《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.3函数的最大（小）值与导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.3函数的最大（小）值与导数（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 3 函数的最大函数的最大 小小 值与导数值与导数 填一填 1 函数有最值的条件 如果在闭区间 a b 上函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和 最小值 2 函数 f x 在闭区间 a b 上的最值 如果在闭区间 a b 上函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么该函数在 a b 上 一定能够取得最大值或最小值 若函数在 a b 上是可导的 该函数的最值必在区间端点处 或极值点处取得 3 求可导函数在 a b 上最值的步骤 1 求函数 y f x 在开区间 a b 内的所有极值点 2 计算函数 y f x 在各极值点和函数值 f a f b 的函数值
2、其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 判一判 1 有些函数的最值不能通过求导数法求得 2 三次函数 f x 没有最大值 也没有最小值 3 连续不断的函数 y f x 在开区间 a b 上一定有最大值或最小值 4 有极值的函数一定有最值 有最值的函数不一定有极值 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 开区间上的单调连续函数无最值 7 函数 f x 在区间 1 1 上有最值 1 x 8 函数 f x Error Error 在 1 1 上有最大值 也有最小值 想一想 1 函数的最值常存在于函数的哪些位置 函数的最值常存在于这些点之中 极值点 即导数为零的点 区间端
3、点 导数不 存在的点 比较这些点的函数值的大小 最大的就是最大值 最小的就是最小值 2 求函数的最值时 为什么要求函数的区间必须是闭区间 若函数 f x 在开区间上连续 但仍不能保证有最大值或最小值 例如 f x x2 2x 3 x 0 1 f x 在区间 0 1 上连续 但没有最大值和最小值 3 最值与极值有何区别与联系 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念 函数的最大值和最小值是一个整体性概 念 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值 点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 4 如何利
4、用导数求函数 y f x 在 a b 上的最大值 最小值呢 第一步求函数的定义域 第二步求 f x 解方程 f x 0 第三步列出关于 x f x f x 的变化表 第四步求极值 端点值 确定最值 感悟体会 练一练 1 函数 f x x 2cos x 在区间上的最小值是 2 0 A B 2 2 C D 1 63 3 解析 令 f x 1 2sin x 0 因为 x 所以 f x 0 所以 f x 在单 2 0 2 0 调递增 所以 f x min 故选 A 2 答案 A 2 函数 f x 1 x ex有 A 最大值为 1 B 最小值为 1 C 最大值为 e D 最小值为 e 解析 f x ex
5、 1 x ex xex 当 x0 当 x 0 时 f x 3 2 3 2 C m D m0 f x x4 2x3 3m 在 3 上单调 1 2 递减 在 3 上单调递增 x 3 时 f x 取得最小值 最小值 f 3 3m 不等式 27 2 f x 9 0 恒成立 f x 9 恒成立 3m 9 解得 m 故选 A 27 2 3 2 答案 A 4 已知函数 y x2 2x 3 在 a 2 上的最大值为 则 a 等于 15 4 A B 3 2 1 2 C D 或 1 2 1 2 3 2 解析 y 2x 2 由 y 0 得 x 1 函数 y x2 2x 3 在 1 上 单调递增 在 1 上单调递减
6、当 a 1 时 函数 f x 在 x 1 处取得最大值 又 x 1 时 y 4 不符合题意 当 1 a0 当 x 时 f x 0 函数 f x 在上单调递增 在 1 2 0 1 2 1 2 1 0 1 2 上单调递减 f x max f 1 故选 A 1 2 1 1 2 3 2 1 2 答案 A 4 已知 a 为实数 f x x2 4 x a 若 f 1 0 求函数 f x 在 2 2 上的最大值和 最小值 解析 f x 2x x a x2 4 3x2 2ax 4 f 1 0 3 2a 4 0 解得 a 1 2 f x x2 4 f x 3x2 x 4 x 1 2 由 f x 0 得 x 1
7、或 x 4 3 又 f 2 0 f 2 0 f 1 f 9 2 4 3 50 27 f x max f x min 9 2 50 27 知识点三由函数的最值确定参数值 5 若存在 x 使得不等式 2xln x x2 mx 3 0 成立 则实数 m 的最小值为 1 e e 解析 x 1 e e 不等式 2xln x x2 mx 3 0 可化为 m 2ln x x 3 x 令 f x 2ln x x x 3 x 1 e e 由题意知 m f x min f x 1 2 x 3 x2 x2 2x 3 x2 x 1 x 3 x2 当 x 时 f x 0 1 e 1 函数 f x 在上单调递减 在 1
8、e 上单调递增 1 e 1 当 x 1 时 f x min f 1 4 m 4 实数 m 的最小值为 4 答案 4 6 已知函数 f x ln x 若函数 f x 在 1 e 上的最小值为 求实数 a 的值 a x 3 2 解析 f x ln x f x a x 1 x a x2 x a x2 若 a 1 则当 x 1 e 时 x a 0 即 f x 0 在 1 e 上恒成立 f x 在 1 e 上为增函数 所以 f x min f 1 a 所以 a 舍去 3 2 3 2 若 a e 则当 x 1 e 时 x a 0 即 f x 0 在 1 e 上恒成立 f x 在 1 e 上为减函数 所以
