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1、课时跟踪检测 九 课时跟踪检测 九 定积分的概念定积分的概念 一 题组对点训练 对点练一 求曲边梯形的面积 1 求由抛物线y 2x2与直线x 0 x t t 0 y 0 所围成的曲边梯形的面积时 将 区间 0 t 等分成n个小区间 则第i 1 个区间为 A B i 1 n i n i n i 1 n C D t i 1 n ti n t i 2 n t i 1 n 解析 选 D 在 0 t 上等间隔插入 n 1 个分点 把区间 0 t 等分成n个小区间 每个小区间长度均为 故第i 1 个区间为 t n t i 2 n t i 1 n 2 已知某物体运动的速度为v t3 t 0 1 若把区间 4
2、 等分 取每个小区间右端点 处的函数值为近似小矩形的高 则物体运动的近似值为 A B C D 1 19 111 256 110 270 25 64 解析 选 D s 1 4 3 1 2 3 3 4 3 13 1 4 13 23 33 43 44 25 64 3 求由直线x 1 x 2 y 0 及曲线y 围成的图形的面积S 1 x2 解 1 分割 将区间 1 2 等分成n个小区间 记第i个区间为 i 1 2 n 其长度为 x 每个小区间对应的小 1 i 1 n 1 i n 1 i n 1 i 1 n 1 n 曲边梯形的面积记作 S1 S2 Sn 则小曲边梯形的和为S Si n i 1 2 近似代
3、替 因为 1 S2 D S1S2 9 已知x2dx x2dx 1dx 2 则 x2 1 dx 1 0 1 3 2 1 7 3 2 0 2 0 解析 由定积分的性质可知 x2 1 dx 2 0 x2dx 1dx x2dx x2dx 2 2 0 2 0 1 0 2 1 2 1 3 7 3 14 3 答案 14 3 10 用定积分的几何意义计算下列定积分 1 2x 1 dx 2 2 dx 2 24 x2 解 1 2x 1 dx表示图 1 中阴影部分的面积 而S 5 2 5 2 25 4 从而 2x 1 dx 25 4 2 令y 2 则y 2 表示以 0 2 为圆心 2 为半径的 4 x24 x2 圆
4、的上半圆 2 dx表示图 2 中阴影部分的面积 2 24 x2 2 dx 8 2 2 24 x2 二 综合过关训练 1 若f x dx 1 g x dx 3 则 2f x g x dx b a b a b a A 2 B 3 C 1 D 4 解析 选 C 2f x g x dx b a 2f x dx g x dx 2 1 3 1 b a b a 2 若f x 为偶函数 且f x dx 8 则f x dx等于 6 0 6 6 A 0 B 4 C 8 D 16 解析 选 D 被积函数f x 为偶函数 在y轴两侧的函数图象对称 从而对应的曲 边梯形面积相等 3 若cos xdx 1 则由x 0 x
5、 f x sin x及x轴围成的图形的面积为 解析 由正弦函数与余弦函数的图象 知f x sin x x 0 的图象与x轴围成 的图形面积等于g x cos x x 的图象与x轴围成的图形的面积的 2 倍 所以S 0 2 sin xdx 2 0 答案 2 4 sin x 2x dx 2 2 解析 由定积分的性质可得 sin x 2x dx sin xdx 2xdx 又y sin x 2 2 2 2 2 2 与y 2x都是奇函数 故所求定积分为 0 答案 0 5 dx 1 14 x2 解析 由y 可知x2 y2 4 y 0 其图象如图 4 x2 1 1 dx等于圆心角为 60 的弓形CD的面积与
6、矩形ABCD的面积 4 x2 之 和 S弓形 22 2 2sin 1 2 3 1 2 3 2 33 S矩形 AB BC 2 3 dx 2 1 1 4 x23 2 33 2 33 答案 2 33 6 已知函数f x Error 求f x 在区间 1 3 上的定积分 解 由定积分的几何意义知 f x x5是奇函数 故x5dx 0 1 1 sin xdx 0 如图 1 所示 3 xdx 1 1 2 1 如图 2 所示 1 1 2 1 2 f x dx x5dx 1xdx sin xdx 3 1 1 1 1 3 2 1 1 2 7 计算 x3 dx的值 3 39 x2 解 如图 由定积分的几何意义 得dx x3dx 0 由定积分的性质 3 39 x2 32 2 9 2 3 3 得 x3 dx 3 39 x2 dx x3dx 3 39 x2 3 3 9 2
