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1、课时跟踪检测 十五 课时跟踪检测 十五 反证法反证法 一 题组对点训练 对点练一 用反证法证明 否定性 命题 1 应用反证法推出矛盾的推理过程中 可作为条件使用的是 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 A B C D 解析 选 C 根据反证法的基本思想 应用反证法推出矛盾的推导过程中可把 结论的 否定 已知条件 公理 定理 定义 等作为条件使用 2 用反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 A B C 90 90 C 180 这与三角形内角和为 180 矛盾 故假设 错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 ABC中有两个直角 不妨设 A 90 B 90 上述步骤的正确
2、顺序为 答案 3 等差数列 an 的前n项和为Sn a1 1 S3 9 3 22 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 2 设bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 Sn n 解 1 设公差为d 由已知得Error 解得d 2 故an 2n 1 Sn n n 22 2 证明 由 1 得bn n Sn n2 假设数列 bn 中存在三项bp bq br p q r互不相等 成等比数列 则b bpbr 2q 即 q 2 p r 222 所以 q2 pr 2q p r 0 2 又p q r N 所以Error 所以 2 pr p r 2 p r 2 0 所以p r
3、这与p r矛盾 所以数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 对点练二 用反证法证明 至多 至少 型命题 4 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 时 假设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 B 假设三内角都大于 60 C 假设三内角至少有一个大于 60 D 假设三内角至多有两个大于 60 解析 选 B 至少有一个 即 全部中最少有一个 5 设实数a b c满足a b c 1 则a b c中至少有一个数不小于 解析 假设a b c都小于 则a b c 1 与a b c 1 矛盾 故a b c中至少 1 3 有一个不小于 1 3 答案 1 3 6 若x y z均为实
4、数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 则 2 3 6 a b c中是否至少有一个大于 0 请说明理由 解 是 假设a b c都不大于 0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 而a b c x2 2y y2 2z z2 2x 2 3 6 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 因为 3 0 且无论x y z为何实数 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 所以 a b c 0 这与假设a b c 0 矛盾 因此 a b c中至少有一个大于 0 对点练三 用反证法证明 唯一性 命题 7 用反证法证明命题 关于x的方程ax b a 0 有且只有一个解 时 反设是关于x 的方程
5、ax b a 0 A 无解 B 有两解 C 至少有两解 D 无解或至少有两解 解析 选 D 唯一 的否定上 至少两解或无解 8 自然数a b c中恰有一个偶数 的否定正确的为 A a b c都是奇数 B a b c都是偶数 C a b c中至少有两个偶数 D a b c中都是奇数或至少有两个偶数 解析 选 D 自然数a b c的奇偶性共有四种情形 1 3 个都是奇数 2 2 个奇数 1 个偶数 3 1 个奇数 2 个偶数 4 3 个都是偶数 所以否定正确的是a b c中都是奇 数或至少有两个偶数 9 求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明 因为两直线为相交直线 故至少有一个交点 假设两条直线
6、a b不只有一个交 点 则至少有两个交点A和B 这样同时经过点A B的直线就有两条 这与 经过两点有且 只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线有且只有一个交点 二 综合过关训练 1 用反证法证明命题 a b N 如果ab可被 5 整除 那么a b至少有 1 个能被 5 整 除 则假设的内容是 A a b都能被 5 整除 B a b都不能被 5 整除 C a不能被 5 整除 D a b有 1 个不能被 5 整除 解析 选 B 用反证法只否定结论即可 而 至少有一个 的反面是 一个也没有 故 B 正确 2 有以下结论 已知p3 q3 2 求证p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 已知
7、 a b R a b 2 故 的假设 是错误的 而 的假设是正确的 3 设a b c都是正数 则三个数a b c 1 b 1 c 1 a A 都大于 2 B 至少有一个大于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 解析 选 D 因为a b c都是正数 则有 6 a 1 b b 1 c c 1 a a 1 a b 1 b c 1 c 故三个数中至少有一个不小于 2 4 已知数列 an bn 的通项公式分别为an an 2 bn bn 1 a b是常数 且 a b 那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无穷多个 解析 选 A 假设存在序
8、号和数值均相等的项 即存在n使得an bn 由题意 a b n N 则恒有an bn 从而an 2 bn 1 恒成立 不存在n使得an bn 5 已知平面 平面 直线a 直线b 直线c b a A c a 求证 b 与c是异面直线 若利用反证法证明 则应假设 解析 空间中两直线的位置关系有 3 种 异面 平行 相交 应假设b与c平行或 相交 答案 b与c平行或相交 6 完成反证法证题的全过程 题目 设a1 a2 a7是 1 2 7 的一个排列 求证 乘积p a1 1 a2 2 a7 7 为偶数 证明 假设p为奇数 则 均为奇数 因奇数个奇数之和为奇数 故有 奇数 0 这与 0 为偶数矛盾 说明
9、p为偶数 解析 证明过程应为 假设p为奇数 则有a1 1 a2 2 a7 7 均为奇数 因为奇数个奇数之和为奇数 故有奇数 a1 1 a2 2 a7 7 a1 a2 a7 1 2 7 0 这与 0 为偶数矛盾 说明p为偶数 答案 a1 1 a2 2 a7 7 a1 1 a2 2 a7 7 a1 a2 a7 1 2 7 7 求证方程 2x 3 有且只有一个根 证明 因为 2x 3 所以x log23 这说明方程 2x 3 有根 下面用反证法证明方程 2x 3 的根是唯一的 假设方程 2x 3 至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 2b1 3 2b2 3 两式相除得 2b1 b2 1 若b1 b
10、2 0 则 2b1 b2 1 这与 2b1 b2 1 相矛盾 若b1 b2 0 则 2b1 b2 1 这也与 2b1 b2 1 相矛盾 所以b1 b2 0 则b1 b2 所以假设不成立 从而原命题得证 8 用反证法证明 对于直线l y x k 不存在这样的非零实数k 使得l与双曲线 C 3x2 y2 1 的交点A B关于直线y x对称 证明 假设存在非零实数k 使得A B关于直线y x对称 设A x1 y1 B x2 y2 则线段AB的中点M在直线y x上 x1 x2 2 y1 y2 2 由Error 得 2x2 2kx 1 k2 0 x1 x2 k 可得M k 2 3k 2 这与M在直线y x上矛盾 所以假设不成立 故不存在非零实数k 使得A B关于直线y x对称
