《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.3空间向量与空间角、空间距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.3空间向量与空间角、空间距离（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 第三课时第三课时 空间向量与空间角 空间距离空间向量与空间角 空间距离 填一填 1 空间角及向量求法 角的分类向量求法范围 异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为 它们的方向向量为 a b 则 cos cos a b a b a b 0 2 直线与平 面所成的角 设直线 l 与平面 所成的角 为 l 的方向向量为 a 平 面 的法向量为 n 则 sin cos a n a n a n 0 2 二面角 设二面角 l 的平面角 为 平面 的法向量为 n1 n2 则 cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 0 2 空间距离的向量求法
2、分类向量求法 两点距设 A B 为空间中任意两点 则 d AB 点面距 设平面 的法向量为 n B A 则 B 点到平面 的距离 d BA n n 判一判 1 两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 2 若向量 n1 n2分别为二面角的两半平面的法向量 则二面角的平面角的余弦值为 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 3 直线与平面所成角的范围为 0 2 4 平面 外一点 A 到平面 的距离 就是点 A 与平面内一点 B 所成向量的长度 AB 5 直线 l 平面 则直线 l 到平面 的距离就是直线 l 上的点到平面 的距离 6 若平面 则两平面 的距离可转化为平面 内某条直线到
3、平面 的距离 也 可转化为平面 内某点到平面 的距离 7 直线 l 与平面 的法向量的夹角的余角就是直线 l 与平面 所成的角 8 二面角 l 的大小为 平面 的法向量分别为 n1 n2 则 n1 n2 想一想 1 若二面角 l 的两个半平面的法向量分别为 n1 n2 则二面角的平面角与两法向 量夹角 n1 n2 的关系 相等或互补 2 利用向量法求空间角时 关键需找到哪些量 关键要找到直线的方向向量与平面的法向量 3 几何度量中最基本的距离是什么 两点之间的距离是几何度量中最基本的距离 计算任何图形之间的距离都可以转化为求 两点之间的距离 思考感悟 练一练 1 已知向量 m n 分别是直线
4、l 和平面 的方向向量 法向量 若 cos m n 则直线 l 与平面 所成的角为 1 2 A 30 B 60 C 120 D 150 答案 A 2 已知两平面的法向量分别为 m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 A 45 B 135 C 45 或 135 D 90 答案 C 3 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 2 DD1 3 则 AC 与 BD1所成角的余 弦值为 A 0 B 3 70 70 C D 3 70 70 70 70 答案 A 4 已知平面 的一个法向量为 n 2 2 1 点 A 1 3 0 在平面 内 则点 P 2 1 4 到平面
5、的距离为 A 10 B 3 C D 8 3 10 3 答案 D 知识点一两异面直线所成的角 1 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 A B 3 2 15 5 C D 10 5 3 3 解析 以 B1为坐标原点 B1C1所在的直线为 x 轴 垂直于 B1C1的直线为 y 轴 BB1所在 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 如图所示 由已知条件知 B1 0 0 0 B 0 0 1 C1 1 0 0 A 1 1 则 1 0 1 1 1 3 BC1 AB1 3 所以 cos AB1 BC1 AB1 BC1 AB
6、1 BC1 2 5 2 10 5 所以异面直线 AB1与 BC1所成的角的余弦值为 10 5 答案 C 2 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2a E 是 AA1中点 则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 A B 10 10 1 5 C D 3 10 10 3 5 解析 以 DA DC DD1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 如图所 示 设 AB a 则 AD a AA1 2a B a a 0 C 0 a 0 D1 0 0 2a E a 0 a 0 a a 0 a 2a cos BE CD1 BE CD1 BE CD1 BE CD1 a2 2a
7、2 2a 5a 3 10 10 答案 C 知识点二直线和平面所成的角 3 设直线 l 与平面 相交 且 l 的方向向量为 a 的法向量为 n 若 a n 则 2 3 l 与 所成的角为 A B 2 3 3 C D 6 5 6 解析 如图所示 直线 l 与平面 所成的角 2 3 2 6 答案 C 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 AB C1D1的中点 则 A1B1与平面 A1EF 所成角的正弦值为 A B 6 2 6 3 C D 6 42 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体棱长为 1 则 A1 1 0 1 E F 1 1 2 0 B1 1 1 1 0 1 0
8、设平面 A1EF 的一个 0 1 2 1 A1B1 A1E 0 1 2 1 A1F 1 1 2 0 法向量为 n x y z 则Error Error 即Error Error 令 y 2 则Error Error n 1 2 1 cos n A1B1 设 A1B1与平面 A1EF 的夹角为 则 sin cos n 即所求线面角的正 2 6 6 3 A1B1 6 3 弦值为 6 3 答案 B 知识点三二面角 5 已知点 P 为菱形 ABCD 外一点 且 PA 平面 ABCD PA AD AC 点 F 为 PC 的中 点 则二面角 C BF D 的正切值为 A B 3 6 3 4 C D 3 3
