《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.4.1全称量词与存在量词》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：1.4.1全称量词与存在量词（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 4 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 第一课时第一课时 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 填一填 1 全称量词 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 2 全称命题 含有全称量词的命题 叫做全称命题 全称命题 对 M 中任意一个 x 有 P x 成立 可用符号简记为 x M P x 读作 对任意 x 属于 M 有 P x 成立 3 存在量词 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表示 4 特称命题 含有存在量词的命题 叫做特称命题 判一判 1 每个指数函数都是单调函数 2 任何实数都有算术平方根 3 x0 R x0 0 4 至少有
2、一个整数 它既不是合数 也不是质数 5 x0 x x 是无理数 x 是无理数 2 0 6 有些 某个 有的 等短语不是存在量词 7 全称量词的含义是 任意性 存在量词的含义是 存在性 8 全称命题一定含有全称量词 特称命题一定含有存在量词 想一想 1 同一个全称命题的表述是否是唯一的 不唯一 对于同一个全称命题 由于自然语言不同 可以有不同的表述方法 只要含义 正确即可 2 全称命题中的 x M 与 p x 表达的含义分别是什么 元素 x 可以表示实数 方程 函数 不等式 也可以表示几何图形 相应的集合 M 是这 些元素的某一特定的范围 p x 表示集合 M 的所有元素满足的性质 如 任意一个
3、自然数都 不小于 0 可以表示为 x N x 0 3 全称命题与特称命题的区别有哪些 1 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质 无一例外 强调 整体 全部 2 特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外 强调 个别 部分 思考感悟 练一练 1 下列量词是全称量词的是 A 至少有一个 B 存在 C 都是 D 有些 答案 C 2 下列命题为特称命题的是 A 偶函数的图象关于 y 轴对称 B 正四棱柱都是平行六面体 C 不相交的两条直线是平行直线 D 存在实数大于等于 3 答案 D 3 下列命题 中国公民都有受教育的权利 每一个中学生都要接受爱国主义教育 有人既能写小说 也
4、能搞发明创造 任何一个数除 0 都等于 0 其中全称命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 4 下列命题为特称命题的是 A 奇函数的图象关于原点对称 B sin cos x 2 x C 棱锥仅有一个底面 D 存在大于等于 3 的实数 x 使 x2 2x 3 0 答案 D 知识点一全称命题 1 下列命题中全称命题的个数是 任意一个自然数都是正整数 有的等差数列也是等比数列 三角形的内角和是 180 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 是全称命题 答案 C 2 下列命题中 是全称命题且是真命题的是 A 对任意的 a b R 都有 a2 b 2a 2b 2 0 B 菱形的两条对角线
5、相等 C x R x x2 D 对数函数在定义域上是单调函数 解析 A 中的命题是全称命题 但是 a2 b2 2a 2b 2 a 1 2 b 1 2 0 故是假 命题 B 中的命题是全称命题 但是是假命题 C 中的命题是全称命题 但 x 故是假 x2 命题 很明显 D 中的命题是全称命题且是真命题 故选 D 答案 D 知识点二特称命题 3 下列特称命题中 是假命题的是 A x0 Z x 2x0 3 0 2 0 B 至少有一个 x0 Z 使 x0能同时被 2 和 3 整除 C 有的直线不存在倾斜角 D 某些直线不存在斜率 解析 A 中 x0 1 满足题意 是真命题 B 中 x0 6 满足题意 是
6、真命题 D 中 垂直于 x 轴的直线不存在斜率 是真命题 C 中 所有的直线都存在倾斜角 是假命题 故 选 C 答案 C 4 下列命题中 既是真命题又是特称命题的是 A 存在一个 使 tan 90 tan B 存在实数 x0 使 sin x0 2 C 对一切 sin 180 sin D sin sin cos cos sin 解析 只有 A B 两个选项中的命题是特称命题 因为 sin x 1 所以 sin x0 不成立 2 故 B 中命题为假命题 又因为当 45 时 tan 90 tan 故选 A 答案 A 知识点三求参数的取值范围 5 若命题 p x R ax2 4x a 2x2 1 是真
7、命题 求实数 a 的取值范围 解析 ax2 4x a 2x2 1 a 2 x2 4x a 1 0 当 a 2 0 即 a 2 时 对任意实数 x 4x 3 0 不一定成立 所以 a 2 不符合题意 当 a 2 0 时 有Error Error 解得 a 2 综上所述 实数 a 的取值范围是 2 6 若存在正实数 x 使 2x x a 1 成立 求实数 a 的取值范围 解析 因为存在正实数 x 使 2x x a 1 成立 所以存在正实数 x 使得 x ax 2 x成立 令 f x x 2 x 易知函数 f x 在 0 上单调递增 则 f x f 0 1 所以 a 1 即实数 a 的取值范围为 1
8、 综合应用 7 若 r x sin x cos x m s x x2 mx 1 0 如果对任意的 x R r x 为假命题且 s x 为真命题 求实数 m 的取值范围 解析 因为 sin x cos x sin 所以如果对任意的 x R r x 为假 2 x 4 22 命题 即存在 x0 R 使得 sin x0 cos x0 m 成立 所以 m 2 又对任意的 x R s x 为真命题 即对任意的 x R 不等式 x2 mx 1 0 恒成立 所以 方程 x2 mx 1 0 的判别式 m2 4 0 即 2 m 2 综上可知 如果对任意的 x R r x 为假命题且 s x 为真命题 则 m0 对
