《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.1.2四种命题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.1.2四种命题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 命题及其关系命题及其关系 第二课时第二课时 四种命题四种命题 填一填 1 互逆命题 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题 其中一个命题叫做原命题 另一个叫做原命题的 逆命题 2 互否命题 对于两个命题 其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定 我们把这样的两个命题叫做互否命题 如果把其中的一个命题叫做原命题 那么另一个 叫做原命题的否命题 3 互为逆否命题 对于两个命题 其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否 定 我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题 如果把其中
2、的一个命题叫做原命题 那么另 一个叫做原命题的逆否命题 一般地 为书写简便 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论 用綈 p 读作 非 p 和 綈 q 读作 非 q 分别表示 p 和 q 的否定 于是四种命题的形式就是 名称形式 原命题若 p 则 q 逆命题若 q 则 p 交换原命题的条件和结论 否命题若綈 p 则綈 q 同时否定原命题的条件和结论 逆否命题若綈 q 则綈 p 同时否定原命题的条件和结论后 再交换 4 四种命题间的相互关系 一般地 原命题 逆命题 否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示 5 四种命题的真假性之间的关系 一般地 四种命题的真假性 有且仅有下面四种情况
3、 原命题真真假假 逆命题真假真假 否命题真假真假 逆否命题真真假假 判一判 1 有的命题没有逆命题 2 对顶角相等 的否命题为 对顶角不相等 3 原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题 4 两个互逆命题的真假性相同 5 若两个命题为互否命题 则它们的真假性肯定不相同 6 对于一个命题的四种命题 可以一个真命题也没有 7 若 x2 y2 0 则 x y 全为零 的否命题为 若 x2 y2 0 则 x y 全不为零 8 正多边形都相似 的逆命题是真命题 想一想 1 任何一个命题都有逆命题 否命题和逆否命题吗 因为任何一个命题都包含条件和结论两部分 通过条件和结论的不同变换都可以得到这 个命题的
4、逆命题 否命题和逆否命题 因此任何一个命题都有逆命题 否命题和逆否命题 2 解决四种命题转换的关键是什么 明确原命题的逆命题 否命题 逆否命题的条件和结论的位置关系和否定关系是解决四 种命题的关键 3 在四种命题中 它们的真假性之间有什么关系 互为逆否的两个命题具有相同的真假性 互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联 系 思考感悟 练一练 1 命题 若 a A 则 b B 的否命题是 A 若 a A 则 b B B 若 a A 则 b B C 若 b B 则 a A D 若 b B 则 a A 答案 B 2 命题 若 A B A 则 A B B 的逆否命题是 A 若 A B B 则 A B
5、A B 若 A B A 则 A B B C 若 A B B 则 A B A D 若 A B B 则 A B A 答案 C 3 命题 若两个角相等 则这两个角是内错角 的逆命题是 A 若两个角是内错角 则这两个角相等 B 若两个角不是内错角 则这两个角不相等 C 若两个角是内错角 则这两个角不相等 D 若两个角不相等 则这两个角不是内错角 答案 A 4 若命题 A 的逆命题是 B 命题 A 的否命题为 C 则 B 是 C 的 A 逆命题 B 否命题 C 逆否命题 D 以上都不正确 答案 C 知识点一四种命题的概念 1 命题 若 y kx 则 x 与 y 成正比例关系 的否命题是 A 若 y kx
6、 则 x 与 y 成正比例关系 B 若 y kx 则 x 与 y 成反比例关系 C 若 x 与 y 不成正比例关系 则 y kx D 若 y kx 则 x 与 y 不成正比例关系 解析 对原命题的条件和结论都否定 答案 D 2 设 m R 命题 若 m 0 则方程 x2 x m 0 有实根 的逆否命题是 A 若方程 x2 x m 0 有实根 则 m 0 B 若方程 x2 x m 0 有实根 则 m 0 C 若方程 x2 x m 0 没有实根 则 m 0 D 若方程 x2 x m 0 没有实根 则 m 0 解析 分别对原命题的条件和结论进行否定 并交换否定后的条件与结论 答案 D 知识点二四种命
7、题的真假 3 命题 当 AB AC 时 ABC 为等腰三角形 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 0 解析 原命题与其逆否命题是真命题 逆命题为 当 ABC 为等腰三角形时 AB AC 为假命题 否命题与逆命题互为逆否命题 故否命题也为假命题 答案 C 4 设原命题为 若空间两个向量 a 与 b b 0 共线 则存在实数 使得 a b 则 其逆命题 否命题 逆否命题为真的个数 A 1 B 2 C 3 D 0 解析 逆命题 空间两个向量 a 与 b b 0 若存在实数 使得 a b 则 a 与 b b 0 共线 正确 否命题 若空间两个向量 a 与 b
8、b 0 不共线 则不存在实数 使 得 a b 正确 逆否命题 若不存在实数 使得 a b 则两个向量 a 与 b b 0 不共线 正确 三个命题都为真命题 故选 C 答案 C 知识点三等价命题及其应用 5 判断命题 已知 l m 为两条直线 为平面 且 l 当 m l 时 m 的否命题 的真假 并简要说明理由 解析 原命题的逆命题 已知 l m 为两条直线 为平面 且 l 当 m 时 m l 由线面垂直的定义知 逆命题为真命题 所以原命题的否命题也是真命题 6 证明 若 a2 4b2 2a 1 0 则 a 2b 1 证明 若 a2 4b2 2a 1 0 则 a 2b 1 的逆否命题为 若 a
