《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：第三章 空间向量与立体几何测试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：第三章 空间向量与立体几何测试卷（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 空间向量与立体几何测试卷空间向量与立体几何测试卷 一 选择题 1 下列各组两个向量中 平行的一组向量是 A a 1 2 3 b 1 2 1 B a 0 3 3 b 0 1 1 C a 0 3 2 b 0 1 3 2 D a b 1 1 2 3 2 1 3 2 解析 对于 B 因为 a 0 3 3 3 0 1 1 3b 所以两个向量平行 而对于 A C D 不存在实数 使得 a b 所以两个向量不平行 故选 B 答案 B 2 已知点 A 4 1 3 B 2 5 1 C 为线段 AB 上一点且 则点 C 的坐标为 AC AB 1 3 A B 7 2 1 2 5 2 3 8 3 2 C
2、 D 10 3 1 7 3 5 2 7 2 3 2 解析 C 为线段 AB 上一点 且 3 AC AB AC 1 3AB 4 1 3 2 6 2 OC OA 1 3AB 1 3 10 3 1 7 3 答案 C 3 已知 a 2 1 3 b 1 2 1 若 a a b 则实数 的值为 A 2 B 14 5 C D 2 14 3 解析 a b 2 1 3 2 2 1 2 3 a 2 1 3 若 a a b 则 2 2 1 2 3 3 0 解得 2 答案 D 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 N 为 BB1中点 则直线 AN 与 B1C 所成角的余弦值为 A B 5 10 5 5 C D 3
3、 10 10 10 10 解析 如图 以 D 为坐标原点 分别以 DA DC DD1为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直 角坐标系 设正方体棱长为 2 则 A 2 0 0 N 2 2 1 C 0 2 0 B1 2 2 2 则 0 2 1 2 0 2 记直线 AN 与 B1C 所成角为 NA B1C 则 cos AN B1C AN B1C 2 5 2 2 10 10 答案 D 5 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是 A 点 P 1 1 0 Q 1 2 3 的距离为 1 1 2 1 2 2 0 3 2 18 B 点 A 3 1 4 与点 B 3 1 4 关于 y 轴对称 C 点 A 3 1 4
4、 与点 B 3 1 4 关于平面 xOz 对称 D 空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 解析 对于 A 点 P 1 1 0 Q 1 2 3 的距离为 3 A 错误 1 1 2 1 2 2 0 3 22 对于 B 点 A 3 1 4 与 B 3 1 4 关于 y 轴对称 B 正确 对于 C 点 A 3 1 4 与 B 3 1 4 不关于平面 xOz 对称 C 错误 对于 D 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 D 错误 故选 B 答案 B 6 已知二面角 l 其中平面 的一个法向量 m 1 0 1 平面 的一个法向 量 n 0 1 1 则二面角 l 的大小可能为
5、 A 60 B 120 C 60 或 120 D 135 解析 m 1 0 1 n 0 1 1 设 m 与 n 之间的夹角为 cos 0 180 120 m n m n 1 2 2 1 2 二面角 l 的大小可能为 60 和 120 答案 C 7 若直线 l 的方向向量 a 1 2 1 平面 的一个法向量 m 2 4 k 若 l 则实数 k A 2 B 10 C 2 D 10 解析 l l 的方向向量 a 1 2 1 与平面的法向量 m 2 4 k 共线 a m 即Error Error 解得Error Error 故选 A 项 答案 A 8 已知 a 2 3 1 则下列向量中与 a 平行的是
6、 A 1 1 1 B 4 6 2 C 2 3 5 D 2 3 5 解析 若 b 4 6 2 则 b 2 2 3 1 2a 所以 a b 故选 B 答案 B 9 若向量 a 1 0 z 与向量 b 2 1 2 的夹角的余弦值为 则 z 2 3 A 0 B 1 C 1 D 2 解析 向量 a 1 0 z 与向量 b 2 1 1 的夹角的余弦值为 2 3 cos a b 解得 z 0 故选 A a b a b 2 2z 1 z2 4 1 4 2 3 答案 A 10 若平面 的法向量为 n1 3 2 1 平面 的法向量为 n2 2 0 1 则平面 与 夹角的余弦是 A B 70 10 70 10 C
7、D 70 14 70 14 解析 由题 n1 n2 32 22 121422 02 1 25 所以 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 3 2 2 0 1 1 14 5 70 14 故平面 与 夹角的余弦是 故选 D 70 14 答案 D 11 如图 M 是三棱锥 P ABC 的底面 ABC 的重心 若 x y z x y z R 则 x y z 的值为 PM AP AB AC A B 1 2 3 C D 1 3 1 2 解析 如图 连结 PM AM M 是三棱锥 P ABC 的底面 ABC 的重心 AM 1 3 AB AC PM PA AM AP 1 3AB 1 3AC x y z
8、x y x R x 1 y z PM AP AB AC 1 3 x y z 故选 C 1 3 答案 C 12 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为线段 A1C1的中点 则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为 A 15 B 30 C 45 D 60 解析 分别以 DA DC DD1所在的直线为 x y z 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2 可得 D 0 0 0 E 1 1 2 B1 2 2 2 C 0 2 0 所以 1 1 2 2 0 2 DE B1C 所以 cos DE B1C DE B1C DE B1C 1 2 1 0 2 2 6 2 2 3 2 所以异面直线
