《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：综合测试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：综合测试卷（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 1 综合测试卷综合测试卷 一 选择题 1 设 m n 为非零向量 则 存在负数 使得 m n 是 m n 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 0 使 m n 则两向量 m n 反向 夹角是 180 那么 m n m n cos 180 m n 0 若 m n 0 那么两向量的夹角为 90 180 并不一定反向 即不一定存 在负数 使得 m n 所以是充分而不必要条件 故选 A 答案 A 2 下列判断正确的是 A 若 a2 b2 则 a0 2019x 2019 0 的否定是 x0 0 2019x0 2019 0 解析 对于
2、 A 选项 若 a2 b2 则 a0 2019x 2019 0 的否定是 x0 0 2019x0 2019 0 D 选项中的命题错误 故选 C 答案 C 3 命题 p x0 R x 2 0 命题 q x R 0 为真命题 命题綈 p x R x 2 0 为假命题 命题 q x R 0 b0 b 0 的一条渐近线的倾斜角为 30 则其离心率的值为 x2 a2 y2 b2 A 2 B 2 2 C D 2 3 3 3 2 2 解析 由于双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线为 y x 而倾斜角为 30 故 tan x2 a2 y2 b2 b a b a 30 因此 即 则 e 故选 C 3 3 b2
3、a2 c2 a2 a2 1 3 c2 a2 4 3 2 3 3 答案 C 10 若双曲线 C x2 1 的离心率大于 2 则该双曲线的虚轴长的取值范围是 y2 b2 A 1 2 B 2 3 C 1 D 2 22 解析 双曲线 C x2 1 a2 1 可得 a 1 c y2 b21 b2 双曲线 C x2 1 的离心率大于 2 2 解之得 b y2 b2 1 b2 13 双曲线的虚轴长 2b 2 故选 B 3 答案 B 11 已知 O 为坐标原点 点 F1 F2分别为椭圆 C 1 的左 右焦点 A 为椭圆 x2 4 y2 3 C 上的一点 且 AF2 F1F2 AF1与 y 轴交于点 B 则 O
4、B 的值为 A B 3 2 3 4 C D 5 2 5 3 解析 如下图所示 由 AF2 F1F2可知 AF1 OB 且 AF2 为椭圆的半通径 O 为 F1F2中点 OB 为 AF1F2的中位线 OB AF2 1 2 又 AF2 OB 本题正确选项为 B b2 a 3 2 3 4 答案 B 12 如图 F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 以坐标原点 O 为圆 x2 a2 y2 b2 心 OF1 为半径的圆与该双曲线左支交于 A B 两点 若 F2AB 是等边三角形 则双曲线的 离心率为 A 1 B 33 C 2 D 1 3 解析 连结 AF1 F1F2是圆 O 的直径 F
5、1AF2 90 即 F1A AF2 又 F2AB 是等边三角形 F1F2 AB AF2F1 AF2B 30 1 2 因此 Rt F1AF2中 F1F2 2c F1A F1F2 c F2A F1F2 c 1 2 3 23 根据双曲线的定义 得 2a F2A F1A 1 c 解得 c 1 a 33 双曲线的离心率为 e 1 c a3 故选 D 答案 D 二 填空题 13 已知直线 l 的一个方向向量 d 4 3 1 平面 的一个法向量 n m 3 5 且 l 则 m 解析 由题意可得 d n 则 4m 9 5 0 解得 m 1 答案 1 14 直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 a b c 则
6、CA CB CC1 BA1 解析 直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 a b c CA CB CC1 CC1 a b c BA1 BA AA1 CA CB 故答案为 a b c 答案 a b c 15 设 F1 F2是双曲线 1 的两个焦点 P 是该双曲线上一点 且 x2 5 y2 4 PF1 PF2 2 1 则 PF1F2的面积等于 解析 由于 1 因此 a c 3 故 F1F2 2c 6 由于 PF1 PF2 2 1 x2 5 y2 45 即 PF1 2 PF2 而 PF1 PF2 2a 2 所以 PF1 4 PF2 2 cos F1PF2 555 所以 sin F1PF2 因此 S P
7、F1F2 PF1 PF2 sin F1PF2 12 PF2 1 PF2 2 F1F2 2 2PF1 PF2 4 5 3 5 1 2 答案 12 16 过点 3 0 的直线与抛物线 y2 6x 的两交点为 A B 与 y 轴的交点为 C 若 3 则 AB AB BC 解析 设 AB 方程为 y k x 3 A x1 y1 B x2 y2 C 0 3k x2 x1 y2 y1 x2 3k y2 AB BC 3 x1 4x2 由Error Error 得 k2x2 6k2 6 x 9k2 0 AB BC x1 x2 x1x2 9 4x 9 x2 6k2 6 k22 2 3 2 k2 4 6k2 6
8、k2 15 2 AB 1 k2 x1 x2 2 9 5 2 答案 9 5 2 三 解答题 17 已知 a 0 设 p 实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 q 实数 x 满足 x 3 0 得 x a x 3a 0 a x 3a 当 a 1 时 1 x 3 即 p 为真时 实数 x 的取值范围是 1 x 3 由 x 3 1 得 2 x 4 即 q 为真时 实数 x 的取值范围是 2 x0 得 x a x 3a 0 所以 p 为真时实数 x 的取值范围是 a x 3a 因为 p 是 q 的必要不充分条件 所以 a 2 且 4 3a 所以实数 a 的取值范围为 4 3 2 18 如图所示 四边形
