《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.3.1双曲线及其标准方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.3.1双曲线及其标准方程（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3 1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 填一填 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于非零常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做 双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 图形 焦点坐标F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c a b c 的关系c2 a2 b2 判一判 1 平面内到两定点的距离的差等于常数 小于两定点间距离 的点的轨迹是双曲线 2 在双曲线标准方程
2、 1 中 a 0 b 0 且 a b x2 a2 y2 b2 3 双曲线标准方程中 a b 的大小关系是 a b 4 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形 条件 5 双曲线的焦点 F1 F2的位置是双曲线的定位条件 它决定了双曲线标准方程的类 型 6 双曲线的标准方程中 因为 c2 a2 b2 所以长度分别为 a b c 的三条线段恰好构 成一个直角三角形 且长度为 c 的线段是斜边 7 给出方程 1 mn 0 并不能确定它所表示的曲线是不是双曲线 只有 mn F1F2 则点 P 的轨迹 是什么 若 2a F1F2 则点 P 的轨迹为以 F1 F2为
3、端点的两条射线 若 2a F1F2 则点 P 的轨 迹不存在 2 求双曲线方程的两个步骤是什么 1 定位 确定双曲线焦点的位置 以判断方程的形式 2 定量 确定方程中参数 a b 的具体的值 常根据条件列方程 组 求解 3 怎样判断一个方程是否表示双曲线 1 对于方程 1 当 mn0 n 0 时表示焦点在 x x2 m y2 n 轴上的双曲线 当 m0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线 2 对于方程 1 则当 mn 0 时表示双曲线 且当 m 0 n 0 时表示焦点在 x 轴上 x2 m y2 n 的双曲线 当 m 0 n 0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线 思考感悟 练一练 1 双曲线 1 的
4、焦距为 x2 9 y2 7 A B 2 22 C 4 D 8 答案 D 2 mn5 B k 5 或 2 k2 或 k 2 D 2 k0 即Error Error 或Error Error 解得 k 5 或 2 k 2 答案 B 2 在方程 mx2 my2 n 中 若 mn 0 则方程所表示的曲线是 A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 y 轴上的双曲线 D 焦点在 y 轴上的椭圆 解析 方程 mx2 my2 n 可化为 1 由 mn 0 知 0 故方程所表示的曲线是焦点 x2 n m y2 n m n m 在 y 轴上的双曲线 答案 C 知识点二双曲线的定义 3
5、 已知 M 2 0 N 2 0 PM PN 3 则动点 P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 射线 D 双曲线 解析 由双曲线的定义可判断动点 P 的轨迹是双曲线 答案 D 4 与两圆 x2 y2 1 和 x2 y2 8x 12 0 都外切的圆的圆心在 A 一个椭圆上 B 一条直线上 C 双曲线的一支上 D 一个圆上 解析 设动圆圆心为 P 半径为 r 圆 x2 y2 1 的圆心为 O 0 0 r1 1 圆 x2 y2 8x 12 0 的圆心为 M 4 0 r2 2 由题意知 PM r r2 PO r r1 因为 PM PO r2 r1 10 b 0 y2 a2 x2 b2 由题设知 a 2 且
6、点 A 2 5 在双曲线上 5 所以Error Error 解得 a2 20 b2 16 故所求双曲线的标准方程为 1 y2 20 x2 16 2 若焦点在 x 轴上 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由已知条件得Error Error 解得Error Error 则双曲线的标准方程为 x2 1 y2 1 2 若焦点在 y 轴上 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 由已知条件得Error Error 解得Error Error 显然不成立 舍去 综上可知 所求双曲线的标准方程为 x2 1 y2 1 2 6 求适合下列条件的双曲线的标
7、准方程 1 a 3 c 4 焦点在 x 轴上 2 焦点为 0 6 0 6 经过点 A 5 6 3 以椭圆 1 长轴的端点为焦点 且经过点 3 x2 8 y2 510 解析 1 由题设知 a 3 c 4 由 c2 a2 b2 得 b2 c2 a2 42 32 7 因为双曲线的焦点在 x 轴上 所以所求双曲线的标准方程为 1 x2 9 y2 7 2 由已知得 c 6 且焦点在 y 轴上 因为点 A 5 6 在双曲线上 所以 2a 5 0 2 6 6 2 5 0 2 6 6 2 13 5 8 则 a 4 b2 c2 a2 62 42 20 所以所求双曲线的标准方程为 1 y2 16 x2 20 3
8、由题意得 双曲线的焦点在 x 轴上 且 c 2 设双曲线的标准方程为 2 1 a 0 b 0 则有 a2 b2 c2 8 1 解得 a2 3 b2 5 x2 a2 y2 b2 9 a2 10 b2 故所求双曲线的标准方程为 1 x2 3 y2 5 综合应用 7 点 P 与定点 F 2 0 的距离和它到定直线 x 的距离的比是 2 1 求点 P 的轨迹方程 1 2 解析 设点 P 的坐标为 x y 由题意得 2 化简得 x2 1 x 2 2 y 0 2 x 1 2 y2 3 所以点 P 的轨迹方程为 x2 1 y2 3 8 设 F1 F2是双曲线 1 的两个焦点 点 P 在双曲线上 且 F1PF