9、2b 1 则 a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若 a 2b 1 则 a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相 同的真假性可知 原命题正确 综合应用 7 判断命题 已知 a x 为实数 若关于 x 的不等式 x2 2a 1 x a2 2 0 的解集非空 则 a 1 的逆否命题的真假 解析 方法一 原命题的逆否命题为 已知 a x 为实数 若 a 1 则关于 x 的不等式 x2 2a 1 x a2 2 0 的解集为空集 判断其真假如下 抛物线 y x2
10、2a 1 x a2 2 的图象开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为 a 1 所以 4a 70 若 a b 则 0 若 a b 则 0 若 b 为真命题 所以否命题也是真命题 1 a 1 b 答案 D 3 设 m n 是向量 命题 若 m n 则 m n 与它的逆命题 否命题 逆否命题这 4 个命题中 真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 原命题为真命题 逆命题 若 m n 则 m n 为假命题 否命题 若 m n 则 m n 为假命题 逆否命题 若 m n 则 m n 为真命题 故四个命题中 真命题的个数是 2 故选 C 答案 C 4 下列说法不正确的是
11、 A 命题 若 a b 则 ac bc 是真命题 B 命题 若 a2 b2 0 则 a b 全为 0 是真命题 C 命题 若 a 0 则 ab 0 的否命题是 若 a 0 则 ab 0 D 命题 若 a 0 则 ab 0 的逆否命题是 若 ab 0 则 a 0 解析 A 选项 若 a b 当 c 0 时 ac bc 不成立 所以命题为假命题 B 选项 若 a2 b2 0 则 a b 全为 0 正确 C 选项 否命题否定结论和条件 本选项满足否命题形式 正确 D 选项 命题 若 a 0 则 ab 0 的逆否命题是 若 ab 0 则 a 0 满足逆否命 题的形式 故选 A 答案 A 5 下列命题中
12、为真命题的是 A 命题 若 x 1 则 x2 1 的否命题 B 命题 若 x y 则 x y 的逆命题 C 命题 若 x 1 则 x2 x 2 0 的否命题 D 命题 已知 a b c R 若 ac2 bc2 则 a b 的逆命题 否命题 逆否命题均为真 命题 解析 A 项 命题 若 x 1 则 x2 1 的否命题为 若 x 1 则 x2 1 假命题 B 项 命题 若 x y 则 x y 的逆命题为 若 x y 则 x y 真命题 C 项 命题 若 x 1 则 x2 x 2 0 的否命题为 若 x 1 则 x2 x 2 0 假命题 D 项 假命题 因为逆命题 与否命题都是假命题 答案 B 6
13、下列四个命题为真命题的是 A 若 a b 0 则 a b 互为相反数 的逆命题 B 全等三角形的面积相等 的否命题 C 若 c 1 则 x2 2x c 0 无实根 的逆否命题 D 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 解析 选项 A 的逆命题为 若 a b 互为相反数 则 a b 0 为真命题 选项 B 的否 命题为 不全等三角形的面积不相等 不全等三角形的面积也可能相等 为假命题 选项 C 的逆否命题为 若 x2 2x c 0 有实根 则 c 1 当 x2 2x c 0 有实根 则 4 4c 0 解得 c 1 可知为假命题 选项 D 的逆命题为 若三角形的三个内角相等 则该三角形是不等边三角
14、形 显然为假命题 答案 A 7 有下列三个命题 1 若 x2 y2 0 则 xy 0 的否命题 2 若 x y 则 x2 y2 的逆否命题 3 若 则 sin sin 的逆命题 其中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 1 的否命题为 若 x2 y2 0 则 xy 0 可取 x 1 y 0 此时结论不成立 为假命题 2 逆否命题的真假性与原命题相同 当 x 3 y 5 时 x2B 则 sin A sin B 的逆命题 否命题 逆否命题都是真命题 A B 等 价于 cos Acos B cos A cos B 0 则正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 在 AB
15、C 中 由正弦定理知 A B 等价于 sin A sin B 若 A B 则 sin A sin B 的逆命题 否命题 逆否命题都是真命题 正确 A B 都在 0 内 余弦函数在该区间上是单调递减函数 A B 等价于 cos A A B 2 2 sin A sin 2 B sin A cos B 正确 A B A B 2 A B 2 A B 2 A B 2 cos A cos B 2coscos 0 正确 综上 四个命题均正确 A B 2 A B 2 答案 D 二 填空题 9 命题 当 c 0 时 若 a b 则 ac bc 的逆命题是 解析 原命题为 当 c 0 时 若 a b 则 ac b
16、c 它的逆命题为 当 c 0 时 若 ac bc 则 a b 答案 当 c 0 时 若 ac bc 则 a b 10 命题 在空间中 若四点不共面 则这四点中任何三点都不共线 的逆否命题是 解析 逆否命题是既否条件又否结论 在空间中 若四点中存在三点共线 则这四点共 面 答案 在空间中 若四点中存在三点共线 则这四点共面 11 命题 若 a b 则 ac2 bc2 a b R 的否命题的真假性为 解析 命题的否命题为 若 a b 则 ac2 bc2 若 c 0 结论成立 若 c 0 不等式 ac2 bc2也成立 故否命题为真命题 答案 真 12 已知命题 p 若 a b 0 则 log ab 0 log a log b 命题 p 为真命题 1 2 1 2 其逆命题为 若 log ab 0 1 2 1 2 a 2 b 2 时 log a log b 1 而 a b 1 2 1 2 逆命题为假命题 根据命题与其逆否命题的真假相同 逆命题与否命题是互为逆否命题 命题 p 的原命题 逆命题 否命题 逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题 共 2 个真命题 答案 2 三 解答题 13 写出命题
