《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.3.1函数的单调性与导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.3.1函数的单调性与导数（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3 1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 填一填 1 函数的单调性与其导函数的关系 在某个区间 a b 内 如果 f x 0 那么函数 y f x 在这个区间内单调递增 如果 f x 0 解析 如函数 f x x3在 上单调递增 但 x 0 时 f x 0 故错误 2 函数 f x ax2 b 在区间 0 内是减函数 则 a 0 且 b R 解析 f x 2ax 当 x 0 时 由 f x 2ax0 a 0 b R 故正确 3 函数 f x x 3 ex的单调递增区间是 2 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令 f x 0 解得 x 2 增区间为 2 故错误 4
2、若函数 f x 2x2 ln x 在定义域内的一个子区间 k 1 k 1 上不是单调函数 则实 数 k 的取值范围是 1 3 2 解析 函数 f x 的定义域为 0 y 4x 由 y 0 得 f x 的增区间为 1 x 4x2 1 x 由 y 0 得 f x 的减区间为 由于函数在 k 1 k 1 上不单调 所以Error Error 1 2 0 1 2 解得 1 k0 和 f x 0 f x 0 且越来越大 对于 函数值增加得越来越慢 f x 0 且越来越小 对于 函数值减少得越来越快 f x 0 且越来越小 绝对值越来越大 对于 函数值减少得越来越慢 f x 0 命题乙 f x 在 a b
3、 内是单调递增的 则 甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 f x x3在 1 1 内是单调递增的 但 f x 3x2 0 1 x0 4 x 2 x 2 x 2 x 令 y 0 解得 00 的解集为 解析 当 x 0 时 xf x 0 f x 0 观察函数 f x 在 0 上的图象 可得 f x 在 2 上单调递增 即当 x 2 时 f x 0 当 x 0 1 2 0 1 2 0 f x 0 无解 综上 不等式 xf x 0 的解集为 2 0 1 2 答案 2 0 1 2 知识点一求函数的单调区间 1 函数 f x x3 3x2 1 是
4、减函数的区间为 A 2 B 2 C 0 D 0 2 解析 f x 3x2 6x 3x x 2 0 解得 0 x0 又 x 1 f x 的单调递增 x 1 x x 1 x 1 x 2 1 x x 1 x 2 1 1 x 2 区间为 1 1 答案 C 3 已知函数 y x f x 的图象如图所示 则函数 f x 的图象可能是 解析 当 x 0 时 y x f x 在 0 b 上的函数值非负 在 0 b 上 f x 0 故函数 f x 在 0 b 上单调递增 当 x0 解得 x 2 2 2 2 当 x 时 函数为增函数 2 2 当 x 时 函数也为增函数 2 2 令 f x 6x2 3 0 解得 x
5、0 解得 x 令 f x 0 解得 0 x 2 2 2 2 故函数 f x x2 ln x 的单调递增区间为 单调递减区间为 2 2 0 2 2 5 已知函数 f x x ln x 的导函数为 f x 2 x 1 解不等式 f x 0 2 x2 1 x 所以 f x 2 即 10 2 x2 1 x 即 x2 x 2 0 x 0 解得 x 1 所以不等式 f x 2 的解集为 1 2 由题可得 g x f x 4x 3x ln x 2 x 所以 g x 3 2 x2 1 x 3x2 x 2 x2 x 1 3x 2 x2 所以当 0 x0 当 x 时 g x 0 2 3 2 3 所以函数 g x
6、的单调增区间为 单调减区间为 0 2 3 2 3 知识点二已知函数单调性求参数的值 6 已知函数 f x x3 ax2 x 1 在 上是单调递减函数 则实数 a 的取值范 围是 A 33 B 33 C 33 D 33 解析 由题意得 f x 3x2 2ax 1 0 在 上恒成立 且仅在有限个点上 f x 0 则有 4a2 12 0 解得 a 33 答案 B 7 若函数 f x x3 bx2 cx d 的单调递减区间为 1 2 则 b c 解析 f x 3x2 2bx c 由题意知 1 x 2 是不等式 f x 0 且 f a 0 则在 a b 内有 A f x 0 B f x f a 0 故选
