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1、2 4 2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 填一填 抛物线的简单几何性质 类型y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 图象 焦点 F p 2 0 F p 2 0 F 0 p 2 F 0 p 2 准线 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x 0 x 0y 0y 0 对称轴 x 轴y 轴 顶点O 0 0 离心率 e 1 性 质 开口向 上 向右向左向上向下 判一判 1 抛物线 x2 2py p 0 有一条对称轴为 y 轴 2 抛物线 y x2的准线方程是 x 1 8 1 32 3 抛物线是中心对称图形 4 抛物线的范围是
2、x R 5 抛物线是轴对称图形 6 抛物线的四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点 焦点 7 抛物线的焦点是抛物线的定位条件 8 过定点 P 0 1 作与抛物线 y2 2x 只有一个公共点的直线 共可作 3 条 想一想 1 影响抛物线开口大小的量是什么 是如何影响的 参数 p 影响抛物线开口大小 p 值越大 抛物线的开口越开阔 p 越小 开口越扁狭 2 点 P x0 y0 与抛物线 y2 2px p 0 的关系有哪些 分别满足什么条件 1 点 P x0 y0 在抛物线 y2 2px p 0 内部 y 0 上 y 2px0 2 0 3 点 P x0 y0 在抛物线 y2 2px p 0 外部 y
3、2px0 2 0 3 抛物线中最值的求解策略是什么 1 可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解 但要注意抛物线的范围 2 当条件中有关于抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离问题一定要考虑抛物线的定义 注意 点 P 到 F 的距离与点 P 到准线距离的转化 思考感悟 练一练 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 A 10 B 8 C 6 D 4 答案 B 2 抛物线 y2 4px p 0 的焦点为 F 准线为 l 则 p 表示 A F 到 y 轴的距离 B F 到准线 l 的距离 C F 的横坐标 D F 到
4、抛物线上一点的距离 答案 A 3 AB 是过抛物线 x2 4y 焦点的弦 且 AB 10 则 AB 的中点的纵坐标为 答案 4 4 以原点为顶点 x 轴为对称轴且焦点在 2x 4y 3 0 上的抛物线方程是 答案 y2 6x 知识点一抛物线方程及其几何性质 1 边长为 1 的等边三角形 AOB O 为坐标原点 AB x 轴 以 O 为顶点且过 A B 的 抛物线方程是 A y2 x B y2 x 3 6 3 3 C y2 x D y2 x 3 6 3 3 解析 设抛物线方程为 y2 ax a 0 又 A 取点 A 在 x 轴上方 3 2 1 2 则有 a 解得 a 所以抛物线方程为 y2 x
5、故选 C 1 4 3 2 3 6 3 6 答案 C 2 已知抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为 x 轴 且与圆 x2 y2 4 相交的公共弦长为 2 求抛物线的方程 3 解析 设所求抛物线的方程为 y2 2px p 0 或 y2 2px p 0 抛物线与圆的交点 A x1 y1 B x2 y2 y1 0 y20 则焦点 F 直线 l 的方程为 y x 设直线 l 与抛物线的交点为 A x1 y1 B x2 y2 过点 p 2 0 p 2 A B 向抛物线的准线作垂线 垂足分别为点 A1 点 B1 则 AB AF BF AA1 BB1 x1 x2 p 6 x1 x2 6 p x1 p 2 x2 p
6、 2 由Error Error 消去 y 得 2 2px 即 x2 3px 0 x1 x2 3p 代入 式得 x p 2 p2 4 3p 6 p p 3 2 所求抛物线的标准方程是 y2 3x 当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时 用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y2 3x 知识点三直线与抛物线的位置关系 5 过抛物线 y2 2px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A B 两点 若 A B 在准线上的射影 为 A1 B1 则 A1FB1等于 A 45 B 90 C 60 D 120 解析 如图 由抛物线定义知 AA1 AF BB1 BF 所以 AA1F AFA1 又 AA1F A1FO 所以
7、 AFA1 A1FO 同理 BFB1 B1FO 于是 AFA1 BFB1 A1FO B1FO A1FB1 故 A1FB1 90 答案 B 6 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线为 l 过 M 1 0 且斜率为的直线与 l 相交于点 3 A 与 C 交于点 B 若 求抛物线 C 的方程 AM MB 解析 如图 设 B A 点的坐标分别为 x1 y1 p 2 y2 M 为 AB 的中点 AM MB 于是有Error Error 即Error Error 又 k y2 1 p 23 y2 y1 3 1 p 2 3 1 p 2 把 B 点坐标代入抛物线方程得 3 2 2p 1 p 2 p 2
8、 2 整理得 p 2 故所求抛物线 C 的方程为 y2 4x 综合应用 7 已知直线 l 经过抛物线 y2 6x 的焦点 F 且与抛物线交于 A B 两点 1 若直线 l 的倾斜角为 60 求 AB 的值 2 若 AB 9 求线段 AB 的中点 M 到准线的距离 解析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 因为直线 l 的倾斜角为 60 所以其斜率 k tan 60 3 又因为 F 所以直线 l 的方程为 y 3 2 0 3 x 3 2 联立Error Error 消去 y 得 x2 5x 0 则 x1 x2 5 而 9 4 AB AF BF x1 x2 x1 x2 p 所以 AB 5 3
