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1、2 1 1 曲线与方程曲线与方程 填一填 曲线的方程 方程的曲线 一般地 在直角坐标系中 如果某曲线 C 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上 的点与一个二元方程 f x y 0 的实数解建立了如下关系 曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 判一判 1 若以方程 f x y 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 则方程 f x y 0 即为曲线 C 的 方程 2 若曲线 C 上的点满足方程 F x y 0 则坐标不满足方程 F x y 0 的点不在曲线 C 上 3 方程 x y 2 0 是以 A 2 0
2、B 0 2 为端点的线段的方程 4 y2 x 与 y 表示同一条曲线 x 5 过点 P x0 y0 斜率为 k 的直线的方程是 k y y0 x x0 6 若点 P x0 y0 在曲线 f x y 0 上 则有 f x0 y0 0 7 以 A 0 1 B 1 0 C 1 0 为顶点的 ABC 的 BC 边上中线的方程是 x 0 8 点 A 1 2 B 2 3 C 3 10 都在方程 x2 xy 2y 1 0 表示的曲线上 想一想 1 是否所有曲线都有相应的方程 不一定 有的曲线有方程 有的曲线就没有方程 如图 随意画一条曲线 则求不出方 程与之对应 2 怎样判断方程是曲线的方程 判断方程是否是
3、曲线的方程 要从两个方面着手 一是检验曲线上点的坐标是否都适合 方程 二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 3 怎样理解曲线与方程的概念 1 从集合的角度来看 曲线可以看作由满足某些条件的点组成的集合 记作 C 一个二 元方程的解可以作为点的坐标 因此二元方程的解集也描述了一个点集 记作 F 那么定义中 的关系 指点集 C 是点集 F 的子集 关系 指点集 F 是点集 C 的子集 这样用集合相等的 概念来定义 曲线的方程 与 方程的曲线 为 C F 且 F C 故 F C 2 从对应的角度来看 曲线与方程定义的实质是平面曲线的点集 M p M 和方程 f x y 0 的解集 x y f
4、x y 0 之间的一一对应关系 如下所示 思考感悟 练一练 1 若曲线 C 的方程为 y x 1 x 5 则下列四点中在曲线 C 上的是 A 0 0 B 1 5 1 5 C 1 5 D 4 4 答案 D 2 方程 x2 xy x 表示的曲线是 A 一个点 B 一条直线 C 两条直线 D 一个点和一条直线 答案 C 3 直线 C1 x y 0 与直线 C2 x y 2 0 的交点坐标为 答案 1 1 4 若点 P 2 3 在曲线 x2 ky2 1 上 则实数 k 答案 1 3 知识点一曲线与方程的概念 1 已知坐标满足方程 f x y 0 的点都在曲线 C 上 那么 A 曲线 C 上的点的坐标都
5、适合方程 f x y 0 B 凡坐标不适合方程 f x y 0 的点都不在 C 上 C 不在 C 上的点的坐标必不适合方程 f x y 0 D 不在 C 上的点的坐标有些适合方程 f x y 0 有些不适合方程 f x y 0 解析 设满足方程 f x y 0 的点组成的集合 M 曲线 C 上的所有点组成集合 N 由题 意可知 M N 故选 C 答案 C 2 命题 以方程 f x y 0 的解为坐标的点都在曲线上 是命题 曲线 C 的方程是 f x y 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 根据曲线方程的概念 曲线 C 的方程是 f x
6、y 0 包含 曲线 C 上的点的坐标 都是这个方程 f x y 0 的解 和 以方程 f x y 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 两层 含义 故选 B 答案 B 知识点二曲线上的点与曲线方程的关系 3 已知曲线 C xy 3x ky 2 0 则当 k 时 曲线 C 经过点 2 1 解析 曲线 C 经过点 2 1 2 1 3 2 k 2 0 k 6 答案 6 4 已知点 A a 2 既是曲线 y mx2上的点 也是直线 x y 0 上的点 则 m 解析 根据点 A 在曲线 y mx2上 也在直线 x y 0 上 有Error Error 所以Error Error 答案 1 2 知识点三已知
7、方程判断曲线类型 5 方程 x y 1 0 所表示的曲线是 x2 y2 4 解析 原方程等价于Error Error 或 x2 y2 4 0 其中 当 x y 1 0 时 方程所表示的曲 线是在直线 x y 1 0 上且不包括落在圆 x2 y2 4 内的所有点 故选 D 答案 D 6 方程 x y xy 1 表示的曲线是 A 一条直线 B 一个正方形 C 一个圆 D 四条直线 解析 由 x y xy 1 得 x 1 y 1 0 即 x 1 或 y 1 因此该方程表示四条 直线 答案 D 综合应用 7 已知过定点 P 2 0 的直线 l 与曲线 y 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 当 2
8、x2 AOB 的面积取到最大值时 直线 l 的倾斜角为 A 150 B 135 C 120 D 105 解析 由 y 得 x2 y2 2 y 0 它表示以原点 O 为圆心 以为半径的半圆 2 x22 如图所示 S AOB OA OB sin AOB sin AOB 当 AOB 时 S AOB取最大值 此时 1 2 2 OC 1 则 OPC 30 得直线 l 的倾斜角为 150 答案 A 8 在平面直角坐标系 xOy 中 以点 1 0 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0 m R 相切 的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 解析 直线 mx y 2m 1 0 恒过定点 2 1 由题意 得半径最
