《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.2.2导数的运算法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.2.2导数的运算法则（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 2 导数的计算导数的计算 第二课时第二课时 导数的运算法则导数的运算法则 填一填 导数的运算法则 设两个函数分别为 f x 和 g x 1 和 差的导数 f x g x f x g x 2 积的导数 f x g x f x g x f x g x 特例 cf x cf x 3 商的导数 g x 0 f x g x f x g x f x g x g x 2 判一判 1 af x bg x af x bg x 其中 a b 为常数 解析 af x bg x af x bg x af x bg x 故正确 2 f x 0 1 f x f x f x 2 3 u x v x w x u x v
2、 x w x 4 若函数 y sin x cos x 1 则 y cos 2x cos x 解析 y sin x cos x 1 sin x cos x 1 cos x cos x 1 sin x sin x cos 2x cos x 故错误 5 若 y x2 4x 则 y 2x4xln 4 解析 y x2 4x x2 4x 2x 4x x2 4xln 4 2x x2ln 4 4x 想一想 1 应用导数的运算法则求导数的前提是什么 提示 应用导数的运算法则求导数的前提是 f x 和 g x 的导数存在 2 导数计算有哪些原则和方法 提示 1 原则 先化简解析式 使之变成能用八个求导公式求导的函
3、数的和 差 积 商 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 思考感悟 练一练 1 若 f x xcos x 则函数 f x 的导函数 f x 等于 A 1 sin x B x sin x C sin x xcos x D cos x xsin x 解析 f x xcos x 则函数 f x 的导函数 f x cos x xsin x 答案 D 2 已知函数 f x
4、axln x x 0 其中 a 为实数 f x 为 f x 的导函数 若 f 1 3 则 a 的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 f x aln x a f 1 3 a 3 答案 B 3 曲线 y 在点 1 1 处的切线方程为 x x 2 解析 由题意可得 y 所以在点 1 1 处的切线斜率为 2 所以在点 2 x 2 2 1 1 处的切线方程为 y 2x 1 答案 y 2x 1 4 曲线 y 2sin x 在 x 处的切线的倾斜角大小为 3 解析 设切线的倾斜角为 函数的导数 f x 2cos x 则当 x 时 f 1 3 3 即 k tan 1 则 3 4 答案 3 4 知识点一
5、导数的运算法则 1 已知函数 f x ax2 c 且 f 1 2 则 a 的值为 A 1 B 2 C 1 D 0 解析 f x ax2 c f x 2ax 又 f 1 2a 2a 2 a 1 答案 A 2 函数 y x 1 2 x 1 在 x 1 处的导数等于 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 y x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 3x2 2x 1 y x 1 4 答案 D 3 已知函数 f x ln x tan 的导函数为 f x 若使得 f x0 f x0 成立的 0 2 x0满足 x0 1 则 的取值范围为 解析 f x f x0 由 f x0
6、f x0 得 ln x0 tan tan 1 x 1 x0 1 x0 ln x0 又 0 x01 即 tan 1 又 1 x0 1 x0 0 2 4 2 答案 4 2 知识点二求曲线的切线方程 4 曲线 y x3 2x 4 在点 1 3 处的切线的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 120 解析 设倾斜角为 y 3x2 2 y x 1 3 12 2 1 45 答案 B 5 已知直线 y 3x 1 与曲线 y ax3 3 相切 则 a 的值为 A 1 B 1 C 1 D 2 解析 设切点为 x0 y0 则 y0 3x0 1 且 y0 ax 3 3 0 所以 3x0 1 ax 3 3 0
7、对 y ax3 3 求导 得 y 3ax2 则 3ax 3 ax 1 2 02 0 由 可得 x0 1 所以 a 1 答案 A 6 若曲线 f x acos x 与曲线 g x x2 bx 1 在交点 0 m 处有公切线 则 a b A 1 B 0 C 1 D 2 解析 依题意得 f x asin x g x 2x b 于是有 f 0 g 0 即 asin 0 2 0 b 则 b 0 又 m f 0 g 0 即 m a 1 因此 a b 1 答案 C 7 若曲线 y ax2 ln x 在点 1 a 处的切线平行于 x 轴 则 a 解析 由题意得 y 2ax 在点 1 a 处的切线平行于 x 轴
8、 2a 1 0 得 a 1 x 1 2 答案 1 2 知识点三导数的综合应用 8 设 f x x3 ax2 bx 1 的导数 f x 满足 f 1 2a f 2 b 其中常数 a b R 求 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 解析 因为 f x x3 ax2 bx 1 所以 f x 3x2 2ax b 令 x 1 得 f 1 3 2a b 又 f 1 2a 所以 3 2a b 2a 解得 b 3 令 x 2 得 f 2 12 4a b 又 f 2 b 所以 12 4a b b 解得 a 3 2 所以 f x x3 x2 3x 1 从而 f 1 3 2 5 2 又 f 1 2 3