7、 A 答案 A 2 函数 y x sin x 在 R 上 A 单调递增 B 单调递减 C 先增后减 D 先减后增 解析 因为 y 1 cos x 0 恒成立 所以函数 y x sin x 在 R 上单调递减 故选 B 答案 B 3 下列函数中 在 0 内为增函数的是 A y sin x B y xex C y x3 x D y ln x x 解析 A 项中 y cos x 当 x 0 时 y 的符号不确定 B 项中 y ex xex x 1 ex 当 x 0 时 y 0 故在 0 内为增函数 C 项中 y 3x2 1 当 x 0 时 y 1 D 项中 y 1 当 x 0 时 y 1 1 x 答
8、案 B 4 函数 f x 2x sin x 在 上是 A 增函数 B 减函数 C 先增后减 D 不确定 解析 f x 2 cos x cos x 1 f x 0 f x 在 上是增函数 答案 A 5 已知函数 f x ax3 x2 5 a 0 在 0 2 上不单调 则 a 的取值范围是 1 3 A 0 a 1 B 0 a 1 2 C a1 1 2 解析 由 f x ax3 x2 5 a 0 得 f x ax2 2x 因为函数 f x 在 0 2 上不单调 所 1 3 以 f x 在 0 2 上存在零点 而 a 0 所以 0 1 故选 D 2 a 答案 D 6 定义在 R 上的函数 f x 若
9、x 1 f x 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 1 时 f x f 2 当 x0 f x 是增函数 f 0 f 1 因此 f 0 f 2 得 2 1 x 1 2 1 x 要使 a 恒成立 只需 a 2 1 x 答案 C 二 填空题 8 函数 f x x3 15x2 33x 6 的单调递减区间是 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 1 x 11 由 f x 0 得 1 x0 得Error Error 则 0 x 1 5 2 故函数 f x ln x x2 x 的单调递增区间为 1 2 0 1 5 2 答案 0 1 5 2 12 已知定义在 R 上的可导函数
10、f x 满足 f x 1 2m 则实数 m 的取值范围是 解析 令 F x f x x 则 F x f x 11 2m 恒等变形为 f f m m 则 F 1 m F m 1 m 1 m 故 1 m 故实数 m 的取值范围是 1 2 1 2 答案 1 2 三 解答题 13 求函数 f x 2x2 ln x 的单调区间 解析 由题设知函数 f x 的定义域为 0 f x 4x 1 x 4x2 1 x 由 f x 0 得 x 由 f x 0 1 2 得 0 x 1 2 函数 f x 2x2 ln x 的单调递增区间为 单调递减区间为 1 2 0 1 2 14 1 已知函数 f x x3 bx2 c
11、x d 的单调减区间为 1 2 求 b c 的值 2 设 f x ax3 x 恰好有三个单调区间 求实数 a 的取值范围 解析 1 函数 f x 的导函数 f x 3x2 2bx c 由题设知 1 x 2 是不等式 3x2 2bx c0 a0 故 f x 在 0 上单调递增 当 a 1 时 f x 0 故 f x 在 0 上单调递减 当 1 a0 0 a 1 2a 当 x 时 f x 0 a 1 2a 故 f x 在上单调递增 0 a 1 2a 在上单调递减 a 1 2a 综上 当 a 0 时 f x 在 0 上单调递增 当 a 1 时 f x 在 0 上单调递减 当 1 a 0 时 f x
12、在上单调递增 在上单调递减 0 a 1 2a a 1 2a 16 已知函数 f x x3 ax 1 1 若 f x 在实数集 R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使 f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 由已知 得 f x 3x2 a 因为 f x 在 上是单调递增函数 所以 3x2 a 0 在 上恒成立 即 a 3x2对 x 恒成立 因为 3x2 0 所以只需 a 0 又 a 0 时 f x 3x2 0 f x 在实数集 R 上单调递增 所以 a 0 2 假设 f x 3x2 a 0 在 1 1 上恒成立 则 a 3x2在 x 1 1 时恒成立 因为 1 x 1 所以 3x2 3 所以只需 a 3 当 a 3 时 在 x 1 1 上 f x 3 x2 1 0 即 f x 在 1 1 上为减函数 所以 a 3 故存在实数 a 3 使 f x 在 1 1 上单调递减
