《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.1.1数系的扩充和复数的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.1.1数系的扩充和复数的概念（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 填一填 1 复数的有关概念 1 复数 定义 形如 a bi a b R 的数叫做复数 其中 i 叫做虚数单位 满足 i2 1 表示方法 复数通常用字母 z 表示 即 z a bi a b R 这一表示形式叫做复数的 代数形式 a 叫做复数 z 的实部 b 叫做复数 z 的虚部 2 复数集 定义 全体复数所成的集合叫做复数集 表示 通常用大写字母 C 表示 2 复数的分类 1 复数 z a bi a b R Error Error 2 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系 3 复数相等的充要条件 设 a b c d 都是实数 则 a
2、 bi c di a c 且 b d a bi 0 a b 0 判一判 1 若 a b 为实数 则 z a bi 为虚数 2 复数 z1 3i z2 2i 则 z1 z2 3 复数 z bi 是纯虚数 4 实数集与复数集的交集是实数集 5 若 a 为实数 则 z a 一定不是虚数 6 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 那么这两个复数相等 7 复数 z a bi 的实部为 a 虚部为 bi 8 任何数的平方都不小于 0 想一想 1 虚数单位 i 的基本特征是什么 1 i2 1 2 i 可以与实数进行四则运算 且原有的加 乘运算律仍然成立 虚数单位 i 的引入解决了负数不能开平方的矛盾
3、并将实数集扩充到了复数集 2 复数的一般形式是什么 复数相等的充要条件是什么 a bi a b R 实部和虚部分别相等 3 实数 虚数 纯虚数的含义分别如何 设 z a bi a b R 当 b 0 时 z 为实数 当 b 0 时 z 为虚数 当 a 0 且 b 0 时 z 为纯虚数 感悟体会 练一练 1 1 i 的实部与虚部分别是 3 A 1 B 1 0 33 C 0 1 D 0 1 i 33 解析 由复数的定义知 1 i 的实部为 0 虚部为 1 故选 C 33 答案 C 2 设复数 z a bi a b R 则 z 为纯虚数的必要不充分条件是 A a 0 B a 0 且 b 0 C a
4、0 且 b 0 D a 0 且 b 0 解析 由纯虚数的概念知 a 0 且 b 0 是 z a bi a b R 为纯虚数的充要条件 那 么必要不充分条件可以为 a 0 故选 A 答案 A 3 已知集合 M 1 2 m2 3m 1 m2 5m 6 i N 1 3 且 M N 3 则 实数 m 的值为 A 4 B 1 C 1 或 4 D 1 或 6 解析 M N 3 3 M m2 3m 1 m2 5m 6 i 3 Error Error 解得 m 1 故选 B 答案 B 4 若复数 z cos m sin cos i 为虚数 则实数 m 的取值范围是 解析 依题意有 m sin cos 因为 s
5、in cos sin 2 2 2 sin 2 2 cos 2 所以 m 4 2222 答案 22 知识点一复数的概念 1 下列命题中 正确的是 A 1 ai a R 是一个复数 B 形如 a bi b R 的数一定是虚数 C 两个复数一定不能比较大小 D 若 a b 则 a i b i 解析 由复数的定义知 A 正确 当 a R b 0 时 a bi b R 表示实数 B 选项错误 如果两个复数同时是实数时 可比较大小 C 选项错误 a i 与 b i 不能比较大小 D 选项 错误 故选 A 答案 A 2 以 2i 的虚部为实部 以i 2i2的实部为虚部的新复数是 55 A 2 2i B i
6、55 C 2 i D i 55 解析 依题意 新复数的实部为 2 虚部为 2 所以新复数是 2 2i 故选 A 答案 A 知识点二复数的分类 3 若 x2 1 x2 3x 2 i 是纯虚数 则实数 x 的值是 A 1 B 1 C 1 D 以上都不对 解析 x2 1 x2 3x 2 i 是纯虚数 Error Error 解得 x 1 故选 A 答案 A 4 已知 i 为虚数单位 当实数 m 为何值时 复数 z m2 2m i 为 m2 m 6 m 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解析 1 当Error Error 即 m 2 时 复数 z 是实数 2 当 m2 2m 0 且 m 0 即 m 0
7、且 m 2 时 复数 z 是虚数 3 当Error Error 即 m 3 时 复数 z 是纯虚数 知识点三复数相等 5 若 4 3a a2i a2 4ai 则实数 a 解析 由 4 3a a2i a2 4ai a R 得Error Error 解得 a 4 答案 4 6 已知 2x y 1 y 2 i 0 求实数 x y 的值 解析 因为 2x y 1 y 2 i 0 所以Error Error 解得Error Error 所以实数 x y 的值分别为 2 1 2 综合知识复数的综合应用 7 若复数 m 3 m2 9 i 0 则实数 m 的值为 解析 依题意知Error Error 解得Er
8、ror Error 即 m 3 答案 3 8 已知关于 x 的方程 x2 tan i x 2 i 0 i 为虚数单位 有实数根 求锐角 和方 程的实数根 解析 设 x0是方程 x2 tan i x 2 i 0 的实数根 则 x tan i x0 2 i 0 即 x tan x0 2 x0 1 i 0 2 02 0 所以Error Error 解得Error Error 又 为锐角 所以 4 基础达标 一 选择题 1 下列命题中 正确命题的个数是 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 1 没有平方根 若 a R 则 a 1 i 是纯虚数 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 一个复数
