《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 填一填 1 复数乘法的运算法则和运算律 1 复数的乘法法则 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 2 复数乘法的运算律 对任意复数 z1 z2 z3 C 有 交换律z1 z2 z2 z1 结合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 乘法对加法的分配律z1 z2 z3 z1z2 z1z3 2 共轭复数 1 如果两个复数满足实部相等 虚部互为相反数时 称这两个复数互为共轭复数 z 为 共轭复数用 表示 即 z a bi a b R 则 a bi zz 2 复数
2、与共轭复数的乘法性质 z a bi a bi a2 b2 z 3 复数的除法法则 设 z1 a bi z2 c di c di 0 则 i c di 0 z1 z2 a bi c di ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 判一判 1 两个复数的积与商一定是虚数 2 两个共轭复数的和与积是实数 3 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除 后加减 4 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 5 设 z 是复数 若 z2 0 则 z 是实数 6 若 z1 z2 C 且 z z 0 则 z1 z2 0 2 12 2 7 两个复数相乘的结果可能为实数 8 两个共轭复数的差为纯虚数 想一想
3、1 怎样进行复数的乘法 两个复数相乘 类似于两个多项式相乘 只要把已得结果中的 i2换成 1 并且把实部 与虚部分别合并即可 2 如何理解复数的乘除法运算法则 复数的乘法可以把 i 看作字母 按多项式乘法的法则进行 注意要把 i2化为 1 进行最 后结果的化简 复数的除法先写成分式的形式 再把分母实数化 方法是分母与分子同时乘以 分母的共轭复数 若分母是纯虚数 则只需同时乘以 i 3 共轭复数有哪些性质 这些性质有何作用 1 在复平面上 两个共轭复数对应的点关于实轴对称 2 实数的共轭复数是它本身 即 z z R 利用这个性质可证明一个复数为实数 z 3 若 z 0 且 z 0 则 z 为纯虚
4、数 利用这个性质 可证明一个复数为纯虚数 z 4 复数形式的基本轨迹有哪些 1 z z1 r 表示复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以复数 z1对应的点为圆心 r 为半 径的圆 2 z z1 z z2 表示以复数 z1 z2的对应点 Z1 Z2为端点的线段的垂直平分线 3 z z1 z z2 2a a 0 当 2a Z1Z2 时 表示以复数 z1 z2的对应点 Z1 Z2为焦点的 椭圆 当 2a Z1Z2 时 表示以复数 z1 z2对应点 Z1 Z2为端点的线段 当 2a0 当 2a Z1Z2 时 无 轨迹 感悟体会 练一练 1 已知 i2 1 则 i 1 i 3 A i B i 33 C
5、i D i 33 解析 i 1 i i i2 i 故选 B 333 答案 B 2 已知复数 z 2 i 则 z 的值为 z A 5 B 5 C 3 D 3 解析 z 2 i 2 i z 2 i 2 i 4 i2 5 故选 A zz 答案 A 3 已知 i 是虚数单位 若复数 z 满足 z 则 z 2 i 1 A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 解析 z 1 i 故选 A 2 i 1 2 i 1 i 1 i 1 2i 2 i2 1 答案 A 4 已知 a b R i 是虚数单位 若 1 i 1 bi a 则 的值为 a b 解析 由 1 i 1 bi 1 bi i bi2 1 b 1
6、 b i a 得Error Error 解得Error Error 2 a b 答案 2 知识点一复数代数形式的乘法运算 1 设 i 是虚数单位 则复数 1 i 1 2i A 3 3i B 1 3i C 3 i D 1 i 解析 1 i 1 2i 1 2i i 2i2 3 i 故选 C 答案 C 2 设复数 z 1 i 则 z2 2z 等于 2 A 3 B 3 C 3i D 3i 解析 z 1 i z2 2z 1 i 2 2 1 i 1 2i 2i2 2 2i 3 故 22222 选 A 答案 A 知识点二共轭复数 3 若 x 2 yi 和 3x i 互为共轭复数 则实数 x y 解析 x 2
7、 yi 和 3x i 互为共轭复数 x y R Error Error 解得Error Error 答案 1 1 4 设 a b 为共轭复数 且 a b 2 3abi 4 12i 求 a b 的值 解析 设 a x yi x y R 则 b x yi a b 2x ab x2 y2 又 a b 2 3abi 4 12i 4x2 3 x2 y2 i 4 12i 由复数相等的性质知 Error Error 解得Error Error 或Error Error 或Error Error 或Error Error Error Error 或Error Error 或Error Error 或Error
8、 Error 知识点三复数代数形式的除法运算 5 已知 i 为虚数单位 若复数 z 满足 1 2i z 1 i 则复数 z 的虚部为 A B 3 5 3 5 C i D i 3 5 3 5 解析 由题可得 z i 所以复数 z 的虚部为 1 i 1 2i 1 i 1 2i 1 2i 1 2i 1 3i 5 1 5 3 5 故选 B 3 5 答案 B 6 计算 1 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 2 1 i 7 1 i 1 i 7 1 i 3 4i 2 2i 3 4 3i 解析 1 方法一 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i