9、2 60 求 x2 9 y2 16 F1PF2的面积 解析 双曲线 1 a 3 b 4 c 5 x2 9 y2 16 不妨设 PF1 PF2 则 PF1 PF2 2a 6 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 60 而 F1F2 2c 10 得 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 100 PF1 PF2 64 S F1PF2 PF1 PF2 sin 60 16 1 23 基础达标 一 选择题 1 双曲线 1 的焦距为 x2 10 y2 2 A 3 B 4 22 C 3 D 4 33 解析 c2 a2 b2 10 2 12 c
10、2 2c 4 33 答案 D 2 若双曲线方程为 x2 2y2 1 则它的右焦点为 A B 2 2 0 5 2 0 C D 0 6 2 0 3 解析 双曲线的标准方程为 x2 1 焦点在 x 轴上 y2 1 2 c2 1 c 1 2 3 2 6 2 右焦点为 6 2 0 答案 C 3 若双曲线 8kx2 ky2 8 的一个焦点坐标是 3 0 则 k A 1 B 1 C D 1 2 1 2 解析 依题意 知双曲线的焦点在 x 轴上 且 c 3 方程可化为 1 则 k 0 且 x2 1 k y2 8 k a2 b2 所以 9 解得 k 1 1 k 8 k 1 k 8 k 答案 A 4 若双曲线 E
11、 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 在双曲线 E 上 且 x2 9 y2 16 PF1 3 则 PF2 等于 A 11 B 9 C 5 D 3 解析 依题意知 点 P 在双曲线的左支上 根据双曲线的定义 得 PF2 PF1 2 3 6 所以 PF2 6 3 9 答案 B 5 设 是三角形的一个内角 且 sin cos 则方程 1 所表示的曲线 1 5 x2 sin y2 cos 为 A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 y 轴上的椭圆 C 焦点在 x 轴上的双曲线 D 焦点在 y 轴上的双曲线 解析 由 sin cos 得 sin cos 0 cos 0 方程表示的是焦点在 x 轴
12、上的双曲线 故选 C 答案 C 6 已知点 F1 0 F2 0 动点 P 满足 PF2 PF1 2 当点 P 的纵坐标是 时 22 1 2 点 P 到坐标原点的距离是 A B 6 2 3 2 C D 2 3 解析 因为动点 P 满足 PF2 PF1 2 为定值 又 20 b 0 则 c 即 a2 b2 5 设 x2 a2 y2 b25 P x y 由线段 PF1的中点坐标为 0 2 可知Error Error 得Error Error 即点 P 的坐标为 4 代入 5 双曲线方程 得 1 联立 得 a2 1 b2 4 即双曲线的标准方程为 5 a2 16 b2 x2 1 故选 B y2 4 答
13、案 B 8 设椭圆 1 和双曲线 y2 1 的公共焦点为 F1 F2 P 是两曲线的一个公共 x2 6 y2 2 x2 3 点 则 cos F1PF2等于 A B 1 4 1 3 C D 1 9 3 5 解析 设 PF1 d1 PF2 d2 则 d1 d2 2 6 d1 d2 2 3 2 2 得 d d 18 2 12 2 2 2 得 2d1d2 6 而 c 2 即 cos F1PF2 故选 B d2 1 d2 2 4c2 2d1d2 18 16 6 1 3 答案 B 二 填空题 9 设 F1 F2是双曲线 x2 1 的两个焦点 P 是双曲线上的一点 且 y2 24 3 PF1 4 PF2 则
14、 PF1 解析 依题意有Error Error 解得 PF2 6 PF1 8 答案 8 10 已知双曲线 1 的两个焦点分别为 F1 F2 若双曲线上的点 P 到点 F1的距离 x2 25 y2 9 为 12 则点 P 到点 F2的距离为 解析 设 F1为左焦点 F2为右焦点 当点 P 在双曲线左支上时 PF2 PF1 10 则 PF2 22 当点 P 在双曲线右支上时 PF1 PF2 10 则 PF2 2 答案 22 或 2 11 设双曲线 x2 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 若点 P 在双曲线上 且 F1PF2为 y2 3 锐角三角形 则 PF1 PF2 的取值范围是 解析 由已知得
15、 F1 2 0 F2 2 0 设 P x y 是双曲线右支上任一点 则 1 x F1F2 2 即 2x 1 2 2x 1 2 42 得 x 7 2 故 x 2 所以 PF1 PF2 4x 2 8 7 27 答案 2 8 7 12 椭圆 1 与双曲线 x2 1 有公共点 P 则点 P 与双曲线两焦点连线构成的 y2 25 x2 9 y2 15 三角形的面积为 解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1 0 4 和 F2 0 4 又由椭圆与双曲线 的定义 得 Error Error 所以 PF1 5 PF2 5 或 PF1 5 PF2 5 15151515 在 PF1F2中 由余弦定理 得 c
16、os F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 5 15 2 5 15 2 82 2 5 15 5 15 4 5 所以 sin F1PF2 3 5 因此 PF1F2的面积 S PF1 PF2 sin F1PF2 1 2 5 5 3 1 21515 3 5 答案 3 三 解答题 13 设圆 C 与两圆 x 2 y2 4 x 2 y2 4 中的一个内切 另一个外切 求 C 55 的圆心轨迹 L 的方程 解析 依题意得两圆的圆心分别为 F1 0 F2 0 从而可得 55 CF1 2 CF2 2 或 CF2 2 CF1 2 所以 CF2 CF1 4 2a2 22 2 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22 2 将 PF2 PF1 2a 6 两边平方得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 PF1 2 PF2 2 36 2 PF1 PF2 36 2 32 100 在 F1PF2中 由余弦定理得 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 0 100 100 2 PF1 PF2 F1PF2 90 S F1PF2 PF
