2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.1.2演绎推理

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1、2 1 2 演绎推理演绎推理 填一填 1 演绎推理 1 含义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 2 特点 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 名称一般模式常用格式 大前提已知的一般原理M 是 P 小前提所研究的特殊情况S 是 M 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判 断 S 是 P 3 演绎推理与合情推理的主要区别与联系 1 合情推理与演绎推理的主要区别 归纳和类比都是常用的合情推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一 般到特殊的推理 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待于进

2、一步的证 明 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 2 就数学而言 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 但数学结论 证明思路等的发现 主要靠合情推理 因此 我们不仅要学会证明 更要学会猜想 判一判 1 演绎推理的结论一定正确 2 演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理 3 三段论中 大前提正确 小前提正确 推理过程正确 则结论正确 4 三段论 就是演绎推理 5 演绎推理中 大前提正确 结论一定正确 6 所有 2 的倍数都是 4 的倍数 某数 m 是 2 的倍数 则 m 一定是 4 的倍数 结论错误 的原因是小前提错误 7 演绎推理可以作为证明的步骤 8 论

3、语 学路 篇中说 名不正 则言不顺 言不顺 则事不成 事不成 则礼乐不 兴 礼乐不兴 则刑罚不中 刑罚不中 则民无所措手足 所以 名不正 则民无所措手 足 上述推理用的是演绎推理 想一想 1 什么是演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 其特点是 由一般到特殊的推理 2 演绎推理的一般模式是什么 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出判断 3 其他演绎推理形式还有哪些 1 假言推理 若 p q p 真 则 q 真 2 关系推理 若 aRb bRc 则 aRc R 表示一种传递

4、性关系 如 a b b c a c a b b c a c 等 4 常常用到 三段论 的代数问题有哪些 1 函数类问题 比如函数的单调性 奇偶性 周期性和对称性等 2 导数的应用 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和最值 证明与函数有关 的不等式等 3 三角函数问题 利用三角函数公式进行三角恒等变换 证明三角恒等式 4 数列问题 数列的通项公式 前 n 项和公式的应用 证明等差数列和等比数列 5 不等式类问题 如不等式恒成立问题 线性规划以及基本不等式的应用问题 感悟体会 练一练 1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 A 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无理

5、数 结论 是无限不循环小 数 B 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无限不循环小数 结论 是无理 数 C 大前提 是无限不循环小数 小前提 无限不循环小数是无理数 结论 是无理 数 D 大前提 是无限不循环小数 小前提 是无理数 结论 无限不循环小数是无理 数 解析 A 中 小前提不正确 C D 都不是由一般性的结论到特殊性结论的推理 只有 B 的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确 故选 B 答案 B 2 演绎推理 因为对数函数 y logax a 0 且 a 1 在定义域内是增函数 而函数 y log x 是对数函数 所以 y log x 在定义域内是增函数 所得结论错误的原因

6、是 1 2 1 2 A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 大前提和小前提都错误 解析 对数函数 y logax 当 0 a1 时 函数为增函数 所以 大前提错误 故选 A 答案 A 3 推论 因为四边形 ABCD 是矩形 所以四边形 ABCD 的对角线相等 所依据的大前 提是 A 正方形都是对角线相等的四边形 B 矩形都是对角线相等的四边形 C 等腰梯形都是对角线相等的四边形 D 矩形都是对边平行且相等的四边形 解析 用三段论推导一个结论成立 大前提应该是结论成立的依据 由四边形 ABCD 为 矩形的条件 得到四边形 ABCD 的对角线相等的结论 这个推理的大前提一定是矩形的对

7、角 线相等 故选 B 答案 B 4 用演绎推理证明函数 y x3是增函数时的小前提是 A 增函数的定义 B 函数 y x3满足增函数的定义 C 若 x1 x2 则 f x1 x2 则 f x1 f x2 解析 三段论中 根据其特征 大前提是增函数的定义 小前提是函数 y x3满足增函 数的定义 结论是 y x3是增函数 故选 B 答案 B 知识点一用三段论表示演绎推理 1 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行 同旁内角互补 因为 A 和 B 是两条平行直线被第三条直线所截所 得的同旁内角 所以 A B 180 B 我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似 而中亚细

8、亚有 丰富的石油 由此 他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C 由 6 3 3 8 3 5 10 3 7 12 5 7 14 7 7 得出结论 一个偶数 大于 4 可以写成两个素数的和 D 在数列 an 中 a1 1 an n 2 由此归纳出 an 的通项公式 1 2 an 1 1 an 1 解析 A 中 两条直线平行 同旁内角互补 是大前提 是真命题 该推理为三段论推 理 选项 B 为类比推理 选项 C D 为归纳推理 故选 A 答案 A 2 将下列演绎推理写成三段论的形式 1 一切不能被 2 整除的数都是奇数 75 不能被 2 整除 所以 75 是奇数 2 三角形的内角和为 180 钝角三角

9、形 ABC 的内角和为 180 解析 1 大前提 一切不能被 2 整除的数都是奇数 小前提 75 不能被 2 整除 结论 75 是奇数 2 大前提 三角形的内角和为 180 小前提 钝角三角形 ABC 是三角形 结论 钝角三角形 ABC 的内角和为 180 知识点二演绎推理在几何问题中的应用 3 由 正方形的四个内角相等 矩形的四个内角相等 正方形是矩形 根据 三段 论 推理得出一个结论 则作为大前提 小前提 结论的分别为 A B C D 解析 用 三段论 的形式写出的演绎推理是 大前提 矩形的四个内角相等 小前提 正方形是矩形 结论 正方形的四个内角相等 故选 D 答案 D 4 如图 已知在

