《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.2复数的几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.2复数的几何意义（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 2 复数的几何意义复数的几何意义 填一填 1 复平面的定义 如图所示 点 Z 的横坐标为 a 纵坐标为 b 复数 z a bi 可用点 Z a b 表示 这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做实轴 y 轴叫做虚轴 实轴上的点都 表示实数 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 2 复数的几何意义 复数 z a bi a b R 与复平面内的点 Z a b 及以原点为起点 点 Z a b 为终点的向 量是一一对应的 OZ 3 复数的模 复数 z a bi a b R 对应的向量为 则向量的模 r 叫做复数 z a bi 的模 OZ OZ 记作 z 或 a bi 由模的定
2、义可知 z a bi r r 0 r R a2 b2 判一判 1 在复平面内 对应于实数的点都在实轴上 解析 实数的虚部为 0 对应纵坐标为 0 的实轴上点 故正确 2 若 z1 z2 则 z1 z2 解析 例 z1 1 i z2 1 i 有 z1 z2 但是 z1与 z2不相等 故错误 3 虚轴上的点都表示纯虚数 表示纯虚数的点都在虚轴上 解析 原点在虚轴上不表示虚数 故错误 4 第一象限的点都表示实部为正数的虚数 解析 第一象限的点横坐标为正 对应复数的实部 故正确 5 实部为正数 虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限 解析 实部为正虚部为负的虚数对应的点的横坐标为正 纵坐标为负 是第四
3、象限点 故正确 想一想 1 实数可用数轴上的点来表示 类比一下 复数怎样来表示呢 提示 任何一个复数 z a bi 都和一个有序实数对 a b 一一对应 因此 复数集与 平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系 2 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么 提示 向量的起点是原点与复数一一对应 3 复数的模一定是正数吗 提示 当 z 0 时 z 0 反之 当 z 0 时 必有 z 0 故复数的模不一定是正数 复 数的模是非负数 即 z 0 4 若复数 z 满足 z 1 则在复平面内 复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么 提示 点 Z 的轨迹是以原点为圆心 1 为半径的一个圆 思考感悟 练
4、一练 1 已知复数 z m 2 4 m2 i 且复数 z 在复平面内对应的点位于虚轴上 则实数 m 的值为 A 0 B 2 C 2 D 2 解析 当点在虚轴上时 实部 m 2 0 m 2 答案 B 2 当 0 m 1 时 z m 1 m 1 i 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 z m 1 m 1 i 对应的点为 m 1 m 1 0 m 1 1 m 1 2 1 m 1 0 点 m 1 m 1 位于第四象限 答案 D 3 向量 0 3 对应的复数是 OZ 解析 易知向量对应的复数为 z 0 3 i 3i OZ 答案 3i 4 已知复数 z 2
5、i i 是虚数单位 则 z 解析 z 4 15 答案 5 知识点一复数的几何意义 1 当 m 1 时 复数 z 3m 2 m 1 i 在复平面上对应的点位于 2 3 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 m0 m 1 0 2 3 点 3m 2 m 1 在第四象限 答案 D 2 已知 z m 3 m 1 i 在复平面内对应的点在第四象限 则实数 m 的取值范围是 A 3 1 B 1 3 C 1 D 3 解析 由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 m 3 m 1 所以Error Error 解得 3 m 1 故选 A 答案 A 3 在复平面内 复数 6 5i 2
6、3i 对应的点分别为 A B 若 C 为线段 AB 的中点 则 点 C 对应的复数是 A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 解析 由题意知 A 6 5 B 2 3 则 AB 中点 C 2 4 对应的复数为 2 4i 答案 C 知识点二复数的模 4 已知复数 z 满足 z 1 则 z A 1 B i C a bi a b R 且 a2 b2 1 D 1 i 解析 设 z a bi a b R 则由 z 1 得 a2 b2 1 故选 C 答案 C 5 复数 z1 a 2i z2 2 i 如果 z1 z2 则实数 a 的取值范围是 A 1 1 B 1 C 0 D 1 1 解析 z1