9、 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 3 2 y 3 x 1 即 6x 2y 1 0 5 2 基础达标 一 选择题 1 甲 乙两个物体沿直线运动的方程分别是 s1 t3 2t2 t 和 s2 3t2 t 1 则在 t 2 时两个物体的瞬时速度的关系是 A 甲大 B 乙大 C 相等 D 无法比较 解析 v1 s1 3t2 4t 1 v2 s2 6t 1 所以在 t 2 时两个物体的瞬时速度分别 是 5 和 11 故乙的瞬时速度大 答案 B 2 下列求导数运算正确的是 A 1 B log2x x 1 x 1 x2 1 xln 2 C 3x 3xlog3e D x2cos x 2
10、xsin x 解析 对于 A 1 对于 B 由导数公式 logax 知正确 对于 x 1 x 1 x2 1 xln a C 3x 3xln 3 对于 D x2cos x x2 cos x x2 cos x 2xcos x x2sin x 故选 B 答案 B 3 函数 f x 的导数是 1 x3 2x 1 A B 1 x3 2x 1 2 3x2 2 x3 2x 1 2 C D 3x2 2 x3 2x 1 2 3x2 x3 2x 1 2 解析 f x x3 2x 1 x3 2x 1 2 3x2 2 x3 2x 1 2 答案 C 4 函数 y 2 x3 2的导数为 A 6x5 12x2 B 4 2x
11、3 C 2 2 x3 2 D 2 2 x3 3x 解析 因为 y 2 x3 2 4 4x3 x6 所以 y 6x5 12x2 答案 A 5 已知直线 2x y 1 0 与曲线 y aex x 相切 其中 e 为自然对数的底数 则实数 a 的值是 A e B 2e C 1 D 2 解析 设切点为 x0 aex0 x0 由函数的解析式可得 y aex 1 则切线的斜率 k y x x0 aex0 1 令 aex0 1 2 可得 x0 ln 则函数在点 x0 aex0 x0 即 1 a 处的切线方程为 y 1 ln 2 整理可得 2x y ln 1 0 结合题中所 ln 1 a 1 ln 1 a 1
12、 a x ln 1 a 1 a 给的切线 2x y 1 0 得 ln 1 1 a 1 1 a 答案 C 6 已知函数 f x g x 2x 且曲线 y g x 在 x 1 处的切线为 y 2x 1 则曲线 y f x 在 x 1 处的切线的斜率为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 g 1 2 函数 f x g x 2x f x g x 2 f 1 g 1 2 f 1 2 2 4 即曲线 y f x 在 x 1 处的切线的斜率为 4 答案 B 7 已知函数 f x aln x bx2的图象在点 P 1 1 处的切线与直线 x
13、y 1 0 垂直 则 a 的值为 A 1 B 1 C 3 D 3 解析 由已知可得 P 1 1 在函数 f x 的图象上 所以 f 1 1 即 aln 1 b 1 解得 b 1 所以 f x aln x x2 故 f x 2x 则函数 f x 的图象在点 P 1 1 处的切线的斜率 a x k f 1 a 2 因为切线与直线 x y 1 0 垂直 所以 a 2 1 即 a 3 答案 D 二 填空题 8 设函数 f x 在 0 内可导 且 f ex x ex 则 f 1 解析 令 t ex 故 x ln t 所以 f t ln t t 即 f x ln x x 所以 f x 1 所 1 x 以
14、f 1 1 1 2 答案 2 9 已知 f x g x mx 且 g 2 则 m 1 x 1 f 2 解析 f x f 2 g 2 2m 1 x2 1 4 g 2 2m 4 m 2 1 f 2 答案 2 10 已知函数 f x f cos x sin x 则 f的值为 4 4 解析 f x f cos x sin x 4 f x f sin x cos x 4 f f sin cos 4 4 4 4 f 1 4 2 从而有 f 1 cos sin 1 4 2 4 4 答案 1 11 曲线 y 3 x2 x ex在点 0 0 处的切线方程为 解析 y 3 2x 1 ex 3 x2 x ex 3
15、x2 3x 1 ex 所以切线的斜率 k y x 0 3 则曲线 y 3 x2 x ex在点 0 0 处的切线方程为 y 3x 即 3x y 0 答案 3x y 0 12 曲线 y ln x ax 在 x 2 处的切线与直线 ax y 1 0 平行 则实数 a 解析 因为 y ln x ax 所以 y a 因此其图象在 x 2 处的切线斜率为 1 x k a 1 2 又曲线 y ln x ax 在 x 2 处的切线与直线 ax y 1 0 平行 所以 a a 因此 a 1 2 1 4 故答案为 1 4 答案 1 4 三 解答题 13 求下列函数的导数 1 y sin x 2x2 2 y cos
16、 x ln x 3 y ex sin x 解析 1 y sin x 2x2 sin x 2x2 cos x 4x 2 y cos x ln x cos x ln x cos x ln x sin x ln x cos x x 3 y ex sin x ex sin x ex sin x sin 2x ex sin x ex cos x sin2x ex sin x cos x sin2x 14 设函数 f x x3 a 1 x2 ax 若 f x 为奇函数 求曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方 程 解析 因为函数 f x 是奇函数 所以 a 1 0 解得 a 1 所以 f x x3 x f x 3x2 1 所以 f 0 1 f 0 0 所以曲线 y f x 在点 0 0 处的切线方程为 y f 0 f 0 x 化简可得 y x 能力提升 15 求下列函数的导数 1 y lg x 1 x2 2 y x 1 x 1 3 y x 1 x 2 x 3 解析 1 y lg x lg x 1 x2 1 x2 1 xln 10 2 x3 2 法一 y x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
