《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.1.2函数的单调性与导数（2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.1.2函数的单调性与导数（2）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 2 填一填 1 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件 构造辅助函数 把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究 函数的单调性问题 再由单调性比较大小或解不等式 2 导数法判断和证明函数 f x 在区间 a b 内的单调性的步骤 1 求 f x 2 确定 f x 在区间 a b 内的符号 如果含有参数 则依据参数的取值讨论符号 3 得出结论 f x 0 时函数 f x 为增函数 f x 0 2 若 f x 0 在区间 a b 上恒成立 则 f x 在区间 a b 上单调递增 3 若函数 f x ax3 1 在 R 上是减函数
2、则 a 0 4 已知函数 f x ln x 则 f 2 7 f e f x 5 当 a 1 时 函数 y sin x ax 在 R 上单调递增 6 当 1 k 2 时 函数 f x 2x2 ln x 在区间 k 1 k 1 上不单调 7 2ax ex x 1 恒成立 可转化为 a 恒成立 x 1 ex 2x 8 在区间 0 上 sin x 与 x 的大小关系是 sin x0 是 f x 在 R 上单调递增 的 1 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 f x x3 ax 4 f x x2 a 若 a 0 则 f x 0 恒成立 f x 在 R
3、 1 2 3 2 上单调递增 充分性成立 反之 a 0 时 f x 在 R 上单调递增 必要性不成立 故选 A 答案 A 2 函数 f x a 0 的单调递增区间是 ax x2 1 A 1 B 1 1 C 1 D 1 或 1 解析 f x a 0 ax x2 1 f x a x2 1 ax 2x x2 1 2 a ax2 x2 1 2 a x2 1 x2 1 2 由 f x 0 得 x2 1 0 1 xf e f 3 B f 3 f e f 2 C f 3 f 2 f e D f e f 3 f 2 解析 f x 的定义域为 0 由 f x 得 f x 由 f x 0 得 ln x x 1 l
4、n x x2 0 x e 由 f x e 函数 f x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 f x max f e 又 f 2 f 3 0 ln 2 2 ln 3 3 3ln 2 2ln 3 6 ln 8 ln 9 6 f 2 f 3 f 2 故选 D 答案 D 4 若函数 f x 2ax3 6x2 7 在 0 2 内是减函数 是实数 a 的取值范围是 解析 f x 2ax3 6x2 7 在 0 2 内是减函数 f x 6ax2 12x 0 在 0 2 内恒成立 即 a 在 0 2 内恒成立 2 x 又 min 1 a 1 2 x 即实数 a 的取值范围是 1 答案 1 知识点一利用单
5、调性比较大小 1 定义在 R 上的函数 f x g x 的导函数分别为 f x g x 且 f x g x 则下列结 论一定成立的是 A f 1 g 0 g 1 f 0 C f 1 g 0 g 1 f 0 D f 1 g 0 g 1 f 0 解析 令 h x f x g x f x g x h x f x g x 0 h x 是 R 上 的减函数 h 1 h 0 即 f 1 g 1 f 0 g 0 f 1 g 0 g 1 f 0 故选 A 答案 A 2 已知函数 f x x 若 f x1 x2 B x1 x2 0 C x1 x2 D x 0 时 e x 1 e x ex 1 ex 1 ex e
6、x 1 ex f x 0 f x 在 0 上单调递增 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 x 0 在 a x x2 a x 0 上均成立 f x 的增区间为 0 不符合题意 所以 a 0 由Error Error 得 x 即函数 f x 的增区间为 所以 2 解得 a 4 故选 C aaa 答案 C 4 若函数 f x ex ax 在 0 1 上单调递减 则实数 a 的取值范围是 解析 函数 f x ex ax 在 0 1 上单调递减 f x ex a 0 在 0 1 上恒成立 a ex在 0 1 上恒成立 a ex max 又函数 y ex在 0 1 上单调递增 ex max
7、 e a e 即实数 a 的取值范围是 e 答案 e 知识点三含参函数的函数的单调性 5 若函数 f x x b R 的导函数在区间 1 2 上有零点 则 f x 在下列区间上单调递增 b x 的是 A 2 0 B 0 1 C 1 D 2 解析 f x x f x 1 函数 f x x b R 的导函数在区间 1 2 上 b x b x2 b x 有零点 当 1 0 时 b x2 又 x 1 2 b 1 4 b x2 由 f x 0 得 x 即函数 f x 的单调增区间为 bbbb b 1 4 2 符合题意 故选 D 答案 D 6 已知函数 f x ln x ax2 2 a x 讨论 f x
8、的单调性 解析 函数 f x 的定义域为 0 f x 2ax 2 a 1 x 2x 1 ax 1 x 1 当 a 0 时 f x 0 所以函数 f x 在 0 上单调递增 2 当 a 0 时 由 f x 0 得 x 1 a 当 x 时 f x 0 所以函数 f x 在上单调递增 0 1 a 0 1 a 当 x 时 f x 0 时 函数 f x 在上 0 1 a 单调递增 在上单调递减 1 a 综合知识函数单调性的综合应用 7 已知定义在 R 上的可导函数 f x 满足 f x 3x2 1 不等式 x3 x 1 f x x3 x 2 的解集为 x 1 x 1 则 f 1 f 1 解析 令 g x