9、为纯虚数的充要条件是这个复数的实部为零且虚部不为零 错误 1 的平方根为 i 错误 当 a 1 时 a 1 i 0 是实数 错误 故选 A 答案 A 2 在 2 i 0 8 5i 1 i 0 618 这几个数中 纯虚数的个数为 7 2 73 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 纯虚数有 i 1 i 两个 故选 C 2 73 答案 C 3 已知复数 z1 1 3i 的实部与复数 z2 1 ai 的虚部相等 则实数 a 等于 A 3 B 3 C 1 D 1 解析 复数 z1 1 3i 的实部为 1 复数 z2 1 ai 的虚部为 a 1 a 解得 a 1 故选 C 答案 C 4 已知复数 z m
10、2 m 2 m2 4m 5 i 是纯虚数 其中 m 为实数 则 m A 2 B 1 C 2 或 1 D 5 解析 由题意得Error Error 解得 m 2 故选 A 答案 A 5 集合 x C x x2 2x 3 x2 1 0 可化简为 A 0 1 3 B 0 1 3 i C 1 3 i D 1 3 i 解析 在复数集中 由 x x2 2x 3 x2 1 0 得 x 0 或 x2 2x 3 0 或 x2 1 0 解 x2 2x 3 0 得 x 1 或 x 3 解 x2 1 0 得 x i 集合 x C x x2 2x 3 x2 1 0 0 1 3 i 故选 B 答案 B 6 设 a b R
11、 i 是虚数单位 则 ab 0 是 复数 a bi 为纯虚数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若复数 a bi 为纯虚数 则 a 0 且 b 0 故 ab 0 而由 ab 0 不一定能得到复 数 a bi 是纯虚数 故 ab 0 是 复数 a bi 为纯虚数 的必要不充分条件 故选 B 答案 B 7 若复数 x2 y2 4 x y i 是纯虚数 则点 x y 的轨迹是 A 以原点为圆心 以 2 为半径的圆 B 两个点 其坐标为 2 2 2 2 C 以原点为圆心 以 2 为半径的圆和过原点的一条直线 D 以原点为圆心 以 2 为半径的圆
12、并且除去两点 2222 解析 复数 x2 y2 4 x y i 是纯虚数 Error Error 即 x2 y2 4 且 x y 由Error Error 解得Error Error 或Error Error 点 x y 的轨迹是以原点 为圆心 以 2 为半径的圆 并且除去两点 故选 D 2222 答案 D 二 填空题 8 复数 z 3i2 i 的实部 虚部分别是 2 解析 z 3i2 i 3 i 复数 z 的实部为 3 虚部为 222 答案 3 2 9 若 a 2i bi 1 a b R 则 a2 b2 解析 a 2i bi 1 a b R Error Error a2 b2 12 2 2
13、5 答案 5 10 设 i 为虚数单位 若复数 z m2 2m 3 m 1 i 是纯虚数 则实数 m 解析 依题意有Error Error 解得 m 3 答案 3 11 满足条件 2 a b a i 5 a 2b 6 i 的实数 a b 解析 由 2 a b a i 5 a 2b 6 i a b R 得Error Error 解得 a b 2 答案 2 2 12 复数 z cos sini 且 若 z 是实数 则 的值为 2 2 2 2 若 z 为纯虚数 则 的值为 解析 z cos sini sin icos 当 z 是实数时 cos 0 因为 2 2 所以 当 z 为纯虚数时Error E
14、rror 又 所以 0 2 2 2 2 2 答案 0 2 三 解答题 13 已知 x2 y2 2xyi 2i 求实数 x y 的值 解析 x2 y2 2xyi 2i x R y R Error Error 解得Error Error 或Error Error 14 已知复数 z a2 5a 6 i a R 试求实数 a 分别取什么值时 z 分别 a2 7a 6 a2 1 为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解析 1 当 z 为实数时 Error Error 解得Error Error 当 a 6 时 z 为实数 2 当 z 为虚数时 Error Error 解得Error Error 当 a
15、1 1 1 1 6 6 时 z 为虚数 3 当 z 为纯虚数时 Error Error 解得Error Error 不存在实数 a 使得 z 为纯虚数 能力提升 15 设复数 z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i i 为虚数单位 1 当 m 为何值时 z 是实数 2 当 m 为何值时 z 是纯虚数 解析 1 要使复数 z 为实数 需满足Error Error 解得 m 2 或 1 故当 m 2 或 1 时 z 是实数 2 要使复数 z 为纯虚数 需满足Error Error 解得 m 3 故当 m 3 时 z 是纯虚数 16 如果 log m n m2 3m i 1 求自然数 m n 的值 1 2 解析 因为 log m n m2 3m i 1 1 2 所以 log m n m2 3m i 是实数 1 2 从而有Error Error 由 m2 3m 0 得 m 0 或 m 3 当 m 0 时代入 log m n 1 得 0 n0 所以 n 1 当 m 3 时 代入 log m n 1 1 2 得 n 1 与 n 是自然数矛盾 综上可得 m 0 n 1
