《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.1.1合情推理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.1.1合情推理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 1 1 合情推理合情推理 填一填 1 归纳推理和类比推理 归纳推理类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理 或者由个别事实概括出 一般结论的推理 称为归纳推理 简 称归纳 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征 推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理 简称类比 特征 归纳推理是由部分到整体 由个别到 一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 合情推理 含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 通 俗地说 合情推
2、理是指 合乎情理 的推理 过程 判一判 1 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 这种估计属于归纳推理 2 类比推理得到的结论可以作为定理使用 3 归纳推理是由个别到一般的推理 4 归纳推理得出的结论具有或然性 不一定正确 5 由铜 铁 铝 金 银等金属能导电得到一切金属都能导电属于归纳推理 6 鲁班发明锯利用的是归纳推理 7 任意两个事物都可以用类比推理 8 合情推理包括归纳推理和类比推理 想一想 1 由已知数式进行归纳推理的步骤有哪些 分析所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 解决数列
3、中的归纳推理问题时 需注意哪些方面 解决数列中的归纳推理问题时 通常是将所给等式中的 n 取具体值 1 2 3 4 然后求 得 a1 a2 a3 a4 的值或 S1 S2 S3 S4 的值 根据这些结果进行归纳得到结果 归纳时 要注意从等式的项数 次数 分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进 行归纳 要注意等式中项数 次数等与等式序号 n 的关系 发现其规律 然后用含有字母的 等式表示一般性结论 3 如何使用类比推理 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行 可以从其形式 结构 维数等不同方向进 行 例如相等与不等的类比 解一元二次方程与解一元二次不等式的类比 升维类比 圆与球 三角形与四面
4、体 概念与性质 分解因式与分解因数 等差数列与等比数列 等等 4 类比推理的三个特点是什么 类比推理结论的猜测性 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征出发 推测正在 被研究的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定可靠 类比在数学发现中具有重要作用 例如 通过空间与平面 向量与数 无限与有限 不等与相等的类比 发现可以研究的问题及其研究方法 类比推理的关键点 由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类 似特征 所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征 感悟体会 练一练 1 已知 2 3 4 若 6 a b R 则 2 2 3 2 3 3 3 8 3
5、8 4 4 15 4 15 6 a b a b A a 5 b 24 B a 6 b 24 C a 6 b 35 D a 5 b 35 解析 通过观察式子的特点可知 分式 的分子 a 与根号外的数相同 而分母则为 a 的 a b 平方减 1 a 6 b 62 1 35 故选 C 答案 C 2 观察图形规律 在其右下角的空格内画上合适的图形为 A B C D 解析 图中每行均有 三种图形 且每行均有两黑一白 所以空格内应画上 图形 故选 A 答案 A 3 平面内平行于同一直线的两条直线平行 由此类比 可以得到 A 空间中平行于同一直线的两直线平行 B 空间中平行于同一平面的两直线平行 C 空间中
6、平行于同一直线的两平面平行 D 空间中平行于同一平面的两平面平行 解析 类比中 平面 类比为 空间 直线 类比为 平面 由此可得到 空间中 平行于同一个平面的两平面平行 故选 D 答案 D 4 在数学解题中 常会碰到形如 的结构 这时可类比正切的和角公式 如 x y 1 xy 设 a b 是非等实数 且满足 tan 则 等于 asin 5 bcos 5 acos 5 bsin 5 8 15 b a A 4 B 15 C 2 D 3 解析 将已知式变形 则有 tan tan 类比 asin 5 bcos 5 acos 5 bsin 5 atan 5 b a btan 5 tan 5 b a 1
7、b atan 5 8 15 5 3 正切的和角公式 即 tan 可知只有当 tan 时 上式成立 tan tan 1 tan tan b a 33 答案 D 知识点一归纳推理 1 根据给出的数塔猜测 123 456 9 7 等于 1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111 A 1 111 110 B 1 111 111 C 1 111 112 D 1 111 113 解析 观察题中的等式可知 等式右边各位上的数字均为 1 位数跟等式左侧的第二个 加数相同 所以 123456 9 7 1 111 111 故选
8、B 答案 B 2 如图 在所给的四个选项中 最适合填入问号处 使之呈现一定的规律性的为 解析 观察第一组的三个图形 可知每一个黑色方块都从右向左循环移动 每次向左移 动一格 由第二组的前两个图 可知第三个图形应是 A 答案 A 3 已知数列 n N 的前 n 项和为 Sn 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 2n 1 2n 1 1 求出 S1 S2 S3 S4 2 猜想该数列的前 n 项和 Sn并证明 解析 1 S1 S2 S3 S4 1 3 2 5 3 7 4 9 2 猜想 Sn n N 证明如下 n 2n 1 因为 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 所以 Sn
