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1、2 2 2 反证法反证法 填一填 1 反证法 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛 盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 2 反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设 矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 判一判 1 反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 想一想 1 反证法的一般步骤是什么 提示 第一步 写出与命题结论 q 相矛盾的假设非 q 第二步 由非 q 出发 应用正确的推理
2、 得出矛盾 第三步 断定产生矛盾的原因在于所作的假设非 q 不成立 于是原结论 q 成立 从而间 接地证明了命题 2 反证法解题的实质是什么 提示 反证法实质是否定结论 导出矛盾 从而证明原结论正确 由四种命题的相互关系可知 原命题 若 p 则 q 与命题 若非 q 则非 p 互为逆否 命题 具有同真同假性 即等价性 根据这一结论 要证原命题 若 p 则 q 为真 可以 改证逆否命题 若非 q 则非 p 为真 这种证明方法即为反证法 也就是说 若非 q 即否 定结论 假设结论的反面成立 则非 p 经过推理论证 得出与题设条件相矛盾的结论 从 而根据等价性原则 肯定原命题成立 3 用反证法证题需
3、要把握哪些 提示 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一 种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以与已知矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾 但推导出的矛盾必须是明显的 4 反证法适用范围主要有哪些方面 提示 一般地 以下几种情况宜用反证法 结论本身是以否定形式出现的命题 结论是 以 至多 至少 形式出现的命题 关于唯一性 存在性的问题 或结论的反面要比原命 题更易证明的命题等等 证明时
4、常见的 结论词 与 反设词 结论词 至少有 一个 至多有 一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成 立 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或 q 非 p 且 非 q 反设词 一个也 没有 至少有 两个 存在某 个 x0不 成立 存在某 个 x0 成立 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 p 且 q 非 p 或 非 q 思考感悟 练一练 1 以下各数不能构成等差数列的是 A 3 4 5 B 235 C 3 6 9 D 222 解析 假设 成等差数列 则 2 即 12 7 2 此等式不成立 23532510 故 不能构成等差数列 235 答案 B 2 异面直线在同一个平面上的射影不可能是 A
5、 两条平行直线 B 两条相交直线 C 一个点与一条直线 D 同一条直线 解析 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 A1A 与 B1C1是两条异面直线 它们在 平面 ABCD 内的射影分别是点 A 和直线 BC 故排除 C BA1与 B1C1是两条异面直线 它们 在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 BC 故排除 B BA1与 C1D1是两条异面直线 它们 在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 CD 故排除 A 项 故选 D 答案 D 3 由四种命题的关系可知 反证法的实质是通过 来证明原命题的正确性 答案 逆否命题 4 用反证法证明命题 若 a b 是实数 且
6、 a 1 b 1 0 则 a b 1 时 应作 的假设是 解析 结论 a b 1 的含义是 a 1 且 b 1 故其否定应为 a 1 或 b 1 答案 a 1 或 b 1 知识点一反证法的概念 1 反证法是 A 从结论的反面出发 推出矛盾的证法 B 对其否命题的证明 C 对其逆命题的证明 D 分析法的证明方法 解析 由反证法的定义可知 A 项正确 故选 A 答案 A 2 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 A B C D 解析 根据反证法的基本思想 应用反证法推出矛盾的推导过程中应把 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义
7、等作为条件使用 答案 C 知识点二反证法的步骤 3 有下列叙述 a b 的反面是 ay 或 x2 则 p 2 q p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将 p3 q3 2 代入得 6q2 12q 6 0 q 1 22 q 1 20 与 x2 y2 0 矛盾 2 x 0 y 0 则 x2 y2 0 与 x2 y2 0 矛盾 3 x 0 y 0 则 x2 y2 0 与 x2 y2 0 矛盾 故假设不成立 则 x y 全为零 基础达标 一 选择题 1 证明 在 ABC 中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 A 三角形中至少有一个直角或钝角 B 三角形中至少有两个直角或钝角 C 三角形中没有直角
