《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 1 复数代数形式的加减运算及其几何意义复数代数形式的加减运算及其几何意义 填一填 1 复数代数形式的加减法 1 运算法则 设 z1 a bi z2 c di 是任意两个复数 a b R 那么 a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i 2 加法运算律 对任意 z1 z2 z3 C 有 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 复数加减法的几何意义 1 复数加法的几何意义 如图 设 分别与复数 a bi c di 对应 OZ1 OZ2 则 a b c d OZ1 OZ2 由平面向量的坐标运算 得 a c b d O
2、Z1 OZ2 所以 与复数 a c b d i 对应 OZ1 OZ2 故复数加法的几何意义是 复数的加法可以按照向量的加法来进行 即复数 z1 z2是以 为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 OZ1 OZ2 OZ 2 复数减法的几何意义 z1 z2可以看作 z1 z2 因为复数的加法可以按照向量的加法来进行 所以可以按照 平行四边形法则或三角形法则作出与 z1 z2对应的向量 如图 图中对应复数 z1 对 OZ1 OZ2 应复数 z2 则对应复数 z1 z2 Z2Z1 故复数减法的几何意义是 复数的减法可以按照向量的减法来进行 即复数 z1 z2是从 向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复
3、数 OZ2 OZ1 Z2Z1 判一判 1 两个虚数的和或差可能是实数 解析 当两个虚数的虚部互为相反数时和为实数 当两个虚数的虚部相等时差为实数 故正确 2 在进行复数的加法时 实部与实部相加得实部 虚部与虚部相加得虚部 解析 由复数的加法法则可知正确 故正确 3 复数的减法不满足结合律 即 z1 z2 z3 z1 z2 z3 可能不成立 解析 复数的减法满足结合律 故错误 想一想 1 复数 z1 z2 的几何意义是什么 提示 表示复数 z1 z2对应的两点 Z1与 Z2间的距离 2 在复平面内 z1 z2对应的点分别为 A B z1 z2对应的点为 C O 为坐标原点 则 1 四边形 OAC
4、B 是什么四边形 2 若 z1 z2 z1 z2 则该四边形 OACB 的形状是什么 3 若 z1 z2 则四边形 OACB 的形状是什么 4 若 z1 z2 且 z1 z2 z1 z2 则四边形 OACB 又是什么形状 提示 1 平行四边形 2 矩形 3 菱形 4 正方形 3 如何求复平面上向量对应的复数 提示 在复平面内 任何向量所对应的复数 总是这个向量的终点所对应的复数减去起 点所对应的复数所得的差 即所对应的复数是 zB zA 所对应的复数是 zA zB 不可把 AB BA 被减数与减数弄错 思考感悟 练一练 1 计算 3 i 2 i 的结果为 A 1 B i C 5 2i D 1
5、i 解析 3 i 2 i 1 答案 A 2 在复平面内 向量对应的复数是 5 4i 向量对应的复数是 5 4i 则 OZ1 OZ2 对应的复数是 OZ1 OZ2 A 10 8i B 10 8i C 0 D 10 8i 解析 5 4 5 4 0 0 OZ1 OZ2 故 对应的复数为 0 OZ1 OZ2 答案 C 3 若复数 z1 z2 3 4i z1 z2 5 2i 则 2z1 解析 两式相加得 2z1 8 2i 答案 8 2i 4 已知 z1 z2 C z1 z2 2 z1 2 z2 2 则 z1 z2 2 解析 由复数加法 减法的几何意义知 在复平面内 以 z1 z2所对应的向量为邻边的 平
6、行四边形为正方形 所以 z1 z2 2 2 答案 2 2 知识点一复数的加减运算 1 已知复数 z1 3 4i z2 3 4i 则 z1 z2等于 A 8i B 6 C 6 8i D 6 8i 解析 z1 z2 3 4i 3 4i 3 3 4 4 i 6 故选 B 答案 B 2 已知复数 z1 a2 2 a 4 i z2 a a2 2 i a R 且 z1 z2为纯虚数 则 a 解析 z1 z2 a2 a 2 a 4 a2 2 i a R 为纯虚数 Error Error 解得 a 1 答案 1 3 已知 z1 a a 1 i z2 3b b 2 i a b R 若 z1 z2 4 则 3 2
7、33 a b 解析 z1 z2 a a 1 i 3b b 2 i 3 23 a 1 b 2 i a b 1 i 4 3 2 a 3 3b 3 2 a 3 3b 3 Error Error 解得Error Error a b 3 答案 3 知识点二复数加减运算的几何意义 4 已知 z1 3 4i z2 5 2i z1 z2对应的点分别为 P1 P2 则对应的复数为 P2P1 A 8 6i B 8 6i C 8 6i D 2 2i 解析 P2P1 OP1 OP2 对应的复数为 z1 z2 3 4i 5 2i P2P1 3 5 4 2 i 8 6i 答案 B 5 A B 分别是复数 z1 z2在复平
8、面内对应的点 O 是原点 若 z1 z2 z1 z2 则三 角形 AOB 一定是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解析 根据复数加 减 法的几何意义 知以 为邻边所作的平行四边形的对角线相 OA OB 等 则此平行四边形为矩形 故三角形 AOB 为直角三角形 答案 B 6 若复平面上的 ABCD 中 对应的复数为 6 8i 对应的复数为 4 6i 则 AC BD 对应的复数是 DA A 2 14i B 1 7i C 2 14i D 1 7i 解析 设 AC 与 BD 交于点 O 则有 于是 DA DO OA 1 2DB 1 2CA 1 2 AC BD 对应的