9、f x min f e 1 所以 a 舍去 a e 3 2 e 2 若 e a 1 则当 1 x a 时 f x 0 所以 f x 在 1 a 上为减函数 当 a x0 所以 f x 在 a e 上为增函数 所以 f x min f a ln a 1 所以 a 3 2e 综上所述 a e 综合知识与函数最值有关的综合问题 7 设 x0是函数 f x ex e x 的最小值点 则曲线上点 x0 f x0 处的切线方程是 1 2 解析 令 f x ex e x 0 得 x 0 可知 x0 0 为最小值点 切点为 0 1 切线斜 1 2 率为 k f 0 0 所以切线方程为 y 1 答案 y 1 8
10、 设函数 f x ex x2 ax 1 a R 函数 f x 在定义域 R 上的导函数为 f x 1 证明 当 a0 时 f x 2x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解析 1 f x ex 2x a 令 g x ex 2x a 则 g x ex 2 易知 g x 在 ln 2 单调递减 在 ln 2 单调递增 g x min f x min f ln 2 2 2ln 2 a 当 a0 f x 的图象 恒在 x 轴上方 当 a0 时 f x 2x 0 恒成立 即 ex x2 ax 2x 1 0 恒成立 a x 2 恒成立 ex x 1 x 令 h x x 2 x 0 ex x 1 x h x
11、当 x 0 时 ex x 1 0 恒成立 x 1 ex x 1 x2 h x 在 0 1 单调递减 在 1 单调递增 h x min h 1 e a h x min e 即 a e 基础达标 一 选择题 1 函数 f x x2 4x 7 在 x 3 5 上的最大值和最小值分别是 A f 2 f 3 B f 3 f 5 C f 2 f 5 D f 5 f 3 解析 f x 2x 4 当 x 3 5 时 f x 0 解得 x e 当 x e 时 y 0 当 ln x x ln x x x2 1 ln x x2 0 x0 y极大值 在定义域 0 内只有一个极值 所以 ymax ln e e 1 e
12、1 e 答案 A 3 函数 f x x3 3ax a 在 0 1 内有最小值 则 a 的取值范围是 A 0 a 1 B 0 a 1 C 1 a 1 D 0 a 1 2 解析 f x 3x2 3a 函数 f x 在 0 1 内有最小值 f x 0 在 0 1 内有解 a x2在 0 1 上有解 0 a 1 故选 B 答案 B 4 已知函数 f x g x 均为 a b 上的可导函数 在 a b 上连续且 f x g x 则 f x g x 的最大值为 A f a g a B f b g b C f a g b D f b g a 解析 令 h x f x g x x a b 则 h x f x
13、g x 在 a b 上 f x g x h x 0 h x 在 a b 上是减函数 h x max h a f a g a 故选 A 答案 A 5 若函数 f x x3 3x 在 a 6 a2 上有最小值 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 1 55 C 2 1 D 2 1 解析 因为 f x 3x2 3 令 f x 0 得 x 1 所以函数 f x 在 1 1 上 单调递增 在 1 1 上单调递减 如图 函数 f x x3 3x 在 a 6 a2 上有最小值 且最小值 为 f 1 所以Error Error 解得 2 a 1 故实数 a 的取值范围是 2 1 故选 C 答案 C 6 已知函
14、数 f x x2 x x2 ax b 若对 x R 均有 f x f 2 x 则 f x 的最小值 为 A B 9 4 25 16 C 2 D 0 解析 对 x R 均有 f x f 2 x f 0 f 2 f 1 f 3 即Error Error 解得Error Error f x x2 x x2 5x 6 f x 2x 1 x2 5x 6 x2 x 2x 5 2 x 1 2x2 4x 3 由 f x 0 得 x 1 或 x 1 或 x 1 由函数的对称性知 当 x 1 或 x 1 时 f x 可取 10 2 10 2 10 2 10 2 到最小值 f 故选 A 1 10 2 9 4 答案
15、A 7 已知函数 f x ax a 1 ln x 1 a R 在 0 1 上的最大值为 3 则 a 1 x A 2 B e C 3 D e2 解析 f x a x 0 1 1 x2 a 1 x ax2 a 1 x 1 x2 ax 1 x 1 x2 令 g x ax 1 x 1 x 0 1 当 a 1 时 ax 1 x 10 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 a 即 a 3 舍去 当 a 1 时 当 x 时 g x 0 f x 0 x 时 g x 0 f x 1 h x ln x 0 在 1 上的最大值为 则 a 的值为 x x2 a 3 3 解析 f x 当
16、x 时 f x 0 f x 单调递减 当 x0 f x 单调递增 当 x 时 由 f x 得 0 得 x1 由 f x 0 得 4 x 1 f x 在 2 1 上 单调递减 在 1 2 上单调递增 f x min f 1 3e 答案 3e 11 已知函数 f x x3 ax2 4 在 x 2 处取得极值 若 m n 1 1 则 f m f n 的 最小值是 解析 因为 f x 3x2 2ax 所以 f 2 12 4a 0 所以 a 3 所以 f x 3x2 6x 3x x 2 令 f x 0 得 x 0 或 x 2 舍去 所以当 x 1 0 时 f x 0 函数 f x 为增函数 所以 f 0 为最小值且 f 0 4 而函数 f x 3x2 6x 的图象的对称轴为直线 x 1 所以 f x 在 1 1 上为增函 数 所以 f x min f 1 9 所以 f m f n 的最小值为 13 答案 13 12 已知函数 f x ax3 3x 1 且对任意 x 0 1 f x 0 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 解析 当 x 0 1 时 不等式 ax3 3x 1 0 可化为 a 3x 1
