《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 1 复数代数形式的加 减运算及其几何意义复数代数形式的加 减运算及其几何意义 填一填 1 复数加减法的运算法则及加法运算律 1 加减法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 是任意两个复数 则 z1 z2 a c b d i z1 z2 a c b d i 2 加法运算律 对任意 z1 z2 z3 C 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 复数加减法的几何意义 如图 设复数 z1 z2对应的向量分别为 四边形 OZ1ZZ2为平行四边形 则与 OZ1 OZ2 z1 z2对应的向量是 与 z1 z2对应的向量是 OZ Z2Z1
2、判一判 1 两个虚数的和或差可能是实数 2 若复数 z1 z2满足 z1 z2 0 则 z1 z2 3 在进行复数的加法时 实部与实部相加得实部 虚部与虚部相加得虚部 4 复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形 5 复数的减法不满足结合律 即 z1 z2 z3 z1 z2 z3 可能不成立 6 复数的加减法法则与实数的多项式的加法法则类似 也就是合并同类项 7 复数与向量一一对应 8 一个向量平移后 其对应的复数会随之发生变化 想一想 1 复数加 减运算的思路是什么 两个复数相加 减 就是把两个复数的实部相加 减 虚部相加 减 复数的减法是加法 的逆运算 两个复数相减 也可以看成是加上这个复
3、数的相反数 当多个复数相加 减 时 可将这些复数的所有实部相加 减 所有虚部相加 减 2 复数加 减运算中的易错点有哪些 1 在进行复数减法运算时要注意格式 两复数相减所得结果依然是一个复数 其对应的 实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差 注意中间用 号 如 z1 a bi z2 c di z1 z2 a c b d i 而不是 z1 z2 a c b d i a b c d R 2 复数中出现字母时 首先要判断其是否为实数 再确定复数的实部与虚部 最后把实 部与虚部分别相加 3 复数加 减法的几何意义是什么 1 复数加法的几何意义 若复数 z1 z2对应的向量 不共线 则复数 z1 z2是
4、以 为邻边的平行 OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 四边形的对角线所对应的复数 OZ 2 复数减法的几何意义 复数 z1 z2是连接向量 的终点 并指向的终点的向量所对应的复数 OZ1 OZ2 OZ1 4 利用复数加 减运算的几何意义解题的技巧有什么 形转化为数 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形 对于一些复数运算也可以给予几何解释 使复数作为工具运用于几何之 中 感悟体会 练一练 1 若 z 3 5i 8 2i 则 z 等于 A 8 7i B 5 3i C 11 7i D 8 7i 解析 z 8 2i 3 5i 11 7i 故选 C 答案 C 2 已知复数 z1
5、3 2i z2 1 3i 则复数 z z1 z2在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 z z1 z2 3 2i 1 3i 2 5i 复数 z 在复平面内对应的点为 2 5 位于 第一象限 故选 A 答案 A 3 复数 z1 cos i z2 sin i R 则 z1 z2 的最大值为 A 5 B 5 C 6 D 6 解析 z1 z2 cos sin 2i cos sin 2 225 2sin cos 5 sin 2 z1 z2 max 故选 D 66 答案 D 4 已知 z 3 且 z 3i 是纯虚数 则 z 等于 A 3 B 3 C 3i D
6、3i 解析 设 z x yi x y R 则 z 3i x y 3 i 因为 z 3i 是纯虚数 所以Error Error 即Error Error 又因为 z 3 所以 x 0 y 3 即 x2 y2 z 3i 故选 D 答案 D 知识点一复数的加减运算 1 复数 z1 a 4i z2 3 bi 若它们的和是实数 差为纯虚数 则实数 a b 的值为 A a 3 b 4 B a 3 b 4 C a 3 b 4 D a 3 b 4 解析 z1 z2 a 4i 3 bi a 3 b 4 i 为实数 z1 z2 a 4i 3 bi a 3 4 b i 为纯虚数 Error Error 解得Erro
7、r Error 故选 A 答案 A 2 已知 i 为虚数单位 计算 a bi 2a 3bi 3i a b R 解析 a bi 2a 3bi 3i a 2a b 3b 3 i a 4b 3 i 知识点二复数加减运算的几何意义 3 如图 设向量 所对应的复数为 z1 z2 z3 那么 OP PQ OQ A z1 z2 z3 0 B z1 z2 z3 0 C z2 z1 z3 0 D z1 z2 z3 0 解析 由题图可知 且 0 z2 z1 z3 0 即 OP OQ QP PQ QP z1 z2 z3 0 故选 D 答案 D 4 如图所示 平行四边形 OABC 的顶点 O A C 分别表示 0 3
8、 2i 2 4i 求 1 表示的复数 AO 2 对角线表示的复数 CA 3 对角线表示的复数 OB 解析 1 因为 且表示的复数为 3 2i AO OA OA 所以表示的复数为 3 2i AO 2 因为 表示的复数为 3 2i 表示的复数为 2 4i 所以对角线 CA OA OC OA OC 表示的复数为 3 2i 2 4i 5 2i CA 3 因为对角线 表示的复数为 3 2i 表示的复数为 2 4i 所以 OB OA OC OA OC 对角线表示的复数为 3 2i 2 4i 1 6i OB 知识点三复数模的最值问题 5 若 z 1 z 1 则 z 1 的最小值是 解析 方法一 设 z a
