《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 填一填 1 几个常用函数的导数 函数导数 f x c c 为常数 f x 0 f x x f x 1 f x x2 f x 2x f x 1 x f x 1 x2 f x x f x 1 2 x 2 基本初等函数的导数公式 函数导数 f x c c 为常数 f x 0 f x x Q f x x 1 f x sin x f x cos x f x cos x f x sin x f x ax f x axln a f x ex f x ex f x logax f x 1 xln a f x ln
2、 x f x 1 x 判一判 1 已知 y sin 则 y cos 6 sin 6 6 3 2 2 位移 y 与时间 x 的函数关系为 y x 则 y 1 的物理意义是 物体做匀速直线运 动 3 已知 f x 2x4 则 f 8 22 4 因为 ln x 所以 ln x 1 x 1 x 5 若 f x sin x 则 f x cos x 6 已知 f x ax 则 f x 1 xln a 7 若 f x xn n N 是奇函数 则 f x 为偶函数 8 若 f x xn n N 是偶函数 则 f x 为奇函数 想一想 1 函数 y c 常数 的导数的物理意义是什么 若 y c 表示路程关于时间
3、的函数 则 y 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0 即一直处于静止状态 2 一次函数 y x 导数的几何意义和物理意义分别是什么 导数值为 1 几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 1 物理意义为当 y x 表示路程 与时间的函数时 y 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 一般地 一次函数 y kx 导数值 y k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k k 越大 函数变化得越 快 3 你是否熟悉下列几个基本初等函数导数公式的特点 1 幂函数 f x x 中的 可以由 Q 推广到任意实数 2 正 余弦函数的导数可以记忆为 正余互换 符号 正同余反 3 指数函数的导数等于
4、指数函数本身乘以底数的自然对数 4 对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数 4 利用导数的定义可以求函数的导函数 但运算比较烦杂 有些函数式子在中学阶段 无法变形 怎样解决这个问题 可以使用给出的导数公式进行求导 简化运算过程 降低运算难度 感悟体会 练一练 1 下列求导运算正确的是 A cos x sin x B 3x x 3x 1 C ln x D cos 1 x sin 3 3 解析 cos x sin x 3x 3xln 3 ln x 0 C 正确 1 x sin 3 答案 C 2 若函数 f x x2019 则 f A 0 B 1 C 2018 D 2019 解析 f x
5、 x2019 f x 2019 x2018 f 2019 2019 1 故选 B 1 2019 答案 B 3 若 f x sin x f 则下列 的值中满足条件的是 1 2 A B 3 6 C D 2 3 5 6 解析 f x cos x f cos 又 cos 故选 A 1 2 3 1 2 答案 A 4 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的切线 则 k 解析 设直线 y kx 与曲线 y ln x 相切的切点为 M x0 y0 由 y ln x 得 y 1 x k 又点 M 在直线上也在曲线上 1 x0 y0 kx0 x0 1 y0 ln x0 1 解得 x0 e 1 x0 k 1
6、e 答案 1 e 知识点一求常用函数的导数 1 已知 f x 23 则 f x A 3 B 2 C 0 D 不存在 解析 f x 23为常数 f x 0 故选 C 答案 C 2 曲线 y 在点 4 2 的切线方程为 x A y x 1 B y x 1 1 4 C y x D y x 1 2 3 2 解析 y x 4 时 k y x 4 1 2 x 1 2 4 1 4 切线方程为 y 2 x 4 即 y x 1 故选 B 1 4 1 4 答案 B 知识点二求基本初等函数的导数 3 曲线 y xn在 x 2 处的导数是 12 则 n 的值为 解析 y xn y nxn 1 y x 2 n 2n 1
7、 12 解得 n 3 答案 3 4 求下列函数的导数 1 y lg 5 2 y x 1 2 3 y x2 x 4 y 2cos2 1 x 2 解析 1 lg 5 为常数 y 0 2 y x y xln 1 2 1 2 1 2 3 y x x y x x2 x 1 2 2 3 2 3 2 1 2 3 2 x 4 y 2cos2 1 cos x y sin x x 2 知识点三求曲线的切线方程 5 曲线 y sin在点 A处的切线方程是 2 x 3 1 2 解析 y sin cos x 则 y sin x 点 A是曲线 y sin上的点 2 x 3 1 2 2 x y x sin 所求的切线方程为