9、 n N 1 2 1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n 1 1 2n 1 n 2n 1 知识点二类比推理 4 在十进制中 2 008 2 103 0 102 0 101 8 100 那么五进制中的数码 2 013 折 合成十进制为 A 29 B 258 C 602 D 2 004 解析 类比十进制得 2 53 0 52 1 51 3 50 258 故选 B 答案 B 5 设 f x 利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法 可求得 f 5 1 2x 2 f 4 f 0 f 5 f 6 的值为 解析 因为 6 5 11 所以 f 5 f 4 f 5 f 6 共有 12 项
10、课本中推导 等差数列前 n 项和的公式的方法是倒序相加法 即因为 a1 an a2 an 1 a3 an 2 an a1 令 Sn a1 a2 an 则 Sn an an 1 a1 所以 2Sn a1 an a2 an 1 an a1 n a1 an 所以 Sn n a1 an 2 同理 因为 f x f 1 x 1 2x 2 1 21 x 2 1 2x 2 2x 2 2 2x 2 2x 2 2x 2 2 2 令 Tn f 5 f 4 f 5 f 6 则 Tn f 6 f 5 f 4 f 5 所以 2Tn f 5 f 6 f 4 f 5 f 6 f 5 12 6 2 22 所以 Tn 3 2
11、答案 3 2 6 平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质 例如在三角形中 1 三角形两边之和大于第三边 2 三角形的面积 S 底 高 1 2 3 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 1 2 请类比上述性质 写出空间中四面体的相关结论 解析 由三角形的性质 可类比得空间四面体的相关性质为 1 四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 2 四面体的体积 V 底面积 高 1 3 3 四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 1 4 知识点三归纳和类比的应用 7 设 n 是自然数 则 n2 1 1 1 n 的值 1 8 A 一定是零 B 不一定是偶数 C 一定是偶数
12、 D 是整数但不一定是偶数 解析 当 n 为偶数时 n2 1 1 1 n 0 为偶数 当 n 为奇数是 n 2k 1 k N 1 8 n2 1 1 1 n 4k2 4k 2 k k 1 为偶数 所以 n2 1 1 1 n 的值一定为偶 1 8 1 8 1 8 数 答案 C 8 在长方形 ABCD 中 对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想 解析 在长方形 ABCD 中 cos2 cos2 2 2 1 a c b c a2 b2 c2 c2 c2 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则 cos2 cos2 cos2
13、 1 证明如下 cos2 cos2 cos2 2 2 2 1 m l n l g l m2 n2 g2 l2 l2 l2 基础达标 一 选择题 1 归纳推理和类比推理的相似之处为 A 都是从一般到一般 B 都是从一般到特殊 C 都是从特殊到特殊 D 所得结论都不一定正确 解析 类比推理是特殊到特殊的推理 归纳推理是特殊到一般的推理 两者的结论都是 推理而来的 不一定正确 故选 D 答案 D 2 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 n 个 金鱼 图需要火柴的根数为 A 6n 2 B 8n 2 C 6n 2 D 8n 2 解析 由图 可以看出 从图 开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的
14、火柴棒多 6 根 所以每个图中火柴棒的个数构成一个等差数列 首项为第一个图中火柴棒的个数 8 公差 d 6 由此可推出第 n 个 金鱼 图需火柴棒的根数为 6n 2 故选 C 答案 C 3 在平面直角坐标系内 方程 1 表示在 x 轴 y 轴上的截距分别为 a 和 b 的直线 x a y b 拓展到空间 在 x 轴 y 轴 z 轴上的截距分别为 a b c abc 0 的平面方程为 A 1 B 1 x a y b z c x ab y bc z ca C 1 D ax by cz 1 xy ab yz bc zx ca 解析 由方程 1 的结构形式 推出在空间直角坐标系中 平面方程的形式应为
15、x a y b x a 1 故选 A y b z c 答案 A 4 图 图 图 图 分别包含 1 5 13 和 25 个互不重叠的单位正方形 按同 样的方式构造图形 则第 n 个图包含的单位正方形的个数是 A n2 2n 1 B 2n2 2n 1 C 2n2 2 D 2n2 n 1 解析 观察题中给出的四个图形 图 共有 12个正方形 图 共有 12 22个正方形 图 共有 22 32个正方形 图 共有 32 42个正方形 则第 n 个图中共有 n 1 2 n2 即 2n2 2n 1 个正方形 答案 B 5 通过计算数列 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 的值 可
16、以猜测 an 1 2 3 n 1 n n 1 3 2 1 的结果为 A n2 B n2 1 C D n2 1 n2 2 解析 1 12 1 2 1 4 22 1 2 3 2 1 9 32 1 2 3 4 3 2 1 16 42 以此类推 an 1 2 3 n 1 n n 1 3 2 1 n2 故选 A 答案 A 6 将正整数排成如下形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则数字 2 017 出现在 A 第 44 行第 80 列 B 第 45 行第 80 列 C 第 44 行第 81 列 D 第 45 行第 81 列 解析 第 1 行的最后一个数字为 1 12 第 2 行的最后一个数字为 4 22 第 3 行的最后 一个数字为 9 32 442 1 936 452 2 025 且 1 936 2 0170 则数列 dn dn n N 也是等比数列 解析 在运用类比推理解决问题时 首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或 一致性 再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质 找出等差数列与等比数列在运算上 的相似性 等差 等比 求和 求积 除法