9、复数为 6 8i 4 6i 1 7i 故选 D DA 1 2 答案 D 知识点三复数加减运算几何意义的应用 7 M z z 1 1 N z z i z i 则 M N 解析 利用复数的几何意义解决问题 在复平面内 z 1 1 的几何意义是以点 1 0 为圆心 以 1 为半径的圆 z i z i 的几何意义是到点 A 0 1 和点 B 0 1 距离相等的点 的集合 是线段 AB 的垂直平分线 也就是 x 轴 M N 的几何意义是 x 轴与圆的公共点对应 的复数 故 z 0 或 z 2 M N 0 2 答案 0 2 8 已知 z1 2 1 i 且 z 1 则 z z1 的最大值是多少 解析 z 1
10、 即 OZ 1 满足 z 1 的点 Z 的集合是以 0 0 为圆心 以 1 为半径的圆 又复数 z1 2 1 i 在坐标系内对应的点为 2 2 故 z z1 的最大值为点 Z1 2 2 到圆上 的点的最大距离 即 z z1 的最大值为 2 1 2 基础达标 一 选择题 1 2 2i 3i 5 等于 A 2 i B 3 i C 5i 7 D 2 3i 解析 2 2i 3i 5 2 5 2 3 i 3 i 故选 B 答案 B 2 复数 z1 a 4i z2 3 bi 若它们的和为实数 差为纯虚数 则实数 a b 的值为 A a 3 b 4 B a 3 b 4 C a 3 b 4 D a 3 b 4
11、 解析 由题意可知 z1 z2 a 3 b 4 i 是实数 z1 z2 a 3 4 b i 是纯虚数 故Error Error 解得 a 3 b 4 故选 A 答案 A 3 实数 x y 满足 z1 y xi z2 yi x 且 z1 z2 2 则 xy 的值是 A 1 B 2 C 2 D 1 解析 z1 z2 y x x y i 2 即Error Error x y 1 则 xy 1 答案 A 4 已知复数 z1 a2 2 3ai z2 a a2 2 i 若 z1 z2是纯虚数 那么实数 a 的值为 A 1 B 2 C 2 D 2 或 1 解析 z1 z2 a2 a 2 a2 3a 2 i
12、由题意知Error Error 解得 a 2 答案 C 5 设复数 z 满足关系式 z z 2 i 那么 z 等于 A i B i 3 4 3 4 C i D i 3 4 3 4 解析 设 z a bi a b R 则 z z a bi 2 i a2 b2 则Error Error 解得Error Error z i 3 4 答案 D 6 已知 z1 3 4i z2 1 2i 则复数 z z1 z2在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 z z1 z2 3 4i 1 2i 2 2i z 在复平面内对应的点的坐标为 2 2 位于第四象限 答案 D 7
13、 已知复数 z 对应的向量如图所示 则复数 z 1 对应的向量是 解析 由题图可知 z 2 i 所以 z 1 1 i 故选 A 答案 A 二 填空题 8 计算 2 7i 3 4i 5 12i i 3 4i 解析 原式 2 7i 5 13i 3 4i 2 5 3 7 13 4 i 16i 答案 16i 9 如果一个复数与它的模的和为 5 i 那么这个复数是 z 3 解析 设这个复数为 z x yi x y R x yi 5 i x2 y23 Error Error Error Error z x yi i 11 53 答案 i 11 53 10 在复平面内 复数 1 i 与 1 3i 分别对应向
14、量和 其中 O 为坐标原点 则 OA OB AB 解析 由题意 对应的复数为 1 3i 1 i 2i AB OB OA AB 2 AB 答案 2 11 设 f z z z1 3 4i z2 2 i 则 f z1 z2 解析 z1 3 4i z2 2 i z1 z2 3 4i 2 i 5 5i 又 f z z f z1 z2 z1 z2 5 5i 答案 5 5i 12 设 z1 x 2i z2 3 yi x y R 且 z1 z2 5 6i 则 z1 z2 解析 z1 z2 5 6i x 2i 3 yi 5 6i Error Error 即Error Error z1 2 2i z2 3 8i
15、z1 z2 2 2i 3 8i 1 10i 答案 1 10i 三 解答题 13 计算 1 2 1 2i 1 2 2i 2 3 2i 2 i 3 3 6 3i 3 2i 3 4i 2 i 解析 1 原式 i i 2 1 2 1 2 2 5 2 5 2 2 3 2i 2 i 3 2 2 i 3 i 333 3 6 3i 3 2i 3 4i 2 i 6 3 3 2 3 2 4 1 i 8 2i 14 已知 z1 3x y y 4x i z2 4y 2x 5x 3y i x y R 若 z1 z2 13 2i 求 z1 z2 解析 z1 z2 3x y y 4x i 4y 2x 5x 3y i 3x
16、y 4y 2x y 4x 5x 3y i 5x 3y x 4y i 又 z1 z2 13 2i 5x 3y x 4y i 13 2i Error Error 解得Error Error z1 3 2 1 1 4 2 i 5 9i z2 4 1 2 2 5 2 3 1 i 8 7i 能力提升 15 复数 z1 2mi z2 m m2i m R 若 z1 z2 0 求实数 m 的值 3m 1 解析 z1 z2 2mi m m2i m m2 2m i 3m 13m 1 z1 z2 0 z1 z2为实数且大于 0 Error Error 解得 m 2 16 在平行四边形 ABCD 中 已知 对应的复数分别为 z1 3 5i z2 1 2i AC DC 1 求对应的复数 BC 2 求对应的复数 BD 3 求平行四边形 ABCD 的面积 解析 1 因为 AC AB BC DC BC 所以 BC AC DC 故对应的复数为 BC z z1 z2 3 5i 1 2i 4 3i 2 因为 BD AD AB BC DC 所以对应的复数为 4 3i 1 2i 5 i BD 3 由 1 2 可知在平行四边形
