《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.2函数的极值与导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.2函数的极值与导数（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 2 函数的极值与导数函数的极值与导数 填一填 1 极小值点与极小值 函数 y f x 在点 x a 的函数值 f a 比它在点 x a 附近其他点的函数值都小 且 f a 0 在点 x a 附近的左侧 f x 0 则 a 叫做极小值点 f a 叫做函数 y f x 的极小值 2 极大值点与极大值 函数 y f x 在点 x b 的函数值 f b 比它在点 x b 附近其他点的函数值都大 且 f b 0 在点 x b 附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 右侧 f x 0 那么 f x0 是极大值 2 如果在 x0附近的左侧 f x 0 那么 f x0 是极小值 判一判 1 函数在某
2、区间上或定义域内极大值是唯一的 2 函数的极大值不一定比极小值大 3 对可导函数 f x f x0 0 是 x0点为极值点的充要条件 4 函数 y f x 一定有极大值和极小值 5 函数的极小值就是函数在定义域上的最小的函数值 6 导数为零的点都是极值点 7 极值点的导数一定为 0 8 函数 y sin与函数 y cos有相同的极值点 x 3 x 6 想一想 1 如何理解极小值概念中 函数在点 x a 的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系 函数在点 x a 的函数值比它在点 x a 附近的其他点的函数值都小 2 在极小值概念中 f a 等于多少 在点 x a 附近 函数的导数的符号有什么规
3、律 f a 0 在点 x a 附近的左侧 f x 0 3 在极大值概念中 函数在点 x b 处的情况呢 函数在点 x b 处的函数值 f b 比它在点 x b 附近其他点的函数值都大 f b 0 且 在点 x b 附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 感悟体会 练一练 1 函数 f x ln x x 在区间 0 e 上的极大值为 A e B 1 C 1 e D 0 解析 函数 f x 的定义域为 0 f x 1 令 f x 0 得 x 1 当 x 0 1 时 1 x f x 0 当 x 1 e 时 f x 0 得 x2 由 f x 0 得 0 x0 当 x 1 2 时 f x 0 所以 x
4、 1 时 函数 f x 取得极大值 x 2 时 函数取得 极小值 故只有 的说法不正确 答案 知识点一函数极值的概念 1 下列说法正确的是 A 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B 函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C 函数 f x x 只有一个极小值 D 函数 y f x 在区间 a b 上一定存在极值 解析 函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 A B 均不正确 若函数 y f x 在 区间 a b 上是单调函数 则不存在极值 D 不正确 故选 C 答案 C 2 函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 y x 2 f x 的图象如图所示 则下 列结论成立的是 A
5、 函数 f x 有极小值 f 2 和极小值 f 2 B 函数 f x 有极小值 f 2 和极大值 f 1 C 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 D 函数 f x 有极大值 f 1 和极小值 f 2 解析 由函数 y x 2 f x 的图象知 当 x 2 时 x 2 0 且 x 2 f x 0 函数 y f x 在 2 上单调递增 当 2 x 1 时 x 20 f x 0 函数 y f x 在 2 1 上单调递减 当 1 x 2 时 x 2 0 且 x 2 f x 0 函数 y f x 在 1 2 上单调递增 当 x 2 时 x 2 0 且 x 2 f x 0 f x 0 函数
6、y f x 在 2 上单调递增 x 2 时 函数 f x 取得极大值 x 1 时 函数 f x 取得极小值 故选 C 答案 C 知识点二求函数的极值或极值点 3 求下列函数的极值 1 f x x3 12x 2 f x 2 2x x2 1 解析 1 函数 f x 的定义域为 R f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 2 或 x 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 2 2 2 2 2 2 f x 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 因此 当 x 2 时 函数 f x 取得极大值 且 f 2 23 12 2 16 当 x 2 时 函数 f x
7、 取得极小值 且 f 2 23 12 2 16 2 函数 f x 的定义域为 R f x 2 x2 1 2x 2x x2 1 2 2 1 x2 x2 1 2 由 f x 0 得 x 1 或 x 1 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 1 1 1 1 f x 0 0 f x A 极小值 A 极大值 A 因此 当 x 1 时 f x 取得极小值 并且 f 1 3 当 x 1 时 f x 取得极大值 并且 f 1 1 知识点三与参数相关的极值问题 4 函数 f x x3 2b 1 x2 b b 1 x 在 0 2 内有极小值 则 1 3 1 2 A 0 b 1 B 0 b
8、2 C 1 b 1 D 1 b 2 解析 f x x2 2b 1 x b b 1 x b x b 1 令 f x 0 则 x b 或 x b 1 x b 1 是函数的极小值点 0 b 1 2 解得 1 b0 当 x 2 ln 2 时 f x 0 故 f x 在 2 ln 2 上单调递增 在 2 ln 2 上单调递减 当 x 2 时 函数 f x 取得极大值 极大值为 f 2 4 1 e 2 7 若函数 f x ax3 bx 2 当 x 1 时 函数 f x 取极值 0 1 求函数 f x 的解析式 2 若关于 x 的方程 f x k 有三个零点 求实数 k 的取值范围 解析 1 由题意可知 f