9、 f x x3 x 则 g x f x 3x2 1 f x 3x2 1 g x 0 时 证明不等式 ln x 1 x x2 1 2 证明 令 f x ln x 1 x x2 则 f x 1 x 1 2 1 x 1 x2 x 1 x 0 0 即 f x 0 x2 x 1 当 x 0 时 函数 f x 单调递增 f x f 0 0 当 x 0 时 ln x 1 x x2 1 2 基础达标 一 选择题 1 a 1 是 函数 f x ax sin x 在 R 上是增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由函数 f x ax sin x 是增函数
10、 得 f x a cos x 0 恒成立 a cos x max 又 cos x max 1 a 1 a 1 是 函数 f x ax sin x 在 R 上是增函数 的充分 不必要条件 故选 A 答案 A 2 已知函数 f x 的定义域为 R f x 为其导函数 函数 y f x 的图象如图所示 且 f 2 1 f 3 1 则不等式 f x2 6 1 的解集为 A 3 2 2 3 B 22 C 2 3 D 22 解析 由导函数 y f x 的图象知 当 x0 当 x 0 时 f x 1 可化为 2 x2 6 3 解得 3 x 2 或 2 x 3 故选 A 答案 A 3 已知函数 f x 在 2
11、 内单调递减 则实数 a 的取值范围为 ax 1 x 2 A B 1 2 1 2 C D 1 2 1 2 解析 函数 f x 在 2 内单调递减 ax 1 x 2 f x 0 在 2 上恒成立 2a 1 0 解得 a 又当 a 时 2a 1 x 2 2 1 2 1 2 f x 0 恒成立 不符合题意 舍掉 ax 则下列 f x f x 关系成立的是 A f 2 2f 1 B 3f 2 2f 3 C ef e f e3 解析 函数 f x 在区间 0 上单调递减 f x x f x f x f x 0 f x x 则 g x 0 xf x f x x2 g x 在区间 0 上单调递增 g e g
12、 e2 即 f e e f e2 e2 ef e 0 的解集是 A B 1 3 1 3 C 3 D 3 解析 f x x sin x f x x sin x x sin x f x 函数 f x 为奇函 数 又 f x 1 cos x 0 函数 f x 为增函数 又不等式 f x 1 f 2 2x 0 可化为 f x 1 f 2 2x f 2x 2 x 1 2x 2 解得 x0 的解 集是 3 故选 C 答案 C 7 已知函数 f x Error Error 在定义域 上是单调增函数 则实数 a 的取值范围 是 A B e 2 e 3 C D e 3 e 2 e 3 e 2 解析 由于函数 f
13、 x Error Error 在定义域 上是单调增函数 所以 2a e a 解得 a 排除 A D e 3 当 a 2 时 x 1 可得 ex 2x2 e 2 2a ln x 4 e 2 显然不成立 排除 B 故选 C 答案 C 二 填空题 8 若函数 f x x3 ax 5 的单调递减区间是 2 2 则实数 a 的值为 解析 f x 3x2 a 依题意 3x2 a0 所以 a 0 a 的取值范围是 0 答案 0 10 已知函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R f x 2 则 f x 2x 4 的解 集为 解析 令 g x f x 2x 4 则 g x f x 2 f x
14、2 g x 0 函数 g x 是 R 上的增函数 f 1 2 g 1 f 1 2 1 4 0 由 f x 2x 4 得 f x 2x 4 0 即 g x 0 g 1 x 1 故 f x 2x 4 的解集为 x x 1 答案 x x 1 11 若函数 f x ln x ax2 2x 存在单调递减区间 则实数 a 的取值范围是 1 2 解析 f x 的定义域为 0 f x ax 2 函数 f x 存在单调递减区间 1 x f x 0 在 0 上有解 即 ax 2 0 在 0 上有解 a 在 0 1 x 1 x2 2 x 上有解 a min 又 2 1 1 当 a 1 时 f x x 2 1 x2
15、2 x 1 x2 2 x 1 x 1 1 x 0 恒成立 不符合题意 舍去 实数 a 的取值范围是 1 x 1 2 x 答案 1 12 已知函数 f x ax b 0 的图象在点 P 1 f 1 处的切线与直线 x 2y 1 0 垂直 b x 且函数 f x 在区间上是单调递增的 则 b 的最大值等于 1 2 解析 函数 f x ax b 0 的导数为 f x a 在点 P 1 f 1 处的切线斜率为 b x b x2 k a b 由切线与直线 x 2y 1 0 垂直 可得 k a b 2 即 a b 2 由函数 f x 在区 间上单调递增可得 a 0 在区间上恒成立 即有 x2 min 由
16、x 可得 1 2 b x2 1 2 b a 1 2 x2的最小值为 即有 由 b 0 可得 b 则 b 的最大值为 1 4 b b 2 1 4 2 3 2 3 答案 2 3 三 解答题 13 若函数 f x x3 bx2 cx d 的单调减区间为 1 3 求 b 和 c 的值 解析 f x 3x2 2bx c 函数 f x 的单调区间为 1 3 1 和 3 是 f x 0 的两根 由根与系数的关系 得 Error Error 解得Error Error 14 讨论函数 f x 1 x 1 b 0 的单调性 bx x2 1 解析 依题意 函数 f x 的定义域为 1 1 且函数 f x 是奇函数 所以只需讨 bx x2 1 论函数在 0 1 上的单调性 因为 f x b x2 1 x2 1 2 当 0 x0 x2 1 2 0 所以当 b 0 时 f x 0 所以函数 f x 在 0 1 上单调递减 当 b0 所以函数 f x 在 0 1 上单调递增 又函数 f x 是奇函数 且 f 0 0 结合奇函数的图象关于原点对称 可知 当 b 0 时 函数 f x 在 1 1 上单调递减 当 b