9、8 p 2 p 2 2 由抛物线的定义 知中点 M 到准线的距离为 AB 2 9 2 8 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 C 在 抛物线的准线上 且 BC x 轴 证明 直线 AC 经过原点 O 证明 因为抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F p 2 0 所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x my p 2 代入抛物线方程得 y2 2pmy p2 0 若记 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2是该方程的两个根 所以 y1y2 p2 因为 BC x 轴 且点 C 在准线 x 上 p 2 所以点 C 的坐标为 p
10、 2 y2 故直线 CO 的斜率为 k y2 p 2 2p y1 y1 x1 即 k 也是直线 OA 的斜率 又 O 是公共点 所以 A O C 三点共线 所以直线 AC 经过原点 O 基础达标 一 选择题 1 若抛物线 y2 x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离 则点 P 的坐标为 A B 1 4 2 4 1 8 2 4 C D 1 4 2 4 1 8 2 4 解析 由题意知 点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离 因此点 P 在线段 OF 的 垂直平分线上 而 F 所以 P 点的横坐标为 代入抛物线方程得 y 故点 P 的坐 1 4 0 1 8 2 4 标为 1 8
11、2 4 答案 B 2 已知抛物线关于 x 轴对称 它的顶点在坐标原点 O 并且经过点 M 2 y0 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 则 OM 等于 A 2 B 2 23 C 4 D 2 5 解析 由于抛物线关于 x 轴对称 且经过点 M 2 y0 可知抛物线开口向右 设方程为 y2 2px p 0 准线为 x 而 M 点到准线距离为 3 可知 1 即 p 2 故抛物线方程 p 2 p 2 为 y2 4x 当 x 2 时 可得 y0 2 所以 OM 2 23 答案 B 3 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 12 P 为 C 的
12、准线上的一点 则 ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 解析 设抛物线方程为 y2 2px 则焦点 在方程中 令 x 则 y p 即 p 2 0 p 2 36 p2 得 p 6 所以 y2 12x 所以点 P 到直线 AB 的距离为 p 6 所以 S ABP AB 6 36 1 2 答案 C 4 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴 3 上方的部分相交于点 A AK l 垂足为 K 则 AKF 的面积是 A 4 B 3 3 C 4 D 8 3 解析 由题意可得 A 点坐标为 3 2 AK 3 1 4 AF 4 KAF
13、60 所以 S 3 AKF AK AF sin 60 4 4 4 1 2 1 2 3 23 答案 C 5 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax a 0 的焦点 F 且和 y 轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 根据题意知 F 故直线 l 的方程为 y 2 所以 A 点坐标为 S a 4 0 x a 4 0 a 2 OAF 4 所以 a 8 1 2 a 4 a 2 答案 B 6 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F 过点 F 且倾斜角等于 的直线与抛物线在 x 轴上方的 3 曲线交
14、于点 A 则 AF 的长为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 由已知得直线 AF 的方程为 y x 1 3 代入 y2 4x 得 3x2 10 x 3 0 解得 x 3 或 x 当 x 3 时 y 2 1 33 当 x 时 y 1 3 2 3 3 则 A 3 2 故 AF 3 1 4 3 答案 B 7 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 则 直线 l 的斜率的取值范围是 A B 2 2 1 2 1 2 C 1 1 D 4 4 解析 设直线方程为 y k x 2 与抛物线方程联立 得Error Error 消去 x 得到关于 y 的方程
15、 ky2 8y 16k 0 当 k 0 时 直线与抛物线有一个交点 当 k 0 时 令 64 64k2 0 解得 1 k 0 或 00 的焦点为 F 其准线与双曲线 1 相交于 A B 两点 若 x2 3 y2 3 ABF 为等边三角形 则 p 解析 如图 在正三角形 ABF 中 DF p BD p 则 B 点坐标为 又点 B 3 3 3 3 p p 2 在双曲线上 故 1 解得 p 6 1 3p2 3 p2 4 3 答案 6 11 已知直线 x y 1 0 与抛物线 y ax2有两个公共点 则 a 的取值范围是 解析 由Error Error 得 ax2 x 1 0 由题意得Error Er
16、ror 解得 a 且 a 0 1 4 答案 a 且 a 0 1 4 12 直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A B 两点 过 A B 两点向抛物线的准线作垂 线 垂足分别为 P Q 则梯形 APQB 的面积为 解析 由Error Error 消去 y 得 x2 10 x 9 0 得 x 1 或 9 即Error Error 或Error Error 所以 AP 10 BQ 2 或 BQ 10 AP 2 所以 PQ 8 所以梯形 APQB 的面积 S 8 48 10 2 2 答案 48 三 解答题 13 设点 P x y y 0 为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点 其中 O 为坐标原点 点 P 到定点 M的距离比点 P 到 x 轴的距离大 0 1 2 1 2 1 求点 P 的轨迹方程 2 若直线 l y kx 1 与点 P 的轨迹相交于 A B 两点 且 AB 2 求实数 k 的值 6 解析 1 过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N 则 PN y 由题意知 PM PN 1 2 y 化简得 x2 2y 故点 P 的轨迹方程为 x2 2y x2 y 1 2 2 1 2 2
