2 设 C x1 y1 D x2 y2 则 x1 x2 8k x1x2 16k 64k2 64k 0 所以 CD x1 x2 8 1 2 1 2 1 2 2 4 1 21 2 2 因为 k 0 k2 k k k2 1 1 所以 2 2 2 2 1 2 2 2 2 所以 CD 2 2 AB 2 即 CD AB 2 4 解 1
9、圆心 C 到直线 3x 4y 1 0 的距离 d 1 得 s 1 故圆 C 的标 4 1 5 5 2 2 2 准方程为 x2 y 1 2 5 C 0 1 双曲线 M 的上焦点为 0 1 a2 b2 c2 1 2 1 2 故双曲线 M 的标准方程为 1 2 1 2 2 1 2 2 设 P x y PD PO PE 成等比数列 x2 y2 整理得 x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 故 2 x y 2 x y x2 4 y2 2 y2 1 由于 P 在圆 C 内 则 2 1 2 5 2 2 2 得 y2 y 1 0 得 y 则 0 y20 的准线方程为直线 l x 1 所以 1 解得 p 2
10、2 所以抛物线 C 的方程为 y2 4x 2 证明 易知点 K 的坐标为 1 0 据此可设直线 l 的方程为 x my 1 设 A x1 y1 B x2 y2 联立整理得 y2 4my 4 0 故 1 2 4 1 2 4 1 2 4 因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D A x1 y1 所以 D x1 y1 则直线 BD 的方程为 y y2 x x2 得 y y2 x x2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 得 y y2 x x2 2 1 2 1 即 y y2 x 4 2 1 2 2 4 令 y 0 得 0 y2 x 得 x y2 1 4 2 1 2 2 4 2 2 4 2 1 4 2
11、 2 2 2 1 2 4 1 2 4 4 4 所以直线 BD 恒过定点 1 0 所以点 F 1 0 在直线 BD 上 所以不妨令 t t 0 1 因为 所以 t 所以 t 所以 1 t t 所以存在实数 t 0 1 使得 t 1 t 命题得证 6 解 1 由题意得 2c 2 2a 2c 6 解得 a 2 c 1 b2 a2 c2 3 椭圆 C 的方程为 1 2 4 2 3 2 设 A x1 y1 B x2 y2 当直线 l 与 x 轴垂直时 由椭圆的对称性可知 点 M 在 x 轴上 且与 O 点不重合 显然 M O P 三点不共线 不符合题设条件 故可设直线 l 的方程为 y kx m m 0
12、 由消去 y 整理得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 3 2 4 2 12 则 64k2m2 4 3 4k2 4m2 12 0 x1 x2 x1x2 8 3 4 2 4 2 12 3 4 2 所以点 M 的坐标为 4 3 4 2 3 3 4 2 M O P 三点共线 kOM kOP 3 3 4 2 4 3 4 2 1 2 m 0 k 3 2 此时方程 为 3x2 3mx m2 3 0 则 3 12 m2 0 m 2 2 33 则 x1 x2 m x1x2 2 3 3 AB 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 12 m2 13 12 又 d 8 2 32 22 2 4 13 AB 2 d2 12 m2 m 2 12 13 13 16 4 2 4 3 4 4 3 52 3 当 m 2 2 时 AB 2 d2的最大值为 4 3 33 12 13 13 16 52 3