9、 ABCD 为菱形 且 ABC 120 AB 2 BE DF 且 BE DF DF 平面 ABCD 3 1 求证 平面 ABE 平面 ABCD 2 求平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值 解析 1 BE DF DF 平面 ABCD BE 平面 ABCD 又 BE 平面 ABE 平面 ABE 平面 ABCD 2 设 AC 与 BD 的交点为 O 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 则 A 0 0 B 0 1 0 E 0 1 F 0 1 333 0 2 0 1 1 0 EF AE 33 AB 3 设平面 AEF 的法向量为 n1 x1 y1 z1 则Error Error 即E
10、rror Error 令 x1 1 则 y1 0 z1 0 n1 1 0 1 设平面 ABE 的法向量为 n2 x2 y2 z2 则Error Error 即Error Error 令 x2 1 则 y2 z2 0 n2 1 0 33 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 1 2 2 2 4 sin n1 n2 14 4 平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值为 14 4 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AD BC AD CD 且 AD CD 2 BC 4 PA 4 22 1 求证 AB PC 2 在线段 PD 上 是否存在一点 M 使得二面角
11、M AC D 的大小为 45 如果存在 求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值 如果不存在 请说明理由 解析 1 AD CD 2 BC 4 AB AC 4 AB AC 22 PA 平面 ABCD AB PA AB 平面 PAC PC 平面 PAC AB PC 2 以 A 为原点 以过 A 平行于 CD 的直线为 x 轴 AD AP 所在直线分别为 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 0 0 0 P 0 0 4 B 2 2 0 D 0 2 0 222 C 2 2 0 设 0 b 0 过点 1 且离心率为 x2 a2 y2 b22 2 2 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在
12、过点 P 0 3 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 且满足 2 若存在 PB PA 求出直线 l 的方程 若不存在 请说明理由 解析 1 由已知点代入椭圆方程得 1 2 a2 1 b2 由 e 得 可转化为 a2 2b2 由以上两式解得 a2 4 b2 2 2 2 c a 2 2 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 2 2 存在这样的直线 当 l 的斜率不存在时 显然不满足 2 PB PA 所以设所求直线方程 l y kx 3 代入椭圆方程化简得 1 2k2 x2 12kx 14 0 x1 x2 x1x2 12k 1 2k2 14 1 2k2 12k 2 4 14 1 2k
13、2 0 k2 7 4 设所求直线与椭圆相交两点 A x1 y1 B x2 y2 由已知条件 2可得 x2 2x1 PB PA 综合上述 式子可解得 k2 符合题意 7 2 7 4 所以所求直线方程为 y x 3 14 2 21 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 平面 PAD 平面 ABCD M 点在线段 PB 上 PD 平面 MAC PA PD AB 4 6 1 求证 M 为 PB 的中点 2 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 解析 1 证明 如图 设 AC BD O ABCD 为正方形 O 为 BD 的中点 连接 OM PD 平面 MAC PD 平面 P
14、BD 平面 PBD 平面 AMC OM PD OM 则 即 M 为 PB 的中点 BO BD BM BP 2 解 取 AD 中点 G PA PD PG AD 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD AD PG 平面 ABCD 则 PG AD 连接 OG 则 PG OG 由 G 是 AD 的中点 O 是 AC 的中点 可得 OG DC 则 OG AD 以 G 为坐标原点 分别以 GD GO GP 所在直线为 x y z 轴距离空间直角坐标系 由 PA PD AB 4 得 D 2 0 0 A 2 0 0 P 0 0 C 2 4 0 B 2 4 0 M 62 2 0 4 4 0
15、 1 2 2 2 DP 2 DB 设平面的一个法向量为 m x y z 则由Error Error 得Error Error 取 z 得 m 1 1 22 CM 3 2 2 2 直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 cos m CM CM m CM m 4 9 4 1 2 2 2 6 9 22 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 1 a b 0 的焦距为 2 且过点 x2 a2 y2 b2 2 6 2 1 求椭圆 C 的方程 2 P M N 是 C 上不同的三点 若直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为 证明 3 4 M N 两点的横坐标之和为常数 解析 1 由题意椭圆 C 1 a
16、 b 0 的焦距为 2 且过点 x2 a2 y2 b2 2 6 2 所以 c 1 1 解得 a 2 b 所以椭圆 C 的标准方程为 1 2 a2 3 2 b23 x2 4 y2 3 2 设 P M N 三点坐标分别为 xP yP xM yM xN yN 设直线 PM PN 斜率分别为 k1 k2 则直线 PM 方程为 y yP k1 x xP 由方程组Error Error 消去 y 得 3 4k x2 8k1 k1xP yP x 4k x 8k1xPyP 4y 12 0 2 12 1 2 P2 P 由根与系数关系可得 xM xP 8k1 k1xP yP 3 4k2 1 故 xM xP 8k1 k1xP yP 3 4k2 1 4k2 1xP 8k1yP 3xP 3 4k2 1 同理可得 xN xP 8k2 k2xP yP 3 4k2 2 又 k1 k2 3 4 故 xN xP 8k2 k2xP yP 3 4k2 2 8 3 4k1 3 4k1xP yP 3 4 3 4k1 2 6xP 8k1yP 4k2 1 3 则 xN xP xM 从而 xN xM 0 6xP 8k1yP 4k2 1