7、z2 1 a 1 a2 45a2 45 答案 A 6 复数 z 5 12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 解析 z 13 对应点到原点的距离为 13 5 2 12 2 答案 13 知识点三复数几何意义的应用 7 在复平面上 复数 i 1 4 2i 对应的点分别是 A B C 求平行四边形 ABCD 的顶点 D 所对应的复数 解析 方法一 由已知 得点 A B C 的坐标分别为 A 0 1 B 1 0 C 4 2 则 AC 的 中点为 E 2 3 2 由平行四边形的性质 知 E 也是 BD 的中点 设 D 点的坐标为 x y 则Error Error Error Error 即 D 点的坐标
8、为 3 3 D 点对应的复数为 3 3i 方法二 由已知 得 0 1 1 0 4 2 OA OB OC 1 1 3 2 BA BC 2 3 BD BA BC 3 3 OD OB BD 点 D 对应的复数为 3 3i 8 已知复数 z 2 cos 1 sin i R 试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹 是什么曲线 解析 设复数 z 与复平面内的点 x y 相对应 则由复数的几何意义可知Error Error 由 sin2 cos2 1 可得 x 2 2 y 1 2 1 所以复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以 2 1 为圆 心 1 为半径的圆 基础达标 一 选择题 1 已知复数 z1 2
9、 i z2 i 则 z1 z2 A B 5 5 1 5 C D 5 5 解析 由已知得 z1 z2 1 所以 5 z1 z2 5 答案 C 2 复数 z 与它的模相等的充要条件是 A z 为纯虚数 B z 为实数 C z 为正实数 D z 为非负实数 解析 设 z x yi x y R 依题意有 x yi 因此必有Error Error 即Error Error 所以 x2 y2 y 0 x 0 即 z 为非负实数 答案 D 3 已知复数 z x 1 2x 1 i 的模小于 则实数 x 的取值范围是 10 A x 2 B x D x2 4 5 4 5 解析 由条件 得 x 1 2 2x 1 2
10、 10 所以 5x2 6x 8 0 故 x0 所以方程有两根 所以 2t2 5t 3 的值 可正可负可为零 故选项 A B 不正确 又 t2 2t 2 t 1 2 1 0 所以选项 D 不正确 故选 C 答案 C 6 已知 0 a 2 复数 z 的实部为 a 虚部为 1 则 z 的取值范围是 6 A 1 5 B 1 2 6 C 1 D 1 25 5 解析 由已知 得 z 由 0 a 2 可得 0 a2 24 所以 1 a2 10 复数 z a2 1 ai 在复平面内对应的点为 a2 1 a 所以 复数 z 在复平面内对应的点在第一 四象限或实轴的正半轴上 2 设 z x yi x y R 则E
11、rror Error 消去 a 可得 x y2 1 所以复数 z 在复平面内对应的点的轨迹方程为 y2 x 1 14 设 z C 则满足条件 z 3 4i 的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图形 解析 方法一 由 z 3 4i 得 z 5 这表明向量的长度等于 5 即点 Z 到原点的距离等于 5 因此 满足条件的点 Z 的集合 OZ 是以原点 O 为圆心 以 5 为半径的圆 方法二 设 z x yi x y R 则 z 2 x2 y2 因为 3 4i 5 所以由 z 3 4i 得 x2 y2 25 故点 Z 的集合是以原点为圆心 以 5 为半径的圆 能力提升 15 已知关于 x
12、的方程 x2 tan i x 2 i 0 i 为虚数单位 有实数根 求锐角 和方 程的实数根 解析 设 x0是方程 x2 tan i x 2 i 0 的实数根 则 x tan i x0 2 i 0 即 x x0tan 2 x0 1 i 0 2 02 0 所以Error Error 解得 x0 1 tan 1 又 为锐角 所以 4 16 已知复数 m2 2m 3 m2 m 12 i m R i 为虚数单位 1 若 为实数 求 m 的值 2 若复数 对应的点在第四象限 求实数 m 的取值范围 解析 1 因为 为实数 所以 m2 m 12 0 m 3 或 m 4 2 由复数 对应的点在第四象限得 Error Error 所以 3 m 1 或 3 m 4 即实数 m 的取值范围为 3 1 3 4