9、DE 和 B1C 所成的角的余弦值为 3 2 所以异面直线 DE 和 B1C 所成的角为 30 故选 B 答案 B 二 填空题 13 已知直线 l 与平面 垂直 直线 l 的一个方向向量为 u 1 3 z 向量 v 3 2 1 与平面 平行 则 z 解析 已知平面 的法向量为 u 1 3 z 又 v 与平面 平行 u v 1 3 3 2 z 1 0 解得 z 3 答案 3 14 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 BAD 60 侧棱 PA 底面 ABCD AB PA 2 则异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 解析 由题意 以 OA OB 分别为 x 轴 y 轴
10、 以过 O 点平行与 PA 的直线为 z 轴建立 空间直角坐标系 则 A B P 所以 3 2 0 0 0 3 2 0 3 2 0 2 OA 3 2 0 0 PB 3 2 3 2 2 设 AC 与 PB 所成的角为 则 cos OA PB OA PB 3 7 14 所以 AC 与 PB 所成的角的余弦值为 3 7 14 答案 3 7 14 15 如图 在直三棱柱中 ABC A1B1C1 BAC 90 AB AC AA1 1 已知 G 和 E 分别为 A1B1和 CC1的中点 D 和 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点 不包括端点 若 DG EF 则线段 DF 长度的取值范围为 解析 由题
11、意 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 0 0 0 E 0 1 G 0 1 F x 0 0 D 0 y 0 1 2 1 2 由于 GD EF 则 0 所以 x 2y 1 0 GD EF 所以 x y 0 2y 1 y 0 0 x 1 DF 0 y 1 2 所以 DF x2 y2 025y2 4y 1 5 y 2 5 2 1 5 当 y 时 线段 DF 长度的最小值是 当 y 0 时 线段 DF 长度的最大值是 1 2 5 1 5 而不包括端点 故 y 0 不能取 故答案为 5 5 1 答案 5 5 1 16 在空间直角坐标系中 点 P 0 0 1 为平面 ABC 外一点 其中 A 1 1 0
12、 B 0 2 3 若 平面 ABC 的一个法向量为 n 1 m 1 则点 P 到平面 ABC 的距离为 解析 1 1 3 n 0 m 2 AB AB 1 1 1 PA P 到平面 ABC 的距离为 d n PA n 2 6 6 3 答案 6 3 三 解答题 17 如图 已知 PA 平面 ABCD ABCD 为矩形 PA AD AB 2 M N 分别为 AB PC 的中点 求证 1 MN 平面 PAD 2 求 PD 与平面 PMC 所成角的正弦值 解析 1 取 PD 中点 Q 连接 AQ QN 则 QN DC QN DC 又因为 1 2 AM DC AM DC 所以四边形 AMNQ 为平行四边形
13、 所以 MN AQ 因为 MN 平面 1 2 PAD AQ 平面 PAD 所以 MN 平面 PAD 2 建立空间直角坐标系如图 因为 PA AD AB 2 所以 P 0 0 2 D 0 2 0 M 1 0 0 C 2 2 0 0 2 2 1 0 2 2 2 2 设平面 PMC 法向量为 PD PM PC n x y z 则 n 0 n 0 解得 x 2z y z 令 z 1 则 n 2 1 1 设 PC PM PD 与平面 PMC 所成角为 则 sin cos n PD 3 3 18 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是直角梯形 AB CD BAD ADC 90 SD 平面 ABCD M 是
14、SA 的中点 AD SD CD 2AB 2 1 证明 DM 平面 SAB 2 求二面角 A SB C 的大小 解析 SD 平面 ABCD AB 平面 ABCD AB SD 又 AB AD SD AD D AB 平面 SAD DM AB AD SD 2 M 是 SA 的中点 DM SA 又 SA AB A DM 平面 SAB 2 DA DC DS 两两互相垂直 以 DA DC DS 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 则 S 0 0 2 B 2 1 0 C 0 2 0 M 1 0 1 取 n1 1 0 1 为平面 SAB 的一个法向量 设 n2 x
15、y z 为平面 SBC 的一个法向 DM 量 2 1 2 0 2 2 则 SB SC Error Error Error Error x y 1 z 1 n2 1 2 1 2 1 1 cos n1 n2 由图形得 求二面角 A SB C 的大小为 135 n1 n2 n1 n2 1 2 1 2 9 4 2 2 19 在矩形 ABCD 中 AB 1 AD 2 E 为线段 AD 的中点 如图 1 沿 BE 将 ABE 折起至 PAE 使 BP CE 如图 2 所示 1 求证 平面 PBE 平面 BCDE 2 求二面角 C PD E 的余弦值 解析 1 证明 在图 1 中连接 EC 则 AEB CE
16、B 45 BEC 90 BE CE PB CE PB PE P CE 平面 PBE CE 平面 BCDE 平面 PBE 平面 BCED 2 解 取 BE 中点 O 连接 PO PB PE PO BE 平面 PBE 平面 BCDE PO 平面 BCDE 以 O 为坐标原点 以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴 过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴 直线 PO 为 z 轴 建立如图所示的直角坐标系 则 B E C 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 D P 0 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 2 0 0 0 2 2 PE 1 2 1 2 2 2 DE CP 1 0 0 设平面 PDE 的法向量为 m x1 y1 z1 平面 PCD 的法向 1 2 3 2 2 2 CD 量为 n x2 y2 z2 由Error Error 可得 m 2 0 2 由Error Error 可得 n 0 2 3 2 则 cos m n 由图形知二面角 C PD E 的平面角为钝二面角 m n m n 33 11 所以二面角 C PD E 的余弦值为 33 11 20 如图 四边形 AB