9、bi a b R 则 a 1 bi a 1 bi 所以 即 a 0 所以 z bi b R 所以 z 1 min bi 1 min a 1 2 b2 a 1 2 b2 故当 b 0 时 z 1 的最小值为 1 1 2 b2 方法二 因为 z 1 z 1 所以 z 的轨迹为以 1 0 1 0 为端点的线段的垂直平分线 即 y 轴 z 1 表示 y 轴上的点到 1 0 的距离 所以最小值为 1 答案 1 6 已知 z 2 求 z 1 i 的最大值和最小值 3 解析 设 z x yi x y R 则由 z 2 知 x2 y2 4 故 z 对应的点在以原点为圆心 2 为半径的圆上 又 z 1 i 表示
10、点 x y 到点 1 的距离 33 又因为点 1 在圆 x2 y2 4 上 3 所以圆上的点到点 1 的距离的最小值为 0 最大值为圆的直径 4 即 z 1 i 33 的最大值和最小值分别为 4 和 0 综合知识复数加减运算几何定义的综合应用 7 复数 z1 3 4i z2 0 z3 c 2c 6 i 在复平面内对应的点分别为 A B C 若 BAC 是钝角 求实数 c 的取值范围 解析 在复平面内三点坐标分别为 A 3 4 B 0 0 C c 2c 6 由 BAC 是钝角 得 cos BAC 0 且 A B C 不共线 cos BAC 0 AB 2 AC 2 BC 2 2 AB AC 即 A
11、B 2 AC 2 BC 2 0 由两点间的距离公式 得 25 3 c 2 4 2c 6 2 c2 2c 6 2 49 11 其中当 c 9 时 此时 A B C 三点共线 故 c 9 所以 c 的取值范围是Error Error 8 在平行四边形 ABCD 中 已知 对应的复数分别为 z1 3 5i z2 1 2i AC DC 1 求对应的复数 BC 2 求对应的复数 BD 3 求平行四边形 ABCD 的面积 解析 1 由于 AC AB BC DC BC 所以 故对应的复数为 BC AC DC BC z z1 z2 3 5i 1 2i 4 3i 2 由于 BD AD AB BC DC 所以对应
12、的复数为 4 3i 1 2i 5 i BD 3 由 1 2 可知在平行四边形 ABCD 中 1 2 4 3 AB DC AD BC 所以 cos DAB AB AD AB AD 2 5 5 2 5 25 因此 sin DAB 1 cos2 DAB 11 5 25 所以平行四边形 ABCD 的面积 S sin DAB 5 11 AB AD 5 11 5 25 基础达标 一 选择题 1 已知复数 z 对应的向量如图所示 则复数 z 1 所对应的向量表示正确的是 解析 由题图知 z 2 i 所以 z 1 2 i 1 1 i 其对应向量表示正确的 为 A 选项 答案 A 2 设复数 z 满足 z 3
13、4i 1 则 z 的最大值是 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 因为 z 3 4i 1 所以复数 z 所对应的点在以 3 4 为圆心 1 为半径的圆上 由 几何性质可知 z 的最大值为点 3 4 到原点的距离加上半径 1 z max 1 6 故选 32 42 D 答案 D 3 3 2i 1 i 表示 A 点 3 2 与点 1 1 之间的距离 B 点 3 2 与点 1 1 之间的距离 C 点 3 2 到原点的距离 D 以上都不对 解析 由复数加 减运算的几何意义知 3 2i 1 i 表示复数 3 2i 和 1 i 对应的 两点 3 2 和 1 1 之间的距离 故选 A 答案 A 4 设 m
14、R 复数 z 2m2 3i m m2i 1 2mi 若 z 为纯虚数 则 m 等于 A B 3 1 2 C 1 D 1 或 3 解析 z 2m2 3i m m2i 1 2mi 2m2 m 1 3 m2 2m i m R 且 z 为纯虚数 Error Error 解得 m 故选 A 1 2 答案 A 5 设 z1 2 bi z2 a i a b R 当 z1 z2 0 时 复数 a bi 为 A 1 i B 2 i C 3 D 2 i 解析 z1 z2 2 bi a i 2 a b 1 i 0 a b R Error Error 解得 Error Error a bi 2 i 故选 D 答案 D
15、 6 复数 z1 1 icos z2 sin i 则 z1 z2 的最大值为 A 3 2 B 1 22 C 3 2 D 1 22 解析 z1 z2 1 icos sin i 1 sin cos 1 i 1 z1 1 sin 2 cos 1 23 2 sin cos 3 2 2sin 4 3 2 22 z2 max 1 故选 D 2 答案 D 7 已知复数 z x yi满足 z 1 x 那么 z 在复平面对应的点 x y x y R x 1 2 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 因为 z x yi满足 z 1 x 所以 x 1 yi x 即 x y R x 1 2 x 平
16、方整理 得 y2 2x 1 所以 z 在复平面对应的点的轨迹是抛物线 故选 x 1 2 y2 D 答案 D 二 填空题 8 已知向量和向量对应的复数分别为 3 4i 和 2 i 则向量对应的复数为 OA OC AC 解析 因为 所以对应复数为 2 i 3 4i 1 5i AC OC OA AC 答案 1 5i 9 在复平面内 若 对应的复数分别为 7 i 3 2i 则 OA OB AB 解析 4 3i 5 AB OB OA 4 2 3 2 答案 5 10 已知 z 4 且 z 2i 是实数 则复数 z 解析 设 z a bi a b R 则 z 2i a b 2 i 因为 z 2i 是实数 所以 b 2 又 z 4 所以 a2 b2 16 所以 a 2 所以 z 2 2i 33 答案 2 2i 3 11 在复平面内 复数 z1 z2 z 的对应点分别为 Z1 Z2 Z 已知 z1 1 ai z2 b 2i z 3 4i a b R 则 a b OZ OZ1 OZ2 解析 由条件知 z z1 z2 所以 1 ai b 2i 3 4i 即 1 b a 2 i 3 4i 由 复数相等的条件知