10、梯形 ABCD 中 AB CD AD AC 和 BD 是梯形的对角线 求证 AC 平分 BCD DB 平分 CBA 证明 等腰三角形的两底角相等 大前提 DAC 是等腰三角形 1 和 2 是两个底角 小前提 1 2 结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等 大前提 1 和 3 是平行线 AD BC 被 AC 截得的内错角 小前提 1 3 结论 等于同一个角的两个角相等 大前提 2 1 3 1 小前提 2 3 即 AC 平分 BCD 结论 同理可证 DB 平分 CBA 知识点三演绎推理在代数问题中的应用 5 用演绎推理证明 y x2 x 0 是减函数时 大前提是 解析 大前提 减函数的定义

11、在 x I 内 若有 x1 x2 则有 f x1 x2 有 f x1 f x2 结论 y x2 x 0 是减函数 答案 减函数的定义 6 1 用三段论证明 通项公式为 an pn q p q 为常数 的数列 an 是等差数列 2 用三段论证明 a b c a2 b2b2 c2c2 a22 解析 1 因为数列 an 是等差数列 则 an 1 an d 其中 d 为常数 大前提 由 an pn q 得 an 1 an p p 为常数 小前提 所以通项公式 an pn q p q 为常数 的数列是等差数列 结论 2 首先 我们知道 a2 b2 2ab 大前提 则有 2 a2 b2 a2 b2 2ab

12、 小前提 所以 a b a b 结论 a2 b2 2 2 2 2 同理 可得 b c a c b2 c2 2 2a2 c2 2 2 所以 a b c a2 b2b2 c2c2 a22 综合知识演绎推理的综合应用 7 下列推理是否正确 错误的请指出其错误之处 1 求证 四边形的内角和等于 360 证明 设四边形 ABCD 是矩形 则它的四个角都是直角 有 A B C D 90 90 90 90 360 所以四边形的内角和为 360 2 已知和是无理数 试证 也是无理数 2323 证明 依题设 和是无理数 而无理数与无理数的和是无理数 故 也是无理 2323 数 解析 1 错误 犯了偷换论题的错误

13、 在证明过程中 把论题中的四边形改为了矩形 2 错误 结论虽然正确 但证明是错误的 证明中的大前提 无理数与无理数的和是无 理数 是错的 例如 是无理数 但 0 是有理数 2222 8 已知平面 平面 l l A 如图 求证 l 证明 如图 在平面 内任取一条直线 b 设平面 是经过点 A 与直线 b 的平面 且 a 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 大前提 且 a b 小前提 所以 a b 结论 如果一条直线与一个平面垂直 那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直 大 前提 a 且 l 小前提 所以 l a 结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直 那么它也与另

14、一条直线垂直 大前提 a b 且 l a 小前提 所以 l b 结论 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 大 前提 l b 且直线 b 是平面 内的任意一条直线 小前提 所以 l 结论 基础达标 一 选择题 1 有下列说法 演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理 的一般模式是 三段论 的形式 演绎推理得到结论的正确与否与大前提 小前提和推理 形式有关 运用三段论推理时 大前提和小前提都不可以省略 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 演绎推理得到的结论不一定正确 不正确 均正确 故选 C 答案

15、C 2 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此 f x sin x2 1 是奇函数 以 上推理 A 结论正确 B 大前提不正确 C 小前提不正确 D 推理形式不正确 解析 函数 f x sin x2 1 不是正弦函数 所以小前提不正确 故选 C 答案 C 3 命题 有理数是无限循环小数 整数是有理数 所以整数是无限循环小数 是假命 题 推理错误的原因是 A 使用了归纳推理 B 使用了类比推理 C 使用了 三段论 但大前提错误 D 使用了 三段论 但小前提错误 解析 此命题使用了 三段论 的形式 但大前提 有理数是无限循环小数 错误 故 选 C 答案 C 4 由 安梦怡是高

16、三 21 班学生 安梦怡是独生子女 高三 21 班的学生都是独生 子女 写一个 三段论 形式的推理 则大前提 小前提和结论分别为 A B C D 解析 因为高三 21 班的学生都是独生子女 又因为安梦怡是高三 21 班学生 所以安梦 怡是独生子女 故选 B 答案 B 5 有一段 三段论 推理是这样的 对于可导函数 f x 如果 f x0 0 那么 x x0是函数 f x 的极值点 因为函数 f x x3 在 x 0 处的导数值 f 0 0 所以 x 0 是函数 f x x3的极值点 以上推理中 A 小前提错误 B 大前提错误 C 推理形式错误 D 结论正确 解析 对于可导函数 f x 如果 f 0 0 那么 x x0是函数 f x 的极值点 错误 例 如 函数 f x x3 在 x 0 时 f 0 0 但在 x0 时 f x 3x2 0 均成立 x 0 不是函数 f x x3的极值点 所以大前提错误 故选 B 答案 B 6 下面几种推理中是演绎推理的是 A 由金 银 铜 铁可导电 猜想 金属都可以导电 B 猜想数列 5 7 9 11 的通项公式为 an 2n 3 C 由正三角形的性质得