9、一切 x R 恒成立 都是真 命题 由关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 有解 得 a 0 或Error Error 即 a 0 或 a 1 且 a 0 a 1 由 ax2 ax 1 0 对一切 x R 恒成立 得 a 0 或Error Error 即 a 0 或 0 a 4 0 a0 C 任意无理数的平方必是无理数 D 存在一个负数 x 使 2 1 x 解析 B D 不是全称命题 C 不是真命题 答案 A 2 已知 a 0 函数 f x ax2 bx c 若 x0满足关于 x 的方程 2ax b 0 则下列四个命 题中假命题是 A x R f x f x0 B x R f x f x0
10、C x R f x f x0 D x R f x f x0 解析 由题意 x0 为函数 f x 图象的对称轴方程 所以 f x0 为函数的最小值 即对 b 2a 所有的实数 x 都有 f x f x0 因此 x R f x f x0 是错误的 故选 C 答案 C 3 下列命题为全称命题的是 A 某些函数图象不过原点 B 实数的平方为正数 C 方程 x2 2x 5 0 有实数解 D 素数中只有一个偶数 解析 某些函数图象不过原点 即 存在函数 其图象不过原点 方程 x2 2x 5 0 有实数解 即 存在实数 x 使 x2 2x 5 0 素数中只有一个偶数 即 存在一个素数 它是偶数 这三个命题都
11、是存在量词命题 实数的平方为正数 即 所 有的实数 它的平方为正数 是全称命题 其省略了全称量词 所有的 故选 B 答案 B 4 若命题 p x 0 log2x 0 命题 q x0 R 2x0 0 则下列命题为真命题 的是 A p q B p q C 綈 p q D p 綈 q 解析 当 x 时 log2 10 恒成立 所以命题 q 1 2 1 2 为假命题 所以 p 綈 q 为真命题 故选 D 答案 D 5 下列命题中的真命题是 A x0 R ex0 0 B x R 2x x2 C a b 0 的充要条件是 1 a b D a 1 b 1 是 ab 1 的充分条件 解析 对于 A x R e
12、x 0 恒成立 故 A 为假命题 对于 B 当 x 2 时 22 22 故 B 为假命题 a b 0 的充分不必要条件是 1 C 为假命题 D 为真命题 故选 D a b 答案 D 6 若命题 x0 R 使得 x mx0 2m 3 0 为假命题 则实数 m 的取值范围是 2 0 A 2 6 B 6 2 C 2 6 D 6 2 解析 依题意知 x2 mx 2m 3 0 恒成立 所以 m2 4 2m 3 0 解得 2 m 6 故选 A 答案 A 7 已知函数 f x x2 bx c 则 c 0 是 x0 R 使 f x0 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也
13、不必要条件 解析 x0 R 使 f x0 0 的充要条件是 x bx0 c0 即 4c b2 2 0 所以当 c 0 时一定有 4c b2 即 x0 R 使 f x0 0 反之 当 x0 R 使 f x0 0 时 只要 4c b2即可 不一定 c0 若 x1 1 2 x2 1 2 使得 f x1 g x2 则实数 a 的取值范围是 A B 0 1 2 1 2 3 C 0 3 D 3 解析 由函数的性质可得函数 f x x2 2x x 1 2 的值域为 1 3 g x ax 2 x 1 2 的值域是 2 a 2 2a 因为 x1 1 2 x2 1 2 使得 f x1 g x2 所以 1 3 2
14、a 2 2a 所以Error Error 解得 a 3 答案 D 二 填空题 9 给出下列四个命题 a b a b 0 矩形都不是梯形 x y R x2 y2 1 任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于 1 其中全称命题是 答案 10 若 x tan x m 是真命题 则实数 m 的最小值为 0 4 解析 函数 y tan x 在上是增函数 ymax tan 1 依题意知 m ymax 即 0 4 4 m 1 m 的最小值为 1 答案 1 11 若对于任意 x R 都有 ax2 2x a 0 则实数 a 的取值范围是 解析 依题意 得Error Error 即Error Error a0 恒成立
15、 1 若命题 q 为真命题 求 m 的取值范围 2 若 p q 为假命题且 p q 为真命题 求 m 的取值范围 解析 1 由 m2 4 0 解得 2 m 2 2 若命题 p m R 且 m 1 0 为真 则 m 1 因为 p q 为假命题且 p q 为真命题 所以 p q 必然一真一假 当 p 真 q 假时 结合 1 知Error Error 解得 m 2 当 p 假 q 真时 结合 1 知Error Error 解得 1 m 2 所以 m 的取值范围是 2 1 2 14 1 命题 p x R sin x cos x m 若命题 p 是真命题 求实数 m 的取值范围 2 命题 q x R s
16、in x cos x m 若命题 q 是真命题 求实数 m 的取值范围 解析 设函数 f x sin x cos x x R 则 f x sin 2x 所以函数 f x 的值域是 1 2 1 2 1 2 1 由于命题 p 是真命题 即对任意 x R sin x cos x m 恒成立 所以对任意 x R f x m 恒成立 又函数 f x 的最小值为 所以只需 m 1 2 1 2 所以实数 m 的取值范围是 1 2 2 由于命题 q 是真命题 即存在实数 x 满足 sin x cos x m 成立 所以存在实数 x 满足 f x m 成立 由于函数 f x 的最大值为 1 2 所以 m 1 2 所以实数 m 的取值范围是 1 2 能力提升 15 命题 p x0 0 使 sin 3 2 答案 3 2 16 已知函数 f x 为定义在 3 上的减函数 若 f a2 sin x f a 1 cos2x 对任意 x R 恒成立 则 a 的取值范围是 解析 由函数的单调性得 3 a2 sin x a 1 cos2x 对任意 x R 均成立 即 a2 3 sin x a2 a sin x cos2