9、 2i 6 13i 6 6 13i 6 4 9 26i 13 方法二 i i 2i 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i i 2 3i 2 3i i 2 3i 2 3i 2 原式 1 i 2 3 1 i 2 3 2i 3 i 2i 3 i 1 i 1 i 1 i 1 i 8 3 4i 1 i 2 1 i 3 4i i 8 8 16 16i 16i 8 2i 1 i i 综合知识复数代数形式的乘除运算综合应用 7 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且 z1 z2是实数 则 z2 解析 z1 2 1 i 1 i z1 2 i z1 2 i 1
10、i 1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i 2 依题意 可设 z2 a 2i a R 则 z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i z1 z2是实数 a 4 z2 4 2i 答案 4 2i 8 已知 a 为实数 复数 z1 2 i z2 a i i 为虚数单位 1 若 a 1 指出 z1 在复平面内对应的点所在的象限 z2 2 若 z1 z2为纯虚数 求 a 的值 解析 1 因为 a 1 所以 z1 2 i 1 i 3 2i z2 所以 z1 在复平面内对应的点为 3 2 z2 从而 z1 在复平面内对应的点在第四象限 z2 2 z1 z2 2 i a i 2a 1 2 a i 因
11、为 a R z1 z2为纯虚数 所以 2a 1 0 且 2 a 0 解得 a 1 2 基础达标 一 选择题 1 设 z1 z2是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 z1 z2 0 则 z1z2 B 若 z1 则 z2 z2z1 C 若 z1 z2 则 z1 z2 z1z2 D 若 z1 z2 则 2 2z1z2 解析 A 中 由 z1 z2 0 得 z1 z2 0 z1 z2 正确 B 中 若 z1z2 z1 则 z2 正确 C 中 由 z1 z2 得 z1 2 z2 2 z1 z2 正确 D 中 当 z2z1z1z2 z1 z2 时 可取 z1 1 z2 i 则 z 1 z i2 1 z
12、z 错误 故选 D 2 12 22 12 2 答案 D 2 复数 1 i 2 2 3i 的值为 A 6 4i B 6 4i C 6 4i D 6 4i 解析 1 i 2 2 3i 2i 2 3i 4i 6i2 6 4i 故选 D 答案 D 3 复数 的虚部是 1 2 i 1 1 2i A i B 1 5 1 5 C i D 1 5 1 5 解析 i 复 1 2 i 1 1 2i 2 i 2 i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i 2 i 5 1 2i 5 1 5 1 5 数 的虚部是 故选 B 1 2 i 1 1 2i 1 5 答案 B 4 已知 i 为虚数单位 若复数 z 则 z 2 i
13、2i i A 3 B 10 C 9 D 10 解析 z z 3 故选 A 2 i 2i i 5 2i i 5 2i i 5 2i i 答案 A 5 1 i 20 1 i 20的值是 A 1 024 B 1 024 C 0 D 512 解析 1 i 20 1 i 20 1 i 2 10 1 i 2 10 2i 10 2i 10 2i 10 2i 10 0 故选 C 答案 C 6 设复数 z 的共轭复数是 若复数 z1 3 4i z2 t i 且 z1 是实数 则实数 t zz2 A B 3 4 4 3 C D 4 3 3 4 解析 z2 t i t i 又 z1 3 4i z1 3 4i t i
14、 3t 4 4t 3 z2z2 i z1 为实数 4t 3 0 解得 t 故选 A z2 3 4 答案 A 7 设 z1 z2为复数 A z1 z2 则 A 是 z2z1 A 虚数 B 实数 C 纯虚数 D 实数或虚数 解析 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 则 a bi c di z1z2 A z1 z2 a bi c di a bi c di ac bd bc ad i ac bd z2z1 ad bc i 2 ac bd A 为实数 故选 B 答案 B 二 填空题 8 已知复数 z 满足 z 0 则 z 3 z 解析 由 z 0 可得 z2 3 所以 z i 3 z
15、3 所以 z 3 答案 3 9 已知 i 为虚数单位 则在复平面内复数对应的点位于第 象限 2 1 i 解析 1 i 在复平面内对应的点为 1 1 位于第一象限 2 1 i 2 1 i 1 i 1 i 答案 一 10 已知 n R i 为虚数单位 若 ni 则实数 n 1 1 i 1 2 解析 依题意 i ni 由复数相等的充要条件知 n 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 1 2 11 若 x 则 1 3i 2 1 x2 x 解析 x x2 x x x 1 1 1 3i 2 1 3i 2 1 3i 2 1 1 3i 2 1 3i 2 1 4 i 1 i
16、1 3 1 1 33 1 4 1 x2 x 答案 1 12 已知 z 是纯虚数 是实数 那么 z 等于 z 2 1 i 解析 设 z bi b R 则 i z 2 1 i bi 2 1 i bi 2 1 i 2 2 b 2 2 b 2 因为是实数 所以 0 得 b 2 所以 z 2i z 2 1 i 2 b 2 答案 2i 三 解答题 13 计算 1 1 i 1 i 1 i 2 2 i 1 5i 3 4i 2i 3 2020 2 2i 1 i 2 2 1 i 4 1 3i 3 1 i 6 2 i 1 2i 解析 1 原式 2 1 i 1 i 2 原式 3 11i 3 4i 2i 53 23i 3 原式 1010 1 i i 1010 2 2i 2i 2 2i 1 i 1 i i 1010 1 i 1 2 i 4 原式 1 3i 3 2i 3 2i2 i 1 2i 3 1 i3 1 2 3 2 i i 2i 1 1 2i i i 0 14 设 的共轭复数是 z 若 z 4 z 8 求 的值 zzz z z 解析 法一 设 z x yi x y R 则 x yi z 由 z 4 z 8 得
