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1、2 1 1 合情推理合情推理 填一填 1 归纳推理 1 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 2 特征 由部分到整体 由个别到一般 2 类比推理 1 定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 2 特征 由特殊到特殊的推理 3 合情推理 1 定义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再 进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 简言之 合情推理就 是 合乎情理 的推理 2
2、 推理的过程 从具体问题出发观察 分析 比较 联想 归纳 类比提出猜想 判一判 1 由个别到一般的推理为归纳推理 解析 符合归纳推理的特征 故正确 2 类比推理得到的结论可作为定理应用 解析 类比得到的结论不一定是正确的 故错误 3 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 这种估计属于归纳推理 解析 符合由特殊到一般的特征 故正确 4 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 解析 平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适 故错误 5 由此猜想 0 则由 dn n N 构造的新数列 dn 也是等比数列 解析 由等差 等比数列的性质易知 等差数列 等比数
3、列在运算上具有相似性 等差 数列与等比数列的类比是和与积 倍与乘方 商与开方的类比 由此猜想 dn n N n c1c2c3 cn 答案 n c1c2c3 cn 知识点一归纳推理 1 数列 2 5 11 20 x 47 中的 x 等于 A 28 B 32 C 33 D 27 解析 由前几个数字可归纳出此列数字为 2 5 11 20 32 47 答案为 B 项 答案 B 2 观察下列各等式 2 2 2 2 2 4 6 6 4 5 5 4 3 3 4 7 7 4 1 1 4 10 10 4 2 依照以上各式成立的规律 得到一般性的等式为 2 2 4 A 2 n n 4 8 n 8 n 4 B 2
4、n 1 n 1 4 n 1 5 n 1 4 C 2 n n 4 n 4 n 4 4 D 2 n 1 n 1 4 n 5 n 5 4 解析 观察发现 每个等式的右边均为 2 左边是两个分数相加 分子之和等于 8 分 母中被减数与分子相同 减数都是 4 因此只有 A 项正确 答案 A 3 如图所示 图 1 是棱长为 1 的小正方体 图 2 图 3 是由这样的小正方体摆放而 成 按照这样的方法继续摆放 自上而下分别叫第 1 层 第 2 层 第 n 层 第 n 层的小 正方体的个数记为 Sn 解答下列问题 1 按照要求填表 n1234 Sn136 2 S10 解析 S1 1 S2 3 1 2 S3 6
5、 1 2 3 推测 S4 1 2 3 4 10 S10 1 2 3 10 55 答案 1 10 2 55 4 在平面内观察 凸四边形有 2 条对角线 凸五边形有 5 条对角线 凸六边形有 9 条 对角线 由此猜想凸 n 边形有几条对角线 解析 因为凸四边形有 2 条对角线 凸五边形有 5 条对角线 比凸四边形多 3 条 凸六 边形有 9 条对角线 比凸五边形多 4 条 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸 n 1 边 形多 n 2 条对角线 由此凸 n 边形的对角线条数为 2 3 4 5 n 2 由等差数列 求和公式可得 n n 3 n 4 n N 所以凸 n 边形的对角线条数为 n n 3
6、n 4 n N 1 2 1 2 知识点二类比推理 5 由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则 mn nm 类比得到 a b b a m n t mt nt 类比得到 a b c a c b c m n t m n t 类比得到 a b c a b c t 0 mt xt m x 类比得到 p 0 a p x p a x m n m n 类比得到 a b a b 类比得到 ac bc a b a c b c a b 其中类比结论正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由向量的有关运算法则知 正确 都不正确 故选 B 答案 B 6 类比三角形中的性质 1 两边之和大于第三边
7、2 中位线长等于底边长的一半 3 三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质 1 任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 2 过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的 1 4 3 四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有 A 1 B 1 2 C 1 2 3 D 都不对 解析 以上类比推理方法都正确 需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理 方法是否正确并不等价 方法正确结论也不一定正确 答案 C 7 我们知道 在平面内 点 x0 y0 到直线 Ax By C 0 的距离公式为 d 通过类比的方法 可求得在空间中 点 2 4 1 到平面 x
8、 2y 2z 3 0 的距离 Ax0 By0 C A2 B2 为 A 3 B 5 C D 3 5 21 75 解析 类比点 P x0 y0 到直线 Ax By C 0 的距离公式 d 可知在空 Ax0 By0 C A2 B2 间中 点 P x0 y0 z0 到平面 Ax By Cz D 0 的距离 d 点 2 4 1 到 Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2 平面 x 2y 2z 3 0 的距离 d 5 2 8 2 3 1 4 4 答案 B 8 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 则 cos2 cos2 1 在立体几何中 通过类比 给出猜想并证明 解析 如图 在
