《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.2空间向量与垂直关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.2空间向量与垂直关系（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 第二课时第二课时 空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系 填一填 空间垂直关系的向量表示 设直线 l m 的方向向量分别为 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 平面 的法向量 分别为 u u1 u2 u3 v v1 v2 v3 则 位置关系向量关系向量运算关系坐标关系 l ma b a b 0a1b1 a2b2 a3b3 0 l a u a u R a1 u1 a2 u2 a3 u 3 u v u v 0u1v1 u2v2 u3v3 0 判一判 1 若两直线方向向量的数量积为 0 则这两条直线一定垂直相交 2 若一直线与平面垂直 则该直线
2、的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量 积为 0 3 两个平面垂直 则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量 垂直 4 若点 A B 是平面 上的任意两点 n 是平面 的法向量 则 n 0 AB 5 若向量 n1 n2为平面 的法向量 则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一 定平行 6 一个平面的法向量有无限多个 它们互相平行 7 如果一个向量与平面内两个向量垂直 则此向量是平面的一个法向量 8 给定一点 A 和一个向量 a 那么 过点 A 以向量 a 为法向量的平面是确定的 想一想 1 确定直线方向向量的两种方法是什么 一是用空间一个基底表示 二是建立空间直角坐标
3、系 写出方向向量的坐标 2 用向量法证明空间的线 面垂直关系的关键是什么 需要确定直线的方向向量和平面的法向量 然后把证明线 面的垂直关系转化为向量间 的关系 3 用向量法证明线面垂直的方法及步骤是什么 1 基向量法 确定基向量作为空间的一个基底 用基向量表示有关直线的方向向量 找出平面内两条相交直线的方向向量 并分别用基向量表示 分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积 根据数量积为 0 证得线线垂直 然后由线面垂直的判定定理得出结论 2 坐标法 方法一 建立空间直角坐标系 将直线的方向向量用坐标表示 找出平面内两条相交直线 并用坐标表示它们的方向向量 分别计算两组向量的
4、数量积 得到数量积为 0 方法二 建立空间直角坐标系 将直线的方向向量用坐标表示 求出平面的法向量 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 思考感悟 练一练 1 若 n 2 3 1 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是 A 0 3 1 B 2 0 1 C 2 3 1 D 2 3 1 答案 D 2 已知两直线的方向向量分别为 a b 则下列选项中能使两直线垂直的为 A a 1 0 0 b 3 0 0 B a 0 1 0 b 1 0 1 C a 0 1 1 b 0 1 1 D a 1 0 0 b 1 0 0 答案 B 3 若直线 l 的方向向量为 a 1 0 2 平面 的法向量
5、为 2 0 4 则 A l B l C l D l 与 斜交 答案 B 4 已知直线 l 与平面 垂直 直线 l 的一个方向向量为 u 1 3 z 向量 v 3 2 1 与平面 平行 则 z 等于 A 3 B 6 C 9 D 9 答案 C 知识点一向量法处理线线垂直问题 1 已知空间三点 A 0 0 1 B 1 1 1 C 1 2 3 若直线 AB 上一点 M 满足 CM AB 则点 M 的坐标为 解析 设 M x y z 1 1 0 x y z 1 由题意知 AB AM x y z 1 1 1 0 AM AB x y z 1 则 M 1 1 2 4 CM 1 1 2 1 4 0 0 解得 M
6、 CM AB 1 2 1 2 1 2 1 答案 1 2 1 2 1 2 如图 ABC 中 AC BC D 为 AB 边中点 PO 平面 ABC 垂足 O 在 CD 上 求 证 AB PC 解析 设 a b v CA CB OP 由条件知 v 是平面 ABC 的法向量 所以 v a 0 v b 0 因为 D 为 AB 中点 所以 a b CD 1 2 因为 O 在 CD 上 所以存在实数 使 a b 因为 CA CB 所以 a b CO CD 2 所以 b a a b b a b a v b 2 a 2 AB CP 2 a b v 2 2 b v a v 0 所以 所以 AB PC AB CP
7、知识点二向量法处理线面垂直问题 3 已知 1 5 2 3 1 z 若 x 1 y 3 且 BP 平面 AB BC AB BC BP ABC 则实数 x y z 分别为 A 4 B 4 33 7 15 7 40 7 15 7 C 2 4 D 4 15 40 7 40 7 解析 AB BC 0 AB BC 即 1 3 5 1 2 z 0 z 4 3 1 4 BC BP 平面 ABC Error Error 即Error Error 解得 x y 40 7 15 7 综上 x y z 4 40 7 15 7 答案 B 4 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F 分别是棱 BC DD1
8、上的点 如果 B1E 平面 ABF 则 CE 与 DF 的长度之和为 解析 分别以直线 D1A1 D1C1 D1D 为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 设 CE x DF y 则 E x 1 1 F 0 0 1 y A 1 0 1 B1 1 1 0 所以 1 0 y AF x 1 0 1 又 B1E 平面 ABF 所以 B1E AF 即 0 所以 x y 1 B1E B1E AF 答案 1 知识点三向量法处理面面垂直 5 在四面体 ABCD 中 AB 平面 BCD BC CD BCD 90 ADB 30 E F 分 别是 AC AD 的中点 求证 平面 BEF 平面 ABC 证明 以