9、 2 3 3 解析 如图 连接 AC AC BD O 连接 OF 以 O 为原点 OB OC OF 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz 设 PA AD AC 1 则 BD B 3 F C D 结合图形可知 且为平面 3 2 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 3 2 0 0 OC 0 1 2 0 OC BOF 的一个法向量 可求得平面 BCF 的一个法向量 BC 3 2 1 2 0 FB 3 3 0 1 2 n 1 cos n sin n tan n 33 OC 21 7 OC 2 7 7 OC 2 3 3 答案 D 6 如图 ABCD 是边长为 3 的正
10、方形 DE 平面 ABCD AF DE DE 3AF EBD 60 则二面角 F BE D 的余弦值为 解析 DA DC DE 两两垂直 可建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示 EBD 60 由 AD 3 知 BD 3 DE DB32 DE 3 AF 则 A 3 0 0 F 3 0 E 0 0 3 B 3 3 0 C 0 3 0 6666 0 3 3 0 2 设平面 BEF 的法向量为 n x y z 则Error Error BF 6 EF 6 即Error Error 令 z 则 n 4 2 为平面 BEF 的一个法向量 连接 AC DE 平面 66 ABCD AC 平面 ABCD DE
11、 AC ABCD 是正方形 AC BD 又 BD DE D AC 平面 BDE 平面 BDE 的一个法向量为 3 3 0 cos n CA 由图可知二面角 F BE D 为锐角 CA n CA n CA 6 26 3 2 13 13 二面角 F BE D 的余弦值为 13 13 答案 13 13 知识点四空间距离 7 已知三棱锥 O ABC OA OB OB OC OC OA 且 OA 1 OB 2 OC 2 则点 A 到直线 BC 的距离为 A B 23 C D 3 5 解析 以 O 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 由题设可知 A 1 0 0 B 0 2 0 C 0 0 2 1 2
12、 0 0 2 2 点 A 到直 AB BC AB 1 4 05 AB BC BC 2 线 BC 的距离 d 5 23 答案 B 8 已知在长方体 ABCD A1B1C1D1中 底面是边长为 2 的正方形 高为 4 则点 A1到 截面 AB1D1的距离是 A B 8 3 3 8 C D 4 3 3 4 解析 以 D 点为坐标原点 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直 DA DC DD1 角坐标系 则 0 2 4 2 0 4 设 n x y z 是截面 AB1D1的一个法向量 AB1 AD1 由Error Error 得Error Error 取 z 1 则 n 2 2 1 点 A1
13、到截面 AB1D1的距离 d AA1 n n 4 3 答案 C 基础达标 一 选择题 1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120 则直线 l 与平面 所成的角 等于 A 120 B 60 C 30 D 以上均错 解析 设直线 l 与平面 所成的角为 则 sin cos 120 又 0 90 1 2 30 答案 C 2 若二面角 l 的大小为 120 那么平面 的法向量与平面 的法向量的夹角为 A 120 B 60 C 120 或 60 D 30 或 150 解析 二面角为 120 时 其法向量的夹角可能是 60 也可能是 120 答案 C 3 已知 A 0 1 1 B 2 1
14、 0 C 3 5 7 D 1 2 4 则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦 值为 A B 5 22 66 5 22 66 C D 5 22 22 5 22 22 解析 2 2 1 2 3 3 而 cos AB CD AB CD AB CD AB CD 故直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为 5 3 22 5 22 66 5 22 66 答案 A 4 若 O 为坐标原点 1 1 2 3 2 8 0 1 0 则线段 AB 的中点 P OA OB OC 到点 C 的距离为 A B 2 165 214 C D 53 53 2 解析 由已知可得 A 1 1 2 B 3 2 8 于是 P 又 C 0
15、 1 0 2 3 2 3 故 PC 22 1 2 2 32 53 2 答案 D 5 在矩形 ABCD 中 AB 1 BC PA 平面 ABCD PA 1 则 PC 与平面 ABCD 2 所成角是 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 建立如图的空间直角坐标系 则 P 0 0 1 C 1 0 1 1 平面 ABCD 2 PC 2 的一个法向量为 n 0 0 1 cos n PC PC n PC n 1 2 n 120 斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60 斜线 PC PC 与平面 ABCD 所成角为 30 答案 A 6 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为
16、a 则平面 AB1D1与平面 BDC1的距离为 A a B a 23 C a D a 2 3 3 3 解析 由正方体的性质易得平面 AB1D1 平面 BDC1 则两平面间的距离可转化为点 B 到平面 AB1D1的距离 显然 A1C 平面 AB1D1 以 D 为坐标原点 DA DC DD1所在直线 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则平面 AB1D1的一个法向量为 n 1 1 1 又 A a 0 0 B a a 0 0 a 0 则两平面间的距离 d BA BA n n a 3 a 3 3 答案 D 7 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 1 D 在棱 BB1上 且 BD 1 则 AD 与平 面 AA1C1C 所成角的正弦值为 A B 6 4 6 4 C D 10 4 10 4 解析 取 AC 的中点为 E 连接 BE 则 BE AC 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A D 0 0 1 B 0 0 0 E 则 平面 3 2 1 2 0 3 2 0 0 AD 3 2 1 2 1 BE 3 2 0 0 ABC 平面 AA1C1C 平面 ABC 平面 AA1C1C