9、矩形 ABCD 中 cos2 cos2 2 2 1 a c b c a2 b2 c2 c2 c2 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则 cos2 cos2 cos2 1 证明如下 如图 cos2 cos2 cos2 2 2 2 1 m l n l g l m2 n2 g2 l2 l2 l2 基础达标 一 选择题 1 已知扇形的弧长为 l 半径为 r 类比三角形的面积公式 S 可推知扇形的 底 高 2 面积 S扇 A B r2 2 l2 2 C D 不可类比 lr 2 答案 C 2 由 若 a b 则 a c b c 得到 若 a b 则 ac bc 采用的是 A
10、 归纳推理 B 演绎推理 C 类比推理 D 数学证明 答案 C 3 定义 A B B C C D D A 的运算分别对应图中的 那么图中的 所对 应的运算结果是 A B D A D B B D A C C B C A D D C D A D 解析 由图中 得 A 表示 B 表示 C 表示 D 表示 故 图中 所对应的运算结果分别为 B D 和 A C 故选 B 答案 B 4 观察下列各式 72 49 73 343 74 2 401 则 72 018的末两位数字为 A 01 B 43 C 07 D 49 解析 因为 71 7 72 49 73 343 74 2 401 75 16 807 76
11、117 649 所以这些数的末两位数字呈周期性出现 且周期 T 4 又 2 018 4 504 2 所以 72 018的末两位数字与 72的末两位数字相同 为 49 答案 D 5 有两种花色的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是 A 26 B 31 C 32 D 36 解析 方法一 有菱形纹的正六边形个数如下表 图案123 个数61116 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项 以 5 为公差的等差 数列 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6 5 6 1 31 方法二 由图案的排列规律可知 除第一块无纹正六边形
12、需 6 块有纹正六边形围绕 第一 个图案 外 每增加一块无纹正六边形 只需增加 5 块菱形纹正六边形 每两块相邻的无纹正 六边形之间有一块 公共 的菱形纹正六边形 故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数 为 6 5 6 1 31 故选 B 答案 B 6 n 个连续自然数按规律排列 如图所示 根据规律 从 2 016 到 2 018 箭头的方向依次是 A B C D 解析 观察数字排列的规律知 位置相同的数字是以 4 为公差的等差数列 故可知从 2 016 到 2 018 的箭头的方向依次为 故选 A 答案 A 7 设 n 棱柱有 f n 个对角面 则 n 1 棱柱的对角面的个数 f n 1 等
13、于 A f n n 1 B f n n C f n n 1 D f n n 2 解析 对于 n 棱柱 由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面 所 以过每一条侧棱可确定 n 3 个对角面 所以过 n 条侧棱可确定 n n 3 个对角面 又因为这 些对角面相互之间重复计算了 所以过 n 条侧棱共可确定个对角面 所以可得 f n 1 n n 3 2 f n n 1 故 f n 1 f n n 1 故选 C n 1 n 1 3 2 n n 3 2 答案 C 二 填空题 8 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 则 将命题类比到四面体中去 得到 AD 1 2AB AC 一个命题为 解析
14、平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心 顶点与中点的连线类比顶点 和重心的连线 答案 在四面体 A BCD 中 G 是 BCD 的重心 则 AG 1 3 AB AC AD 9 在平面直角坐标系 xOy 中 二元一次方程 Ax By 0 A B 不同时为 0 表示过原点的 直线 类似地 在空间直角坐标系 O xyz 中 三元一次方程 Ax By Cz 0 A B C 不同时 为 0 表示 解析 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面 因此应得到 在空间直角坐标系 O xyz 中 三元一次方程 Ax By Cz 0 A B C 不同时为 0 表示过原点的平面 答案 过原点的平面 10 观察
15、由火柴棒拼成的一系列图形 如图所示 第 n 个图形是由 n 个正方形组成 通过观察可以发现 在第 4 个图形中 火柴棒有 根 第 n 个图形中 火柴棒有 根 解析 第 1 个图形有 4 根火柴棒 第 2 个图形有 7 根火柴棒 第 3 个图形有 10 根火柴 棒 第 4 个图形有 13 根火柴棒 猜想第 n 个图形有 3n 1 根火柴棒 答案 13 3n 1 11 蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂巢的截面图 其中第 1 个图有 1 个蜂巢 第 2 个图有 7 个蜂巢 第 3 个图有 19 个蜂巢 按此规律 以 f n 表示第 n 个图的蜂巢总
16、数 则 f n 解析 由题可得 f 4 37 f 5 61 由于 f 2 f 1 7 1 6 f 3 f 2 19 7 2 6 f 4 f 3 37 19 3 6 f 5 f 4 61 37 4 6 因此 当 n 2 时 有 f n f n 1 6 n 1 所以 f n f n f n 1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 f 1 6 n 1 n 2 2 1 1 3n2 3n 1 又 f 1 1 3 12 3 1 1 所以 f n 3n2 3n 1 答案 3n2 3n 1 12 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 则 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类 比以上结论有 设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn 则 T4 成等比 T16 T12 数列 解析 等差数列类比于等比数列时 和类比于积 减法类比于除法 可得类比结论为 设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn 则 T4 成等比数列 T8 T4 T12 T8 T16 T12 答案 T8 T4 T12 T8 三 解答题 13 已知数列 an 的通项公式为 an n N 记 f n 1 a1 1 a2
