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1、正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、内容1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有 3、推论a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;4、注意（1）在ABC中，已知A,a,b，讨论三角形解的情况.先由可进一步求出B；则C =180-(A+B),从而.（2）在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2A是直角ABC是直角三角形，a2b2+c2A是钝角ABC是钝角三角形，a2
2、b2+cA是锐角/ABC是锐角三角形。（注意：A是锐角/ ABC是锐角三角形 ，必须说明每个角都是锐角）5、三角形面积公式三角形面积公式：； ，其中，为内切圆半径； ，为外接圆半径6、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况1.当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解2.当A为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其他情况时则只有一解或无解（
3、1）A为直角或钝角（2） A为锐角7、解三角形的一般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边,由A+B+C=及，可求角C，再求、；2、已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边、，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解
4、或无解。二、例题精讲&变式练习考点一：运用正余弦定理解三角形例题1：在ABC中，a2，b6，A30，解三角形变式1：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A60，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D.变式2：在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形规律小结：对于已知两边及其中一边的对角，或者已知两个角以及任意一边的情况下，套用正弦定理，可以直接求出对应的角或边考点二：运用余弦定理解三角形例题2：在ABC中，已知，B=45，求b及A变式1：在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，求边c.规律小结：在已知两边及夹角可利用余弦定理求出第三边；在已知三边
5、的情况下，可利用余弦定理求出任意边所对的角。考点三：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围例2（1）（10上海文）若的三个内角满足则A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角（2）在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得. 即.2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，) 答案：2(，)1在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角
6、形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.2在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是()A. B(10，) C(0,10) D.答案D解析，csin C0c.3在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.4、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()
7、A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形 答案：B例题3：在中，若，试判断形状变式1：在中，已知，则为 三角形变式2：在ABC中，sin Asin Bsin C234，试判断三角形的形状变式3：在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状变式4：在三角形ABC中，若acosB=bcosA，试判断这个三角形的形状变式5：在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+
8、B），判断三角形形状解：由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=k则a=ksinA，b=ksinB代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k约分（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）sin2Asin（A+B）-sin（A-B）=sin2Bsin（A-B）+sin（A+B）利用和角公式，整理有sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosBsin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB
9、=0sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0sinAsinB（sin2A-sin2B）=0sinA0，sinB0所以sin2A=sin2B2A=2B 或2A+2B=180度A=B或A+B=90度所以是等腰三角形或直角三角形 规律小结：判断三角形形状的题型中，常常只给出三边的关系，或者正余弦之间的关系式，那么，在做这类题型时，常常要将题目中的所有角度利用正余弦全部转化为边的关系，进而化简得到特殊关系；或者将所有的边利用正弦定理转化为角度的关系，再利用三角恒等公式或者辅助角公式进行变换，最后得到特殊角，进而求解考点四：面积问题例3（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满
10、足， （I）求的面积； （II）若，求的值解析：（） w.w 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以，所以1、在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； BDCA（II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 2、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c10，又知，求a、b及ABC的内切圆半径解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，
11、sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由，得a6，b8.故内切圆的半径为r2.4在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.解：cos B2cos2 1，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以Sacsin B2.例题4：在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.变式1：在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，则ABC的面积为 .变式2：在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b
12、、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.变式3： 考点五：利用正余弦定理求角例4（2011届稽阳联考）如右图，在中，为边上一点， （1）求的大小；解：（1） 由已知， 1.（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .【解析】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。2在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则AC120，1.tan A1，A45，C75.考点六：证明恒等式1：在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知。求证： 变式1：变式2：在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。求证：在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。求证：考点七：运用余弦定与向量的综合例题6：已知为的三内角，且其对边分别为若向量，向量，且.(1)求的值； (2)若，三角形面积，求的值：解：（1）向量，向量，且.， 3分得，又，所以. 5分（2），. 7分又由余弦