9、大的圆的半径 r 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 1 2 2 0 1 22 答案 x 1 2 y2 2 基础达标 一 选择题 1 已知直线 l x y 3 0 及曲线 C x 3 2 y 2 2 2 则点 M 2 1 A 在直线 l 上 但不在曲线 C 上 B 在直线 l 上 也在曲线 C 上 C 不在直线 l 上 也不在曲线 C 上 D 不在直线 l 上 但在曲线 C 上 解析 将 M 2 1 代入直线 l 和曲线 C 的方程 由于 2 1 3 0 2 3 2 1 2 2 2 所以点 M 既在直线 l 上又在曲线 C 上 故选 B 答案 B 2 方程 x2 y2 1 xy 0 的
10、曲线形状是 解析 因为 xy0 时 x x2 y 0 当 x0 所以排除 D 1 x 1 x 答案 C 5 方程 xy2 x2y 1 所表示的曲线 A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线 y x 对称 解析 设 P x0 y0 是曲线 xy2 x2y 1 上的任意一点 则 x0y x y0 1 点 P 关于直线 2 02 0 y x 的对称点为 P y0 x0 又 y0 x y x0 x0y x y0 1 所以点 P 在曲线 xy2 x2y 1 2 02 02 02 0 上 故该曲线关于直线 y x 对称 答案 D 6 已知曲线 ax2 by2 2 经过点
11、A 0 2 和 B 1 1 则 a b 的值分别为 A B 1 2 3 2 3 2 1 2 C D 3 2 3 2 1 2 3 2 解析 A 0 2 和 B 1 1 都在曲线 ax2 by2 2 上 Error Error 解得Error Error 故选 B 答案 B 7 方程 x2 x2 y2 1 2 0 所确定的曲线是 A y 轴或圆 B 两点 0 1 与 0 1 C y 轴或直线 y 1 D 以上都不正确 解析 x2 x2 y2 1 2 0 x 0 且 x2 y2 1 0 它表示两点 0 1 和 0 1 故选 B 答案 B 8 方程 y 2 2 0 表示的图形是 x 2 A 圆 B 两
12、条直线 C 一个点 D 两个点 解析 由已知得Error Error 即Error Error 所以方程表示点 2 2 答案 C 二 填空题 9 方程 x y 1 1 0 表示的曲线为 x 3 解析 因为 x y 1 1 0 x 3 所以Error Error 或 1 0 x 3 即 x y 1 0 x 3 或 x 4 故方程表示一条射线和一条直线 答案 一条射线和一条直线 10 曲线 y x 1 与 x 轴围成的图形的面积是 解析 在 y x 1 中 令 x 0 得 y 1 令 y 0 得 x 1 所以曲线 y x 1 与 x 轴围成的图形的面积为 2 1 1 1 2 答案 1 11 x y
13、 1 表示的曲线围成的图形面积为 解析 方程 x y 1 表示的图形为 如图 曲线是边长为的正方形 故面积为 2 2 答案 2 12 设命题甲 点 P 的坐标适合方程 f x y 0 命题乙 点 P 在曲线 C 上 命题丙 点 Q 坐标不适合 f x y 0 命题丁 点 Q 不在曲线 C 上 已知甲是乙的必要条件 但不是 充分条件 那么丙是丁的 条件 解析 依题意可知 曲线 C 上的点的坐标都满足方程 但以方程 f x y 0 的解为坐标 的点不一定都在曲线 C 上 那么逆否命题为以不满足方程的 x y 的值为坐标的点一定不在 曲线 C 上 从而丙是丁的充分条件 但不是必要条件 答案 充分不必
14、要 三 解答题 13 分析下列曲线上的点与方程的关系 1 求第一 三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系 2 作出函数 y x2的图象 指出图象上的点与方程 y x2的关系 3 说明过点 A 2 0 平行于 y 轴的直线 l 与方程 x 2 之间的关系 解析 1 第一 三象限两轴夹角平分线 l 上点的横坐标 x 与纵坐标 y 相等 即 y x 可以 看到 l 上点的坐标都是方程 x y 0 的解 以方程 x y 0 的解为坐标的点都在 l 上 2 函数 y x2的图象如图 所示 是一条抛物线 这条抛物线上的点的坐标都满足方程 y x2 即方程 y x2对应的曲线是抛物线 抛物线的方程是 y
15、x2 3 如图 所示 直线 l 上点的坐标都是方程 x 2 的解 然而坐标满足方程 x 2 的点不 一定在直线 l 上 因此 x 2 不是直线 l 的方程 14 已知方程 x2 y 1 2 10 1 点 P 1 2 Q 3 是否在此方程表示的曲线上 2 2 若点 M在此方程表示的曲线上 求 m 的值 m 2 m 解析 1 12 2 1 2 10 2 3 1 2 10 2 点 P 1 2 在方程 x2 y 1 2 10 表示的曲线上 点 Q 3 不在此曲线上 2 2 点 M在方程 x2 y 1 2 10 表示的曲线上 m 2 m 2 m 1 2 10 m 2 解得 m 2 或 m 18 5 故
16、m 的值为 2 或 18 5 能力提升 15 曲线 y 与曲线 y ax 0 a R 的交点个数为 1 x2 A 1 B 2 C 3 D 0 解析 如图 曲线 y 表示圆 x2 y2 1 的下半圆 曲线 y ax 0 即 1 x2 y a x 当 x 0 时 即 y a x 当 x 0 时 即 y a x 得两曲线交点个数是 2 个 故 选 B 答案 B 16 如果直线 l x y b 0 与曲线 C y 有公共点 那么 b 的取值范围是 1 x2 解析 曲线 C y 表示以原点为圆心 以 1 为半径的单位圆的上半部分 包括 1 x2 1 0 如图 当 l 与 l1重合时 b 1 当 l 与 l2重合时 b 2 直线 l 与曲线 C 有公共点时 1 b 2 答案 1 2