9、 x 3ax2 b 所以Error Error Error Error 故所求的函数解析式为 f x x3 3x 2 2 由 1 可知 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令 f x 0 得 x 1 或 x 1 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 x 1 1 1 1 1 1 f x 0 0 f x A 极大值 4 A 极小值 0 A 因此 当 x 1 时 f x 有极大值 4 当 x 1 时 f x 有极小值 0 故实数 k 的取值范围 为 0 4 基础达标 一 选择题 1 下面说法正确的是 A 可导函数必有极值 B 函数在极值点一定有定义 C 函数的极小值不会超过极大值
10、 D 以上都不正确 解析 一次函数可导 但没有极值 A 不正确 B 显然正确 函数的极大值和极小值没 有准确的大小关系 C 不正确 D 不正确 故选 B 答案 B 2 当函数 y x ex取极小值时 x A 2 B 2 C 1 D 1 解析 y ex x ex ex x 1 当 x 1 时 y 0 函数 y xex单调递增 x 1 时 函数 y xex取极小值 故选 D 答案 D 3 设 a R 若函数 y ex ax x R 有大于零的极值点 则 A a 1 C a 1 e 1 e 解析 y ex a 令 y 0 得 ex a x ln a x 0 ln a 0 解得 a 1 故选 A 答案
11、 A 4 函数 y x3 3x2 9x 2 x0 当 x 1 3 时 y 0 当 x 1 时 函数有极大值 5 而 3 2 2 函数无极小值 故选 C 答案 C 5 设 x 2 与 x 4 是函数 f x x3 ax2 bx 的两个极值点 则常数 a b 的值为 A 21 B 21 C 27 D 27 解析 依题意 x 2 与 x 4 是 f x 3x2 2ax b 0 的两根 Error Error 解得 Error Error a b 3 24 21 故选 A 答案 A 6 设函数 f x 在 R 上可导 其导函数为 f x 且函数 f x 在 x 2 处取得极小值 则 函数 y x f
12、x 的图象可能是 解析 函数 f x 在 x 2 处取得极小值 x 2 时 f x 2 时 f x 0 当 x0 当 2 x 0 时 xf x 0 时 xf x 0 函数 y x f x 的图象可能是 C 选项 答案 C 7 若 a 0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极值 则 ab 的最大值等于 A 2 B 3 C 6 D 9 解析 f x 4x3 ax2 2bx 2 f x 12x2 2ax 2b 又 f x 在 x 1 处有极值 f 1 12 2a 2b 0 即 a b 6 a 0 b 0 ab 2 9 当且仅当 a b 3 a b 2 时 等号成立
13、ab 的最大值等于 9 故选 D 答案 D 二 填空题 8 函数 f x x 2cos x 在上的极大值点为 0 2 解析 f x 1 2sin x x 令 f x 0 得 x 当 x 时 f x 0 2 6 0 6 0 当 x 时 f x 0 当 x 2 1 时 f x 0 x 1 时 f x 取得极 小值 且 f 1 e 答案 e 三 解答题 13 求出下列函数的极值 1 f x x3 3x2 2 2 f x 3ln x 3 x 解析 1 函数定义域为 R f x 3x2 6x 3x x 2 令 f x 0 则 x 0 或 x 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0
14、0 0 2 2 2 f x 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 由上表可知 当 x 0 时 函数 f x 取得极大值 f 0 2 当 x 2 时 函数 f x 取得极小 值 f 2 6 2 函数定义域为 0 f x 令 f x 0 得 x 1 3 x2 3 x 3 x 1 x2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 1 1 1 f x 0 f x A 极小值 A 由上表可知 当 x 1 时 函数 f x 取得极小值 f 1 3 函数 f x 没有极大值 14 已知 f x ax3 bx2 cx a 0 在 x 1 时取得极值 且 f 1 1 1 试求常数 a b c
15、 的值 2 试判断 x 1 时函数取得极小值还是极大值 并说明理由 解析 1 由已知 f x 3ax2 2bx c 且 f 1 f 1 0 得 3a 2b c 0 3a 2b c 0 又 f 1 1 所以 a b c 1 所以 a b 0 c 1 2 3 2 2 由 1 知 f x x3 x 1 2 3 2 所以 f x x2 x 1 x 1 3 2 3 2 3 2 当 x1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 曲线 y f x 在点 P 0 f 0 处的切线方程为 1 3 a 2 y 1 1 确定 b c 的值 2 若 a 4 过点 0 2 可作曲线 y f x 的几条不同的切线
16、 解析 1 由 f x x3 x2 bx c 得 f 0 c f x x2 ax b 又由 f 0 b 曲线 1 3 a 2 y f x 在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 1 得 f 0 1 f 0 0 故 b 0 c 1 2 a 4 时 f x x3 2x2 1 f x x2 4x 点 0 2 不在 f x 的图象上 设切点为 1 3 x0 y0 则切线斜率 k x 4x0 2 0 所以Error Error x 2x 1 0 2 3 3 02 0 上式有几个解 过 0 2 就能作出 f x 的几条切线 令 g x x3 2x2 1 则 g x 2x2 4x 2x x 2 2 3 g x g x 随 x 变化的情况如下 x 0 0 0 2 2 2 g x 0 0 g x A 极大值 A 极小值 A g x 极大值 g 0 1 0 g x 极小值 g 2 0 5 3 所以 g x 有三个零点 即过 0 2 可作出 f x 的 3 条不同的切线 16 已知函数 f x ln x x2 ax a R 1 2 3 2 若 f x 恰有两个极值点 x1 x2 x1 x2 1 求 a 的