8、 y 即 3 3 3 2 1 2 3 2 x 3 x 2y 1 0 3 3 3 答案 x 2y 1 0 3 3 3 6 已知 P 1 1 Q 2 4 是曲线 y x2上的两点 1 求过点 P Q 的曲线 y x2的切线方程 2 求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程 解析 1 因为 y 2x P 1 1 Q 2 4 都是曲线 y x2上的点 过 P 点的切线的斜率 k1 y x 1 2 过 Q 点的切线的斜率 k2 y x 2 4 过 P 点的切线方程 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 过 Q 点的切线方程 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 因为 y 2x 直线 P
9、Q 的斜率 k 1 切线的斜率 k y x x0 2x0 1 4 1 2 1 所以 x0 所以切点 M 与 PQ 平行的切线方程 y x 即 4x 4y 1 0 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 综合知识导数公式的综合应用 7 设曲线 y xn 1 n N 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn 则 x1 x2 xn的 值为 A B 1 n 1 n 1 C D 1 n n 1 解析 由 y xn 1 n N 得 y n 1 xn 当 x 1 时 曲线在点 1 1 处的切线的斜率 k n 1 切线方程为 y 1 k x 1 n 1 x 1 令 y 0 得 xn x1 x2
10、xn 故选 B n n 1 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1 1 n 1 答案 B 8 设曲线 y ex x 0 在点 M t et 处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S t 求 S t 的解析式 解析 由 y ex 得 y ex 切线 l 在点 M t et 处的斜率 k et 切线 l 的方程为 y et et x t 即 etx y et et t 0 令 x 0 得 y et et t 令 y 0 得 x t 1 S t t 1 et ett 1 2 et t 1 2 t 0 1 2 基础达标 一 选择题 1 如果曲线 y f x 在点 x0 f x0
11、 处的切线方程为 x 2y 3 0 那么 A f x0 0 B f x0 0 C f x0 0 D f x0 不存在 解析 曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 x 2y 3 0 k f x 0 x 1 1 x 1 2 答案 1 11 函数 f x ln x 在点 e 1 处的切线方程为 解析 f x ln x f x f x ln x 在点 e 1 处的切线的斜率 k f e 1 x 1 e 切线方程为 y 1 x e 即 x ey 0 1 e 答案 x ey 0 12 已知函数 f x 在 x0 y0 x0 0 处的切线方程为 y x b 则 b 1 x 1 4 解析 f
12、 x f x f x 在 x0 y0 处的切线方程为 y x b 1 x 1 x2 1 4 f x0 又 x0 0 x0 2 y0 切点在切线上 1 x2 0 1 4 1 2 2 1 2 2 b 解得 b 1 1 2 1 4 答案 1 三 解答题 13 求曲线 y 在点 1 1 处的切线方程 3 x2 解析 y x 3 x2 2 3 y x 2 3 1 3 切线的斜率 k y x 1 2 3 曲线 y 在点 1 1 处的切线方程为 3 x2 y 1 x 1 2 3 即 2x 3y 1 0 14 求过曲线 f x cos x 上一点 P且与曲线在该点的切线垂直的直线方程 3 1 2 解析 f x
13、 cos x f x sin x 曲线 f x cos x 在点 P处的切线的斜率 k f sin 3 1 2 3 3 3 2 所求直线的斜率为 2 3 3 所求直线的方程为 y 1 2 2 3 3 x 3 即 y x 2 3 3 2 3 9 1 2 能力提升 15 求证 曲线 y a 为非零常数 上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 a2 x 定值 证明 设曲线上任意一切点为 P x0 a2 x0 因为 y 所以 k a2 x2 a2 x2 0 过 P 点的切线方程为 y x x0 a2 x0 a2 x2 0 切线与两坐标轴的交点为 2x0 0 0 2a2 x0 显然三角形的面积为 2x0 2a2 为常数 故命题得证 1 2 2a2 x0 16 当常数 k 为何值时 直线 y x 与曲线 y x2 k 相切 请求出切点 解析 设切点为 M x0 x k 2 0 y 2x Error Error 解得Error Error 当 k 时 直线 y x 与曲线 y x2 k 相切 1 4 此时 切点坐标为 1 2 1 2