8、或钝角 D 三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B 2 否定 自然数 a b c 中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c 都是偶数 B a b c 都是奇数 C a b c 中至少有两个偶数 D a b c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析 自然数 a b c 的奇偶性共有四种情形 3 个都是奇数 1 个偶数 2 个奇数 2 个 偶数 1 个奇数 3 个都是偶数 所以否定 自然数 a b c 中恰有一个偶数 时 正确的反 设为 a b c 中都是奇数或至少有 2 个偶数 答案 D 3 命题 关于 x 的方程 ax b a 0 的解是唯一的 的结论的否定是 A 无解 B 两解 C 至少
9、两解 D 无解或至少两解 解析 唯一 的意思是 有且只有一个 其反面是 没有或至少有两个 答案 D 4 M 不是 N 的子集 的充分必要条件是 A 若 x M 则 x N B 若 x N 则 x M C 存在 x1 M 且 x1 N 又存在 x2 M 但 x2 N D 存在 x0 M 但 x0 N 解析 按定义 若 M 是 N 的子集 则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素 所以要 使 M 不是 N 的子集 只需存在 x0 M 但 x0 N 即可 答案 D 5 有下列说法 a b 的反面是 ay 或 x y 三角形的外心在三角形外 的反面是 三角形的外心在三角形内 其中正确的说法有 A
10、0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 错误 应为 a b 正确 错误 应为三角形的外心在三角形内或三角形的 边上 答案 B 6 已知数列 an bn 的通项公式分别为 an an 2 bn bn 1 a b 是常数 且 a b 那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无穷多个 解析 假设存在序号和数值均相等的项 即存在 n 使得 an bn 由题意 a b n N 则恒有 an bn 从而 an 2 bn 1 恒成立 不存在 n 使得 an bn 答案 A 7 若实数 a b c 满足 a 2b c 2 则 A a b c 都是正数 B
11、a b c 都大于 1 C a b c 都小于 2 D a b c 中至少有一个不小于 1 2 解析 假设 a b c 均小于 则 a 2b c2 a2 b2 2 其中能推出 a b 中至少有一个大于 1 的条件是 填序号 答案 11 设实数 a b c 满足 a b c 1 则 a b c 中至少有一个数不小于 解析 假设 a b c 都小于 则 a b c 1 与 a b c 1 矛盾 故 a b c 中至少有 1 3 一个不小于 1 3 答案 1 3 12 若两个方程 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 中至少有一个方程有实根 则实数 a 的取值范围是 解析 假设两个一元
12、二次方程均无实根 则有Error Error 即Error Error 解得 2 a f x 在区间 a b 上单调递增 f f 这与 f f 0 矛盾 f x 0 在区间 a b 上至多有一个实根 14 已知非零实数 a b c 构成公差不为 0 的等差数列 求证 不可能构成等差 1 a 1 b 1 c 数列 证明 假设 成等差数列 则 1 a 1 b 1 c 2 b 1 a 1 c 2ac bc ab 又 a b c 成等差数列 2b a c 2ac b a c b 2b b2 ac 由 得 4b2 a c 2 把 代入上式得 4ac a c 2 a c 2 0 a c 把 a c 代入
13、得 b a 故 a b c 公差为 0 这与已知矛盾 不可能成等差数列 1 a 1 b 1 c 能力提升 15 用反证法证明 钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半 解析 如图 已知 ABC 中 BAC 90 D 是 BC 边的中点 求证 AD BC 因为 BD DC BC 所以在 ABD 中 AD BD 从而 B BAD 同 1 2 1 2 理 C CAD 所以 B C BAD CAD 即 B C BAC 因为 B C 180 BAC 所以 180 BAC BAC 则 BAC 90 与题设矛盾 由 知 AD BC 1 2 16 对于直线 l y kx 1 是否存在这样的实数 k 使得 l 与双曲线 C 3x2 y2 1 的 交点 A B 关于直线 y ax a 为常数 对称 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 解析 假设存在实数 k 使得 A B 关于直线 y ax 对称 设 A x1 y1 B x2 y2 则 Error Error 由Error Error 3 k2 x2 2kx 2 0 由 得 a x1 x2 k x1 x2 2 由 知 x1 x2 2k 3 k2 代入 整理得 ak 3 与 矛盾 故不存在实数 k 使得 A B 关于直线 y ax 对称