9、 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设 A 0 0 a 则易得 B 0 0 0 C D 0 a 0 E F 故 0 0 a 3 2 a 3 2 a 0 3 3 4 a 3 4 a a 2 0 3 2 a a 2 AB BC 3 2 a 3 a a 0 设平面 ABC 的法向量为 n1 x1 y1 z1 则Error Error 即Error Error 取 x1 1 n1 1 1 0 为平面 ABC 的一个法向量 设 n2 x2 y2 z2 为平面 BEF 的一个法向量 同理可得 n2 1 1 n1 n2 1 1 0 1 1 0 平面 BEF 平面 ABC 33 6 如图 在正方体 AB
10、CD A1B1C1D1中 O 是 AC 的中点 G 是 BB1的中点 E 是线段 D1O 上一点 且 D1E 2EO 求证 1 DG AC 2 DB1 平面 CD1O 3 平面 CDE 平面 CD1O 解析 不妨设正方体的棱长为 1 以 DA DC DD1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 0 B1 1 1 1 O C 0 1 0 1 2 1 2 0 D1 0 0 1 G 1 1 1 2 1 1 1 0 DG 1 1 1 2 AC 1 1 0 0 DG AC DG AC DG AC 2 1 1 1 0 1 1 DB1 CD1 O
11、C 1 2 1 2 0 1 0 1 1 DB1 CD1 1 1 0 1 1 1 0 0 DB1 CD1 DB1 OC DB1 OC 1 2 1 2 CD1 OC C DB1 平面 CD1O 3 由 2 知平面 CD1O 的一个法向量为 1 1 1 DB1 D1E 2EO D1E 2 3D1O 2 3 1 2 1 2 1 1 3 1 3 2 3 E 设 n x1 y1 z1 是平面 CDE 的法向量 由Error Error 得 1 3 1 3 1 3 DE 1 3 1 3 1 3 Error Error 令 x1 1 得 n 1 0 1 是平面 CDE 的一个法向量 又 n 1 0 1 1 1
12、 1 1 1 0 DB1 n 平面 CDE 平面 CD1O DB1 综合应用 7 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点 如果 2 1 4 AB 4 2 0 1 2 1 对于结论 AP AB AP AD 是平面 ABCD 的 AD AP AP 法向量 其中正确的是 填序号 AP BD 解析 1 2 1 2 1 4 1 2 2 1 1 4 AP AB 0 AP AB 即 正确 1 2 1 4 2 0 1 4 2 2 1 AP AD 0 0 AP AD 即 正确 又 AB AD A AP 平面 ABCD 即是平面 ABCD 的 AP 一个法向量 正确 是平面 ABCD 的法向量 不正
13、确 AP AP BD 答案 8 在直角坐标系 O xyz 中 已知点 P 2cos x 1 2cos 2x 2 0 和点 Q cos x 1 3 其 中 x 0 若直线 OP 与直线 OQ 垂直 则 x 的值为 解析 由 OP OQ 得 0 OP OQ 即 2cos x 1 cos x 2cos 2x 2 1 0 cos x 0 或 cos x 1 2 x 0 x 或 x 2 3 答案 或 2 3 基础达标 一 选择题 1 若平面 的法向量分别为 m n 则 1 6 1 3 1 1 2 1 3 A B C 与 相交但不垂直 D 或 与 重合 解析 n 3m m n 或 与 重合 答案 D 2
14、已知平面 内有一个点 A 2 1 2 的一个法向量为 n 3 1 2 则下列点 P 中 在平面 内的是 A 1 1 1 B 1 3 3 2 C D 1 3 3 2 1 3 3 2 解析 若点 P 在平面 内 则 PA 即 n 0 对于选项 A 1 0 1 PA PA 则 n 1 0 1 3 1 2 5 0 故排除 A 对于选项 B 则 n PA PA 1 4 1 2 PA 3 1 2 0 故 B 正确 同理可排除 C D 1 4 1 2 答案 B 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 a M N 分别为 A1B AC 的中点 则 MN 与 平面 BB1C1C 的位置关系是 A 相
15、交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 解析 建系如图 设正方体的棱长为 2 则 A 2 2 2 A1 2 2 0 C 0 0 2 B 2 0 2 M 2 1 1 N 1 1 2 1 0 1 MN 又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 n MN 平面 BB1C1C 故选 B MN 答案 B 4 在菱形 ABCD 中 若是平面 ABCD 的法向量 则以下等式中可能不成立的是 PA A 0 B 0 PA AB PC BD C 0 D 0 PC AB PA CD 解析 PA 平面 ABCD BD PA 又 AC BD PC BD 故选项 B 正确 选项 A
16、和 D 显然成立 故选 C 答案 C 5 已知点 A 0 1 0 B 1 0 1 C 2 1 1 P x 0 z 若 PA 平面 ABC 则点 P 的 坐标为 A 1 0 2 B 1 0 2 C 1 0 2 D 2 0 1 解析 由题意知 1 1 1 2 0 1 x 1 z 又因为 PA 平 AB AC AP 面 ABC 所以有 1 1 1 x 1 z 0 得 x 1 z 0 AB AP 2 0 1 x 1 z 0 得 2x z 0 AC AP 联立 得 x 1 z 2 故点 P 的坐标为 1 0 2 答案 C 6 四菱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 2 1 4 4 2 0 AB AD 1 2 1 则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是 AP A 平行 B 垂直 C 在平面内 D 成 60 角 解析 2 1 2 1 1 4 0 AB AP 4 1 2 2 0 1 0 AD AP 又 AB 底面 ABCD AD 底面 ABCD AB AD A AP 底面 ABCD 故选 B 答案 B 7 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别在 A1D AC 上 且
